Первый и второй законы Кирхгофа
(метод непосредственного применения законов Кирхгофа)
Найти
Токи в цепи непосредственным применением законов Кирхгофа.
Решение
Составляем уравнения по законам Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа говорит о том, что сумма втекающих и вытекающих токов в любом узле схемы равна нулю. Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений по замкнутому контуру равна сумме ЭДС в этом контуре. В приведенной схеме m=7 ветвей и n=4 узла. Следовательно, по первому закону Кирхгофа должно быть составлено n-1=3 уравнения, а по второму закону Кирхгофа m-(n-1)=4 уравнения. Размечаем произвольно выбранные направления токов, контуры обходов, узлы схемы.
Найденные токи совпадают с токами, вычисленными с использованием метода контурных токов, что подтверждает правильность решения.
! Вы всегда можете найти недорогие готовые решения по теме использование законов Кирхгофа, просто перейдя по этой ссылке
7.2. Порядок решения задач на законы Кирхгофа
1. Нарисовать схему цепи. На рисунке выбрать и показать направления токов на всех участках цепи, при этом надо учесть, что в узел токи не могут только входить или только выходить из узла. Это следует из первого закона Кирхгофа.
2. Выбрать замкнутые контуры обхода для применения второго закона Кирхгофа. Показать на рисунке направление обхода по контуру. Контуров может быть несколько. Число независимых уравнений, которые можно составить по второму закону Кирхгофа, меньше чем число контуров. Чтобы составить необходимое число независимых уравнений надо придерживаться следующего правила: Выбирать контуры так, чтобы в каждый новый контур входил хотя бы один участок цепи, которого бы не было нив одном ранее рассмотренных контуров.
3. Используя первый закон Кирхгофа можно написать ( n – 1) уравнений, где n— число узлов в рассматриваемой цепи.
4. Воспользоваться вторым законом Кирхгофа и записать такое число уравнений, чтобы число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равнялось числу неизвестных величин в задаче. При этом надо учитывать следующее правило знаков: падение напряжения на каждом участке записывается со знаком «+», если направление обхода по этому участку совпадает с направлением тока на нем. И наоборот, если обход совершался по этому сопротивлению обратно направлению тока, то ставится знак « – ».
ЭДС записывается со знаком «+» в том случае, когда направление обхода совпадает с направлением поля сторонних сил в источнике тока и наоборот.
Поле сторонних сил внутри источника всегда направлено от отрицательного полюса к положительному.
5. Решить полученную систему уравнений и найти искомые величины.
В результате решения полученной системы уравнений определяемые величины могут получаться отрицательными. Отрицательное значение тока указывает на то, что фактическое направление тока на данном участке цепи обратно тому, которое мы выбрали.
7.3. Примеры решения задач на законы Кирхгофа
Два элемента с одинаковыми ЭДС e1 = e2 = 2В и внутренними сопротивлениями r1 = 1 Ом, r2 = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через первый элемент течет ток I1 = 1 А. Найдите сопротивление R, ток I2, текущий через второй элемент, и ток I, текущий через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.
Дано:
e 1 = e2 = 2 D;
1.Выберем направления токов на всех участках цепи так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.
2. Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним. Контуров выбрали два и нарисовали направления обхода по ним.
3. Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа. Узлов два, поэтому можно составить только одно уравнение, например для первого узла:
I1 + I2 — I = 0.
Токи, входящие в узел, пишем со знаком «+», а выходящие с знаком»–». Уравнение для второго узла будет тождественно первому.
4. Применим второй закон Кирхгофа для первого контура обхода. Падение напряжения на всех участках этого контура пишем со знаком «+», т.к. направление обхода на всех участках совпадает с направлением тока на этих участках
В этот контур входит только один источник тока e1, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, т.к. силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному, т.е. вниз.
Для второго контура, рассуждая аналогично, получим U2 = +I2r2 + IR. ЭДС будет входить в уравнение также со знаком «+».
Второе уравнение имеет вид: I2R2 + IR = e2.
5. Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
Решая систему, находим величину тока I2
.
Полный ток через сопротивление R равен сумме токов
I = I1 + I2 = 1,5 A.
Сопротивление R находим из одного из уравнений системы:
.
Ответ: ток через второй источник равен I2 = 0,5 А, суммарный ток
I = I1 + I2 = 1,5 А. Внешнее сопротивление R = 0,66 Ом.
