Как найти число свободных электронов?
1атом дает 1 электрон проводимости. Найти число свободных электронов N в заданном объеме V алюминия. Плотность равна 2700 кг/м^3, молярная масса алюминия равна 27*10^-3 кг/моль. V=3см^3.
количество свободных электронов равно числу атомов N=(m/M)*Na. Но для чего тогда плотность дана?
Лучший ответ
плотность металла пригодится для определения массы образца объёмом 3 куб. см, а через неё — количество вещества в этом же объёме и числа атомов в нём:
m(Al) = V*p = 3 куб. см*2,7 г/куб. см = 8,1 г
n(Al) = m/M = 8,1 г/27 г/моль = 0,3 моль
Ну, а дальше — число атомов по уже написанной вами формуле: N=n*Na
——
Извините, некоторые единицы я перевёл в более привычные для большинства химиков! Ну не приживаются килограммы и кубометры из новейшей системы СИ!
Как найти количество свободных электронов
Задача по физике — 8649
2018-07-08
Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при $T = 0$, если уровень Ферми $E_ = 3,07 эВ$ и плотность натрия равна $0,97 г/см^$.
Вычислим концентрацию $n$ электрона в Na из
Получаем $E_ = 3,07 эВ$
$n = 2,447 \cdot 10^ см^$
Отсюда получаем количество электронов на один атом Na, как
Как найти количество свободных электронов
Концентрация свободных электронов в общем случае выражается следующим образом [1–3]:
| n = N c F 1 2 ( η ) , | (1.10) |
| N c = 2 ( 2 π m n d ∗ k T ) 3 2 h 3 – | (1.11) |
– эффективная плотность состояний в зоне проводимости полупроводника при данной температуре T. В выражении (1.11) k = 8,617×10 -5 эВ/К – постоянная Больцмана; T – термодинамическая (абсолютная) температура.
Эффективная плотность зависит от типа полупроводникового материала через величину эффективной массы плотности состояний для электронов m n d ∗ .
Если абсолютным минимумом зоны проводимости полупроводника является минимум энергии в центре зоны Бриллюэна (при k → = 0 ) (Г-минимум) и эффективная масса электрона в этом минимуме m n ∗ изотропна, то эффективная масса плотности состояний в зоне проводимости совпадает с «реальной» эффективной массой электрона:
Это имеет место, например, в арсениде галлия и фосфиде индия.
Если, как это имеет место в Ge, абсолютными минимумами зоны проводимости являются минимумы энергии, лежащие на границах первой зоны Бриллюэна в направлениях (L-минимумы), то эффективная масса плотности состояний будет выражаться формулой [1–3]
m n d ∗ = ( 4 2 m t ∗ 2 m l ∗ ) 1 3 ,
где 4 – число полных эквивалентных L-минимумов энергии в зоне проводимости полупроводника; m t ∗ – и m l ∗ – поперечная и продольная эффективные массы электрона в каждом из минимумов.
В кремнии абсолютные минимумы энергии для свободных электронов расположены внутри зоны Бриллюэна на осях , количество минимумов равно шести и
m n d ∗ = ( 6 2 m t ∗ 2 m l ∗ ) 1 3 .
Такая же ситуация, вероятно, имеет место и в GaP.
В другом непрямозонном полупроводниковом соединении типа A III B V – AlAs абсолютные минимумы энергии в зоне проводимости, по-видимому, смещены вдоль осей на границы зоны Бриллюэна (X-минимумы). В связи с этим число полных минимумов уменьшается до трех, и для эффективной массы плотности состояний следует использовать формулу
m n d ∗ = ( 3 2 m t ∗ 2 m l ∗ ) 1 3 .
Вероятно, формула (1.15) справедлива и при расчете эффективной массы плотности состояний в побочных X-минимумах прямозонных соединений A III B V (в частности, GaAs).
При подстановке значений физических постоянных формула (1.11) принимает вид
N c = 4,829 ⋅ 10 15 ( m n d ∗ m 0 ) 3 2 T 3 2 см − 3 ,
где T – термодинамическая (абсолютная) температура полупроводника в K; m0 – масса свободного электрона.
В выражение (1.10) для концентрации электронов входит величина интеграла Ферми-Дирака порядка 1/2:
F 1 2 ( η ) = 2 π ∫ 0 ∞ ε 1 2 d ε e ε − η + 1 ,
η = F − E c k T ; ε = E − E c k T ;
Ec – дно зоны проводимости; F – равновесный уровень Ферми. (Для упрощения записи в дальнейшем индекс 0, обозначающий равновесное значение параметра, будет опущен как у уровня Ферми F, так и у равновесных концентраций дырок p и электронов n).
Значение интеграла (1.17) можно найти в таблицах [3, 4]. (Заметим ,однако, что в ряде монографий и таблиц (см., например, [4]) в величину интеграла не включают множитель 2 / π ).
Для интеграла Ферми существует и ряд приближенных выражений [1, 2]. В случае невырожденного полупроводника при − ∞ < η < − 1 (т.е. при F < E c − k T )
и концентрацию свободных электронов можно рассчитать с помощью выражения
n ≅ N c e η = N c exp ( − E c − F k T ) .
