В чем измеряется потенциал скорости

Потенциал скорости — Velocity potential

A потенциал скорости — это скалярный потенциал, используемый в теории потенциального потока. Он был введен Жозефом-Луи Лагранжем в 1788 году.

Он используется в механике сплошной среды, когда континуум занимает односвязное область и является безвихревым. В таком случае

, где u обозначает скорость потока. В результате u можно представить как градиент скалярной функции Φ:

Φ известен как потенциал скорости для u.

Потенциал скорости не уникален. Если Φ — потенциал скорости, то Φ + a (t) также является потенциалом скорости для u, где a (t) — скалярная функция времени и может быть постоянной. Другими словами, потенциалы скорости уникальны с точностью до константы или являются функцией исключительно временной переменной.

Если потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа, поток является несжимаемым ; можно проверить это утверждение, например, разработав ∇ × (∇ × u ) и используя, благодаря теореме Клеро-Шварца, коммутацию между градиентными и лапласовскими операторами.

В отличие от функции потока , потенциал скорости может существовать в трехмерном потоке.

• 1 Использование в акустике
• 2 Примечания
• 3 См. Также
• 4 Внешние ссылки

Использование в акустике

В теоретической акустике, часто желательно работать с уравнением акустической волны потенциала скорости Φ вместо давления p и / или скорости частицы u.

Решение волнового уравнения для поля p или поля u не обязательно дает простой ответ для другого поля. С другой стороны, когда определяется Φ, не только u находится, как указано выше, но также легко определяется p — из (линеаризованного) уравнения Бернулли для безвихревой и нестационарный поток — как

Примечания

См. также

• Завихренность
• Гамильтонова механика жидкости
• Потенциальный поток
• Потенциальный поток вокруг кругового цилиндра

Внешние ссылки

ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ

скалярная величина ф, характеризующая поле скоростей жидкости или газа и являющаяся ф-цней координат и времени. П. с. существует при потенциальном течении, для к-poro скорость v и её проекции на оси координат связаны с П. с. соотношениями: v = gradф, v_x = дф/дх, v_y2 = дф/dv и v_z — дф/дz. Единица П. с. (в СИ) — MVC.

Большой энциклопедический политехнический словарь . 2004 .

• ПОТЕНЦИАЛ ВОЗБУЖДЕНИЯ
• ПОТЕНЦИАЛ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ

Смотреть что такое «ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ» в других словарях:

• Потенциал скорости — (от латинского potentia сила) скалярная функция (φ) пространственных координат и времени, градиент которой равен вектору скорости V среды: V = grad(φ). П. с. существует для безвихревых течений, и введение П. с. позволяет эффективно их исследовать … Энциклопедия техники
• потенциал скорости — ( ) Скалярная функция, градиент которой равен вектору скорости, . [ГОСТ 23199 78] [ГОСТ 23281 78] Тематики аэродинамика летательных аппаратов Обобщающие термины характеристики течения газа EN velocity potential … Справочник технического переводчика
• потенциал скорости — greičio potencialas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. velocity potential vok. Geschwindigkeitspotential, n rus. потенциал скорости, m pranc. potentiel de vitesse, m … Fizikos terminų žodynas
• потенциал скорости — (от лат. potentia — сила) — скалярная функция φ пространственных координат и времени, градиент которой равен вектору скорости V среды: V = gradφ. П. с. существует для безвихревых течений, и введение П. с. позволяет эффективно их… … Энциклопедия «Авиация»
• потенциал скорости — (от лат. potentia — сила) — скалярная функция φ пространственных координат и времени, градиент которой равен вектору скорости V среды: V = gradφ. П. с. существует для безвихревых течений, и введение П. с. позволяет эффективно их… … Энциклопедия «Авиация»
• потенциал скорости — Скалярная функция координат и времени, градиент которой равен скорости жидкости … Политехнический терминологический толковый словарь
• вихревой потенциал скорости — вихревой потенциал скорости; отрасл. векторный потенциал Векторная функция А, ротор которой равен скорости вихревого движения жидкости … Политехнический терминологический толковый словарь
• Потенциал ускорения — скалярная функция Ф пространственных координат и времени t, градиент которой равен вектору ускорения W. Существует для безвихревых течений и при движении несжимаемой жидкости удовлетворяет, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. В аэро и… … Энциклопедия техники
• потенциал ускорения — потенциал ускорения — скалярная функция Ф пространственных координат и времени t, градиент которой равен вектору ускорения W: ,где φ — потенциал скорости. Существует для безвихревых течений и при движении несжимаемой жидкости… … Энциклопедия «Авиация»
• потенциал ускорения — потенциал ускорения — скалярная функция Ф пространственных координат и времени t, градиент которой равен вектору ускорения W: ,где φ — потенциал скорости. Существует для безвихревых течений и при движении несжимаемой жидкости… … Энциклопедия «Авиация»