Два одинаковых элемента имеют ЭДС e1 = e2 = 2 В и внутренние сопротивления r1 = r 2 = 0,5 Ом. Найдите токи I1 и I2, текущие через сопротивления R1 = 0,5 Ом и R2 = 1,5 Ом, а также ток I через первый элемент. Схема заданной цепи изображена на рисунке.
Дано:
e 1 = e2 = 2 В;
R2 = 1,5 Ом
1. Выберем направления токов на всех участках так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны верно.
2. Выберем два контура обхода: большой и малый. Укажем направления обходов по контурам. Контуров обхода в заданной цепи можно выбрать три, но для нахождения трех неизвестных величин достаточно трех уравнений. Узлов всего два, поэтому можно составить только одно уравнение, применяя первый закон Кирхгофа. Недостающих два уравнения составим используя второй закон Кирхгофа.
3. Для первого узла запишем:
I2 + I1 – I = 0.
4. Учитывая правила определения знаков всех слагаемых при применении второй закон Кирхгофа для большого контура, получаем уравнение:
Для малого контура:
5.Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными величинами I1; I2 и I.
Решать систему линейных уравнений можно разными способами. В случае, когда система состоит из большого числа уравнений удобно пользоваться методом Крамера (методом определителей). Проиллюстрируем применение этого метода решения на нашей системе уравнений. Для этого перепишем систему ещё раз:
или в численном виде; если поделить правую и левую части второго и третьего уравнении на « 0,5» получим
Искомые величины токов по методу определителей находятся следующим образом: и
,
где определители — определитель системы уравнений,
и
-определители, которые получаются заменой соответствующих столбцов определителя
столбцами, полученными из свободных членов уравнений образующих систему (с учетом заданных числовых значений). Запишем эти определители:
По приведенным выше формулам, получаем
и
.
Значение третьего тока можно найти аналогичным способом, но проще его значение получить из первого уравнения нашей системы:
I2 + I1 – I = 0 или I = I2 + I1 = 1,33 + 1,33 = 2,66 А
Знаки у всех полученных значений силы тока положительные, это свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, все направления токов были выбраны правильно.
Ответ: I1 = 1,33 А ; I2 = 1.33 А ; I = I1 + I2 = 2.66 А.
Два элемента с одинаковыми ЭДС 1 = 2 = 2В и внутренними сопротивлениями r1 = 1 Ом, r2 = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через элемент с ЭДС 1 — течет ток I1 = 1 А. Найти сопротивление R и ток I2, текущий через элемент с ЭДС 2. Какой ток течет через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.
Д
ано:
R — ? I — ?
Выберем направления токов на всех участках цепи. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.
Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним.
Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа для первого узла:
Токи, входящие в узел, пишем со знаком «+», а входящие с «–». Всего можно написать одно уравнение, т.к. второе будет тождественно первому.
Воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Запишем уравнение для первого контура обхода. Падение напряжения на всех участках 1-го контура напишем со знаком «+», т.к. направление обхода на этих участках совпадает с направлением тока
В этот контур входит только ЭДС 1, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, т.к. силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному.
Для второго контура U2 = +I2r2 + IR. И ЭДС будет входить в уравнение также со знаком «+».
Запишем уравнение I2R2 + IR = 2.
Получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
Решая систему, получаем
.
Полный ток через сопротивление R равен сумме токов
I = I1 + I2 = 1,5 A.
Сопротивление R находим из одного из уравнений
.
Ответ. Ток через второй источник равен I2 = 0,5 А, суммарный ток
I = I1 + I2 = 1,5 А. Внешнее сопротивление R = 2/3 Ом.
Два одинаковых элемента имеют ЭДС 1 = 2 = 2 В и внутренние сопротивления r1 = l2 =0,5 Ом. Найти токи I1 и I2, текущие через сопротивления R1 = 0,5 Ом и R2 = 1,5 Ом, а также ток I через элемент с ЭДС. Схема изображена на рисунке.
Д
ано:
Выберем направления токов на всех участках. Запишем первый закон Кирхгофа для 1-го узла
Выберем большой и малый контуры обхода. Для большого контура уравнение будет иметь вид:
Для малого контура
Получили три уравнения
В эти уравнения входят три неизвестных величины I1; I2 и I. Решаем систему уравнений и находим
I1 = 2,28 А ; I2 = 0,56 А ; I = I1 + I2 = 1,72 А.
Примеры решения задач на законы Кирхгофа
Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.
Задача 1
Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.
Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.
Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи
Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.
На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.
Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:
Все эти три уравнения образуют систему
Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).
Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.
Задача 2
Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.
Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2
Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.
На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными
Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины
Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.
Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.
Как решать задачи на правило кирхгофа
Соединения резисторов и источников в сложных цепях не всегда можно свести к совокупности последовательного и параллельного их соединений. Для расчётов сложных цепей удобно применять правила Кирхгофа.
Узлом электрической цепи будем называть точку, где сходятся не менее трёх проводников. Токи, подходящие к узлу, будем считать положительными, а выходящие из узла – отрицательными. Узел – это не обкладки конденсатора, где может происходить существенное накопление заряда. Отсюда следует первое правило Кирхгофа:
первое правило Кирхгофа
алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.
Участок цепи между двумя узлами называется ветвью. Возьмём в сложной цепи произвольный замкнутый контур, состоящий из отдельных ветвей. Выберем направление обхода контура по часовой стрелке или против. ЭДС в каждой ветви контура будем считать положительной, если направление её действия совпадает с выбранным направлением обхода контура, а в противном случае – отрицательной. Падение напряжения (произведение тока на сопротивление) в любой ветви контура будем считать положительным, если направление тока в этой ветви совпадает с направлением обхода контура, в противном случае – отрицательным. Записав для каждой ветви контура уравнение закона Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, и сложив все уравнения, получим второе правило Кирхгофа:
второе правило Кирхгофа
в произвольном замкнутом контуре любой электрической цепи сумма падений напряжений во всех ветвях контура равна алгебраической сумме ЭДС во всех ветвях контура.
Оба правила Кирхгофа справедливы не только для постоянных во времени значений всех величин, входящих в соответствующие уравнения, но и для их мгновенных значений.
При составлении уравнений по правилам Кирхгофа нужно придерживаться следующих рекомендаций. Если в цепи содержится n n узлов, то по первому правилу Кирхгофа можно составить только n – 1 n–1 независимых уравнений. При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа надо следить, чтобы в каждом новом контуре была хотя бы одна ранее не использованная ветвь. Отступление от этих рекомендаций приводит к появлению уравнений, являющихся следствием системы ранее составленных уравнений. В процессе решения такой «переполненной» системы может возникнуть тождество 0 = 0 0=0 , что приводит в замешательство решающего из-за «исчезновения» неизвестных системы.
Задача 18.1
![]() |
Рис. 18.1 |
В схеме на рис. 18.1 E 1 = 4,2 <\mathcal E>_1=4,2 B, E 2 = 3,8 <\mathcal E>_2=3,8 B, R 1 = R 2 = 10 R_1=R_2=10 Ом, R 3 = 45 R_3=45 Ом. Найти силу и направление тока во всех участках цепи. Считать, что внутренние сопротивления источников вошли в R 1 R_1 , и R 2 R_2 .
Зададим направления токов произвольно, например так, как показано на рис. 18.1.
Для нахождения трёх неизвестных токов надо составить три независимых уравнения. В схеме n = 2 n=2 узла. По первому правилу Кирхгофа составляем n — 1 = 1 n-1=1 уравнение. Для узла `C`:
I 1 — I 2 + I 3 = 0 I_1-I_2+I_3=0 .
Недостающие два уравнения составляем по второму правилу Кирхгофа для контуров `ABCA` и `ABCDA`:
I 1 R 1 — I 3 R 3 = E 1 I_1R_1-I_3R_3=<\mathcal E>_1 , I 1 R 1 + I 2 R 2 = E 1 — E 2 I_1R_1+I_2R_2=<\mathcal E>_1-<\mathcal E>_2 .
Решение системы полученных трёх уравнений в общем виде трудоёмко и даёт громоздкие выражения для токов. Систему удобно решать, подставив в неё значения ЭДС и сопротивлений:
I 1 — I 2 + I 3 = 0 I_1-I_2+I_3=0 , 10 I 1 — 45 I 2 = 4,2 10I_1-45I_2=4,2 , 10 I 1 + 10 I 2 = 0,4 10I_1+10I_2=0,4 .
Решая систему последний трёх уравнений, находим:
I 1 = 0,06 I_1=0,06 A, I 2 = — 0,02 I_2=-0,02 A, I 3 = — 0,08 I_3=-0,08 A.
Отрицательные значения токов I 2 I_2 и I 3 I_3 говорят о том, что истинные направления этих токов противоположны указанным на рис. 18.1.