При сильном вырождении полупроводника, когда 5 < η < ∞ (т.е. при F >E c + 5 k T ),
F 1 2 ( η ) ≅ 4 3 π η 3 2
и концентрация электронов равна
n ≅ 4 3 π N c ( F − E c k T ) 3 2 .
Другие аппроксимации интеграла Ферми–Дирака F 1 / 2 ( η ) и области их применимости рассмотрены в работах [3, 5, 6].
Как найти количество свободных электронов
Проводимость чистых полупроводников, обусловленная движением одинакового количества электронов и дырок, возникающих за счет нарушения валентных связей, называется собственной. При комнатной температуре в чистых полупроводниках ионизуется очень небольшое число атомов, так как энергия возбуждения (энергия перехода из валентной зоны в зону проводимости) намного превосходит среднюю энергию частиц, равную $\frackT$ (при $T=300$ K, $E=\frackT$ составляет всего $0,04$ эВ). Но кинетическая энергия частиц (электроны, атомы в твердом теле) только в среднем равна $\frac \; kT.$ Мгновенные же скорости распределяются по закону Максвелла; всегда имеется некоторое число частиц, скорости которых намного больше и значительно меньше средних; вероятность того, что электрон имеет энергию $E_$, пропорциональна $e^<-\frac
В полупроводниках с примесной проводимостью некоторые атомы основного кристалла заменены атомами с другой валентностью. При этом, если валентность атомов примеси больше, чем у основного кристалла, полупроводник обладает так называемой n–проводимостью (электронной). При обратном соотношении валентностей основных и примесных атомов реализуется p–проводимость (дырочная). При наличии дырок электрон одного из соседних атомов может занять вакантное место, где будет восстановлена обычная связь, но зато на его прежнем месте появится дырка. При наличии поля $E$ в образце такой процесс будет повторяться многократно, образуя дырочную проводимость.
Рассмотрим теперь, как зависит концентрация свободных носителей примесного полупроводника от температуры. На рисунке приведена зависимость натурального логарифма равновесной концентрации свободных электронов в полупроводнике от обратной температуры. При низких температурах концентрация электронов в полупроводнике определяется концентрацией примесных центров. С ростом температуры примесная концентрация растет, а следовательно, возрастает и проводимость. При некоторой температуре концентрация электронов перестает зависеть от температуры. Это область примесного истощения. Все атомы примеси уже ионизованы, а собственная концентрация все еще гораздо меньше чем примесная. И, наконец, в области еще более высоких температур начинается резкий рост концентрации с дальнейшим повышением температуры. Это область собственной проводимости, где концентрация свободных носителей определяется зависимостью $e^>>.$ Так как величина проводимости прямо пропорциональна концентрации носителей, то $\sigma \sim e^>>.$ Отсюда видно, что из температурной зависимости проводимости можно извлечь важную характеристику полупроводника — ширину запрещенной зоны.
Рассмотрим теперь количественно температурную зависимость проводимости. В общем случае проводимость полупроводника равна сумме собственной $(\sigma _ )$ и примесной $(\sigma _)$ электропроводностей: $$ \sigma =\sigma _ +\sigma _ . $$ При низкой концентрации примеси и высоких температурах. $\sigma _ >\sigma _.$ Именно этот случай будет интересовать нас в данной работе. Тогда электропроводность собственного полупроводника (беспримесного) можно выразить формулой $$ (*) \ \ \ \ \sigma _ =n_ eu_ +p_ eu_
, $$ где $e$ — заряд электрона, $n_, p_, u_, u_
$ — собственные концентрации и подвижности электронов и дырок соответственно. Индекс $i$ обозначает, что данное значение концентрации носителей получено для собственного (intrinsic) полупроводника, в котором $n_ =p_$.
Входящие в формулу (*) концентрация и подвижность являются функциями от температуры. Как было рассмотрено ранее, качественно температурная зависимость концентрации определяется зависимостью $n\sim e^>>.$ Для чистых (собственных) полупроводников количественная зависимость концентрации носителей от температуры определяется выражением (см. приложение) $$ n_ =p_ =A(T)\cdot e^>> , $$ где температурная зависимость предэкспоненциального множителя имеет вид $$ A(T)=\frac^ m_
^ > kT)^>>. $$
Рассмотрим теперь температурную зависимость подвижности свободных носителей. По определению, подвижность равна отношению дрейфовой скорости $\vartheta $ к напряженности электрического поля $E$: $$ u_ =\frac <\vartheta _>. $$ Иными словами, подвижность — это скорость дрейфа электронов (дырок) в поле напряженностью $1 \frac.$ Средняя скорость направленного движения $<\overline<\vartheta >>$ (дрейфовая скорость) равняется произведению ускорения на среднее время между столкновениями $\tau $ (время свободного пробега, время релаксации): $$ <\overline<\vartheta >>= \frac E. $$ Тогда для подвижности электронов и дырок получаем $$ u_ =\frac <\vartheta _> =\frac
Подвижность носителей в собственном полупроводнике в области используемых температур определяется рассеянием носителей заряда на колебаниях решетки. В этом случае длина свободного пробега электрона (дырки) обратно пропорциональна температуре (чем ниже температура, тем меньше амплитуда колебаний атомов и тем больше длина свободного пробега): $$ \lambda _ =\frac