sin(-a),cos(-a),tg(-a),ctg(-a). Минус в аргументе синуса, косинуса
Многие ученики думают, что если можно вынести минус из тригонометрической функции, то можно вынести и число, но это не так:
Замечание №2
Квадрат меняет ситуацию. Всё дело в том, что \(sin^2(-x)=(sin(-x) )^2=(-sin\,x )^2=sin^2x\), т.е. минус все равно выносится, но так как синуса два и они перемножаются, то в итоге получается плюс.
Примеры из ЕГЭ
Из рисунка видно, что и косинус, и синус положителен. Косинус из трех стандартных значений \(\frac\), \(\frac<\sqrt>\), \(\frac>\) принимает наименьшее т.е. \(cos\,\frac=\frac\). Синус из трех стандартных значений будет равен среднему т.е. \(sin\,\frac=\frac<\sqrt>\). Получается:
Если вы не поняли почему \(\frac\) и \(\frac\) находятся на круге там, где мы из обозначили, то читайте статью « Как обозначать числа с пи на числовой окружности? ». А если не поняли, как мы нашли синус и косинус, то читайте статью « Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы ».
Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(44\sqrt\,tg\,(-480^° )\).
Решение. \(44\sqrt\,tg(-480^° )=-44\sqrt\,tg(480^° )=-44\sqrt\,tg(360^°+120^° )=-44\sqrt\,tg(360^°+90^°+30^°)\).
Находим \(480^°\) на окружности:
Соединяем точку, соответствующую \(480^°\) и центр окружности, и продляем до оси тангенсов:
Мы попадаем в самое маленькое (из стандартных) значение тангенса.
Значит, \(tg(480^° )=-\sqrt\).
В итоге имеем: \(44\sqrt tg(-480^° )=-44\sqrt\cdot(-\sqrt)=44\cdot 3=132\).
Ответ: \(132\).
Если вам не понятно, как мы нашли значение тангенса, то читайте статью « Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? ».
5.5. Распространённые тригонометрические формулы
Без них ваша учёба может закончиться самым скверным образом.
Во-первых, на практике очень часто используют нечётность синуса и чётность косинуса, а именно, выносят «минус» из-под синуса: , например, , и уничтожают минус под косинусом: , например, . Минус, кстати, выносится и у тангенса с котангенсом.
Осуществимы и обратные действия – «минус» можно «затолкать» под синус:
или поставить его под косинусом: .
Особо подчёркиваю, что здесь мы не получаем каких-то новых функций! Эти преобразования равносильны или, как говорят математики, тождественны. В частности, и – это две совершенно одинаковые функции, просто запись разная. Одна запись удобна в одних задачах, другая – в других.
Ещё одна ходовая вещь, которую нужно запомнить «намертво» – это основное тригонометрическое тождество:
Аргумент может быть любым: и т.д. И обратно, единицу можно превратить в нужную сумму, например:
Чуть позже мы выведем из этого тождества ещё несколько полезных формул.
Внимательные читатели ещё в прошлой главе подметили, что тангенс и котангенс – это два взаимно обратных отношения: (для допустимых углов) и, наоборот: . По правилу пропорции обе функции можно расположить на одном этаже, и тогда мы получаем формулу .
Тангенс можно выразить через синус и косинус: , и, соответственно, котангенс равен обратному отношению: .
Теперь немного расслабьтесь, поскольку критически важные формулы позади, и вы спасены 🙂 Вся прелесть математики состоит в том, что знать нужно немного, и из этого немного можно вывести очень много! Иногда даже маленькую Вселенную. Получим несколько полезных формул из основного тригонометрического тождества. Прежде всего, здесь напрашивается выразить синус через косинус и наоборот:
Когда ставить «плюс», а когда «минус» мы узнаем под занавес курса, в ходе изучения тригонометрических неравенств.
Если тождество разделить почленно на или , то получим ещё две полезные формулы, которые используются в некоторых задачах высшей математики:
Думал не говорить, но всё-таки скажу: не путайте записи и . В первом случае в квадрате находится синус: , а во втором – его аргумент: и, конечно, это не одно и то же: .
И ещё раз заостряю внимание, что параметр «альфа» может быть не только буковкой «икс», но и сложной функцией! Все формулы работают:
и так далее.
Следующая группа – это формулы двойного угла:
и более редкий тангенс: .
Мегапопулярные формулы понижения степени:
Запоминать их не нужно, сами запомнятся :). Натыкаться будете на каждом шагу.
Разумеется, все рассматриваемые формулы работают и в обратном направлении, так, степень иногда требуется и повысить:
Ну и еще куча похожих друг на друга формул. Сразу скажу, что них есть одно замечательное свойство – упорно не запоминаться. Я сотни раз искал их в справочнике, так и не запомнилась ни одна. Итак, для произвольных углов «альфа» и «бета» справедливо следующее.
Есть еще аналогичные формулы для тангенсов и котангенсов, но о них не будем, в 99,9% случаях – не встретите. Да и перечисленные формулы встречаются довольно редко. Но встречаются. Поэтому примеры употребления (1-я формула из каждой группы):
© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2024, сделано в Блокноте.
Как вынести минус у синуса? Скажем, у меня есть син (-3П/2). Как вынести этот минус?
углы, откладываемые ПРОТИВ часой стрелки положительного знака.
По часовой- отрицательного.
(-3П\2)- смотрите на картинке- это обычные П\2, те 90
синус=1.
Остальные ответы
Функция синус нечетная, поэтому sin (-x)=-sin x
sin(-3П/2)=-sin(3П/2)=-1*(-1)=1
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел
Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.
Чётные и нечётные функции
Числа бывают чётными и нечётными. Тут всё просто: чётные те, что делятся на 2. Но в математике есть ещё и чётные и нечётные функции и с двойкой они не связаны никак, зато связаны с симметрией.
✍️ Чётные функции — это такие, которые симметричны относительно оси OY, как например парабола y = x^2. У таких функций y(-x) = y(x), то есть минус уходит. Нечётные функции — это такие, которые симметричны относительно начала координат, как кубическая парабола y = x^3. А у таких функций y(-x) = -y(x), то есть минус выносится.
�� Теперь неожиданно вспомним тригонометрические функции. Косинус — симметричен относительно оси OY, поэтому функция косинуса чётная и cos(-x) = cos(x), вот почему косинус съедает знак минус. Синус симметричен относительно начала координат, поэтому он — нечётный, а значит вносим знак за синус sin(-x) = -sin(x). Вот и всё, вот и всё.