6.2. Функция тока и потенциал скорости

Уравнение линии тока. Вектор скорости частицы w направлен по касательной к линии тока S; для плоского течения это показано на рис. 53. Пусть w_x, w_y — проекции вектора скорости на координатные оси. Из рис. 53 следует, что

где ds – элемент дуги линии тока. Составим производные пропорции:

Мы получили уравнение линии тока для плоского течения. В слу­чае трехмерного (пространственного) потока уравнения линии тока выводятся аналогично и имеют вид:

Функция тока для двухмер­ного течения. Дифференциальное уравнение линии тока плоского течения (6.5) может быть пред­ставлено в виде:

Введем такую «функцию тока» ψ(x, y), полный дифференциал которой равен левой части выражения (6.5б):

. (6.6)

Поскольку на линии тока согласно формуле (6.5б) dψ = 0, оче­видно, что функция тока сохраняет вдоль линии тока постоянное значение.

Полный дифференциал функции двух переменных ψ имеет вид:

Сравнивая это выражение с формулой (6.6), получаем, что про­изводные функции тока определяются зависимостями:

Сама функция тока может быть определена интегрированием вы­ражения (6.7).

К онтур поверхности тела, обтекаемого потоком идеальной жид­кости, сам является линией тока: в некоторой «критической» точке набегающий поток раздваивается и огибает тело. Следовательно, на обтекаемой поверхности функция тока постоянна. Но можно, наоборот, рас­сматривать любую линию тока как контур сечения твердого тела. Действи­тельно, если заменить об­ласть, ограниченную ли­нией тока твердым телом, то остальные линии тока не изменятся (так как жидкость мы считаем иде­альной, трение отсут­ствует). Они дают картину обтекания такого тела. В этом состоит принцип отвердения линий тока, широко применяемый в гидродинамике идеальной жидкости. Если, напри­мер, считать отвердевшими линии тока, проходящие на рис. 54 по координатным осям х, у, то получится картина течения внутри прямого угла.

Потенциал скорости. Функцией скоростного потенциала или — сокращенно — потенциалом скорости φ (х, у, z) называется та­кая функция, частные производные которой равны составляющим вектора скорости по соответствующим координатным осям:

Полный дифференциал функции φ равен

Сама функция скоростного потенциала определяется интегрирова­нием выражения (6. 9).

В ведение потенциала скорости позволяет заменить вектор­ное поле скорости течения, для изучения которого нужно знать три компоненты по координатным осям, распределением в про­странстве одной скалярной функции φ, что значительно упрощает исследование. В механике твердого тела вводится ана­логичное понятие «потенциала силы»; это скалярная функция, про­изводные от которой равны составляющим силы по координатным осям. Такую же природу имеет в электротехнике понятие потен­циала электрического поля: вместо задания в пространстве вектор­ной величины напряженности поля вводится скалярная функция потенциала V, производные от которой по координатным осям равны соответствующим компонентам вектора напряженности.

Придавая функции φ определенные значения, получаем уравне­ния поверхностей равного потенциала, или эквипотенци­альных поверхностей (в случае двухмерного течения — линий равного потенциала, или эквипотенциалей).

Рассмотрим связь потенциала скорости и функции тока. В слу­чае плоского (двухмерного) течения w_z = 0; дифференциал функ­ции тока выражается формулой (6. 6), дифференциал функции ско­ростного потенциала, из равенства (6. 9), формулой

Пусть линия тока ψ = const такого течения представлена на рис. 55 сплошной линией, эквипотенциаль φ = const — пунктир­ной линией.

Проведем к этим линиям касательные в точке их пересечения А. Угол наклона прямой АВ к оси абсцисс определится согласно урав­нению (6. 5б) выражением

угол наклона прямой AD выражением

Очевидно, что и угол β между касательными равен 90º.

Таким образом, функция тока ψ и потенциал скорости φ взаимно ортогональны; линии тока и эквипотенциали пе­ресекаются всегда под прямым углом. Это позволяет по известным эквипотенциалям строить линии тока и наоборот. Семейства линий ψ (х, у) = const и φ (х, у) = const, нанесенные на один чертеж, на­зываются гидродинамической сеткой течения. Пример такой сетки был приведен на рис. 54.

Сравнивая выражения для составляющих скорости плоского течения w_x и w_y через функцию тока ψ (6.7) и функцию скорост­ного потенциала φ (6.8), видим, что функции ψ и φ связаны усло­виями:

В математике эти условия называются условиями Коши—Римана. При их соблюдении оказывается возможным использовать для ис­следования функций ψ и φ математический аппарат теории функций комплексной переменной, который широко применяется в теории потенциального обтекания геометрически правильных тел.

В § 18 указывалось, что угловая скорость вращения жидкой частицы в плоском потоке определяется формулой (6.6). Если те­чение потенциально, т. е. существует некоторая функция скорост­ного потенциала φ, производные которой равны соответствующим компонентам вектора скорости, то согласно выражению (6.8) имеем

Равенство нулю угловой скорости вращения свидетельствует о том, что потенциальное течение — безвихре­вое, т. е. вращение частиц в нем отсутствует. Как будет показано в дальнейшем, у твердых поверхностей, ограничивающих поток, вследствие вязкости всегда формируются зоны вращательных дви­жений, поэтому вблизи стенок теория потенциального обтекания неприменима. Однако для изучения внешнего потока теория по­тенциала используется с большим успехом.

Применим к потенциальному течению несжимаемой жидкости уравнение неразрывности (2.7):

Подставляя в него выражения для компонентов скорости через функцию скоростного потенциала (6.8), получаем

Это уравнение известно в математической физике под названием уравнения Лапласа. Таким образом, для нахождения функции φ, полностью определяющей кинематику потенциального потока, необходимо решить уравнение Лапласа.

Дифференциальное уравнение в частных производных (6. 11) имеет бесчисленное множество решений, поэтому должны быть за­даны дополнительные (граничные) условия для данной конкретной задачи. Как уже говорилось в § 2.2, к таким условиям относятся за­дание скорости в удалении от обтекаемого тела w_∞ и условие ра­венства нулю на поверхности тела нормальной составляющей ско­рости. При этом предполагается, что жидкость обтекает тело без отрывов. У поверхности тела скорость направлена по касательной (имеет место «скольжение» жидкости).

В силу того, что сумма любого числа частных решений уравне­ния Лапласа является также его решением, оказывается возмож­ным суммировать потенциалы скорости простейших течений для получения картины сложного течения. В этом состоит идея метода наложения потенциальных потоков.

Моделирование потенциальных течений. Исследование обтека­ния реальных тел аналитическими методами представляет в общем случае большую математическую сложность. Отыскание функции скоростного потенциала или функции тока, например, для лопа­точных профилей наперед заданной формы оказывается весьма трудным. Эта задача существенно упрощается с использованием метода аналогий. Наибольшее развитие к настоящему времени по­лучило исследование потенциальных потоков методом электрогид­родинамической аналогии (ЭГДА). Он базируется на следующих положениях.

Согласно выводам теоретической электротехники распределение электрического потенциала в проводнике, как и распределение по­тенциала в безвихревом потоке идеальной жидкости, подчиняется уравнению Лапласа. Действительно, закон Ома, связывающий силу тока с распределением потенциала электрического поля, записы­вается в дифференциальной форме следующим образом:

Здесь i — плотность тока, т. е. количество электричества, проте­кающее в 1 сек, через единицу площади проводника; V — электри­ческий потенциал; С — коэффициент электропроводности (вели­чина, обратная удельному сопротивлению).

По закону Кирхгофа, уравнение сплошности электрического тока имеет вид:

т. е. оно аналогично уравнению неразрывности (2.7). Подставим в него значение i из системы (6.12). При постоянной электропро­водности среды C уравнение сплош­ности принимает вид:

т . е. мы опять получили уравнение Лапласа.

Таким образом, электрический потенциал V аналогичен потен­циалу скорости φ, удельная плот­ность электрического тока — ана­логична скорости течения w. По­этому, если область распростране­ния электрического тока геомет­рически подобна области течения жидкости, а граничные условия для V и φ аналогичны, интегралы уравнения Лапласа (6. 11) и (6.11a) будут отличаться лишь про­извольными постоянными. Эквипотенциальные поверхности в элек­трическом поле V (х, у, z) = const в этом случае соответствуют эк­випотенциальным поверхностям в потоке жидкости φ (х, у, z) = const, а силовые линии в электрическом поле соответствуют ли­ниям тока в жидкости. Практическое использование этой аналогии состоит в том, что уравнение Лапласа решается на установке ЭГДА, а результаты решения переносятся на поток жидкости.

Для решения задач плоского потенциального обтекания сейчас преимущественно используются модели, в которых в качестве элек­тропроводного материала применяется бумага с графитовым по­крытием. Для измерения потенциалов в различных точках модели измерительная цепь собирается по мостовой схеме (рис. 56). По­стоянный или переменный ток от источника тока подводится к ши­нам Ш1 и Ш2. Параллельно шинам подключен потенциометр R, на скользящем контакте К которого можно задавать любые проме­жуточные значения электрического потенциала между потенциа­лами шин Ш1 и Ш2. Указателем равновесия моста является гальва­нометр Г, включенный в цепь щупа Щ. Прикасаясь щупом Щ к какой-либо точке графитированной бумаги, мы подаем на щуп элек­трический потенциал данной точки.

Граничные условия в моделируемом потоке жидкости таковы:

1. Вдали от обтекаемого тела на линиях, перпендикулярных вектору скорости (им соответствуют линии установки шин на модели, рис. 56), потенциал скорости φ сохраняет постоянное значение: φ = const.
2. На поверхности обтекаемого тела (ей соответствует вырезанный участок на электропроводной бумаге) .

Задавая на потенциометре различные значения электрического потенциала V, с помощью щупа находят на модели точки, принад­лежащие линиям равного потенциала. В этих точках ток в цепи щупа равен нулю, стрелка гальванометра не отклоняется. В этом состоит «аналогия А», позволяющая построить эквипотенциали пло­ского потока.

В силу взаимной ортогональности функций скоростного потен­циала φ и тока ψ на установке ЭГДА можно также смоделировать течение таким образом, чтобы линии равного потенциала электри­ческого поля соответствовали линиям тока в жидкости, силовые линии — эквипотенциалям в потоке жидкости. В этом случае на участок модели, соответствующий обтекаемому телу, наклеивается электропроводным клеем модель сечения тела, вырезанная из ма­териала, электропроводность которого во много раз превосходит электропроводность бумаги. Шины размещаются по сторонам модели вдоль потока. Построив с помощью щупа эквипотенциали элек­трического поля, мы получим картину линий тока в потоке жидко­сти. Этот способ получил название «аналогии B».

Построение гидродинамической сетки течения методом ЭГДА осуществляется быстро, не требует высокой квалификации испол­нителей или сложного оборудования и в то же время обеспечивает высокую точность решения. Этим объясняется его широкое приме­нение.

потенциальное течение

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ — безвихревое движение жидкости или газа, при к-ром каждый малый объём деформируется и перемещается поступательно, но не имеет вращения (вихря). При П. т. проекции скорости частицы жидкости на оси координат представляются в виде частных производных

от ф-ции f координат и времени, наз. потенциалом скорости течения. Движение реальных жидкостей и газов будет потенциальным в тех областях, в к-рых действие сил вязкости ничтожно мало по сравнению с действием сил давления (жидкость считается идеальной) и в к-рых нет завихрений, образовавшихся за счёт срыва со стенок пограничного слоя или за счёт неравномерного нагревания. Необходимыми и достаточными условиями потенциальности течения являются равенства

Простейшими примерами П. т. служат поступат. течение с пост. скоростью вдоль оси x (

потенциал » + const), а также источник и сток в пространстве, для к-рых где Q — постоянная (Q = const) или переменная (Q = Q(t))мощность источника (стока), — расстояние от начала координат. При Q > 0 жидкость вытекает из начала координат во всех направлениях (точечный источник), а при Q < 0 - втекает в начало координат (сток).

Движение идеальной жидкости, возникшее из состояния покоя, будет потенциальным; будучи потенциальным в к—л. момент времени, оно будет потенциальным и в последующее время, если давление зависит только от плотности и массовые силы являются консервативными (см. Консервативная система ).Движение идеальной несжимаемой (плотность = const) жидкости, вызванное мгновенным приложением импульс-них давлений (внезапное движение погружённого тела, удар тела о поверхность жидкости), будет также потенциальным.

Для П. т. дифференц. ур-ния движения идеальной жидкости приводятся к интегралу Лагранжа — Коши:

где П — потенц. энергия поля массовых сил, приходящаяся на единицу массы, — произвольная ф-ция от времени t.

Для установившегося движения соотношение (1) принимает вид

где С — постоянная для всей области П. т. сжимаемой жидкости. Т. о., для изучения П. т. достаточно определить потенциал скоростей с помощью неразрывности уравнения, соотношения (2) и ур-ния физ. состояния. Для несжимаемой жидкости ур-ние неразрывности имеет вид

и поэтому изучение П. т. сводится к, решению ур-ния Лапласа

с учётом граничных условий на твёрдых стенках и на свободной поверхности (условий безотрывности обтекания твёрдых стенок и условия постоянства давления на свободной поверхности).

Для плоскопараллельного П. т. несжимаемой жидкости ур-ние неразрывности позволяет ввести ф-цию тока

к-рая в комбинации с потенциалом скоростей f составляет комплексный потенциал представляющий ф-цию от комплексного переменного С помощью комплексного потенциала скоростей изучаются безотрывное обтекание плоского контура, струйное обтекание стенок и волновое движение. Безотрывное П. т. вокруг плоского контура может быть бесциркуляционным или циркуляционным. В первом случае результирующее воздействие жидкости на плоский контур равно нулю (см. Д-Аламбера — Эйлера парадокс), во втором — результирующее воздействие потока жидкости на контур сводится к подъёмной силе, а в случае струйного П. т. вокруг плоского контура — к силе сопротивления, пропорциональной квадрату скорости. П. т. имеет место также при движениях сжимаемой жидкости или газа, представляющих собой малые возмущения нек-рого известного состояния равновесия пли движения, напр. при распространении звука в среде; при этом малый избыток давления над давлением в состоянии равновесия среды связан с потенциалом скоростей соотношением а из ур-ния неразрывности в случае, когда потенциал массовых сил не зависит от времени, получается волновое ур-ние

где с — скорость распространения звука, вычисленная для невозмущённого состояния покоя: Для П. т. газа при адиабатич. законе дифференц. ур-ние для потенциала скоростей становится нелинейным, но с помощью преобразования С. А. Чаплыгина оно приводится к линейному ур-нию, разрешаемому в ряде случаев.

Лит.: Кочин H. E., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963; Лой-цянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 6 изд., М., 1987; Седов Л. И., Механика сплошной среды, 4 изд., т, 1 — 2, М., 1983-84.