Как найти синус бета физика

Как найти синус угла в треугольнике? Не в прямоугольном, в любом

Если рассматриваемый треугольник является прямоугольным, то можно использовать базовое определение тригонометрической функции синуса для острых углов. По определению синусом угла называют соотношение длины катета, лежащего напротив этого угла, к длине гипотенузы этого треугольника. То есть, если катеты имеют длину А и В, а длина гипотенузы равна С, то синус угла α, лежащего напротив катета А, определяйте по формуле α=А/С, а синус угла β, лежащего напротив катета В — по формуле β=В/С. Синус третьего угла в прямоугольном треугольнике находить нет необходимости, так как угол, лежащий напротив гипотенузы всегда равен 90°, а его синус всегда равен единице.

2
Для нахождения синусов углов в произвольном треугольнике, как это ни странно, проще использовать не теорему синусов, а теорему косинусов. Она гласит, что возведенная в квадрат длина любой стороны равна сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения этих длин на косинус угла между ними: А²=В²+С2-2*В*С*cos(α). Из этой теоремы можно вывести формулу для нахождения косинуса: cos(α)=(В²+С²-А²)/(2*В*С) . А поскольку сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице, то можно вывести и формулу для нахождения синуса угла α: sin(α)=√(1-(cos(α))²)= √(1-(В²+С²-А²)²/(2*В*С) ²).

3
Воспользуйтесь для нахождения синуса угла двумя разными формулами расчета площади треугольника, в одной из которых задействованы только длины его сторон, а в другой — длины двух сторон и синус угла между ними. Так как результаты их будут равны, то из тождества можно выразить синус угла. Формула нахождения площади через длины сторон (формула Герона) выглядит так: S=¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С)) . А вторую формулу можно написать так: S=А*В*sin(γ). Подставьте первую формулу во вторую и составьте формулу для синуса угла, лежащего напротив стороны С: sin(γ)= ¼*√((А+В+С) *(В+С-А) *(А+С-В) *(А+В-С) /(А*В)) . Синусы двух других углов можно найти по аналогичным формулам.

Синус, косинус острого угла треугольника

Если у нас есть треугольник \(ABC\) , рисунок выше, для которого \(С\) — прямой угол, то сторонами \(BC\) и \(AC\) будут катеты, а сторона \(AB\) — гипотенуза. Следовательно, по определению, синус угла \(ABC\) равен отношению катета \(АС\) к гипотенузе: синус угла \(ABC=\frac\) и синус угла \(BAC=\frac\) .

косинус угла \(ABC=\frac\) и косинус угла \(BAC=\frac\) .

Чаще всего известно лишь часть данных, например катет и угол, нужно выразить неизвестную величину. Подумайте, как это сделать.

Пример 1. Вычислим синус по двум катетам.

Берем тот же треугольник \(ACB\) с прямым углом \(С\) в котором мы знаем катеты: \(BC = 3\) , \(AC = 4\) . Для вычисления синуса угла с необходимо разделить катет на гипотенузу: \(sin ∠BAC = \frac < AB>\) .

Гипотенузу вычислим из теоремы Пифагора: \(AC^2+BC^2=AB^2\) \(9+16=25\) \(AB=5\) откуда синус равен:
\(sin ∠ BAC = \frac<3>\)

Пример 2. Вычислим синус угла \(ABC\) по углу \( BAC \) 30° градусов в прямоугольном треугольнике \(ACB\) .

Самое главное помнить, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 °. Найдем угол \(ABC\) :
\(180\) ° \(-30\) ° \(-90\) ° \(=60\) °.
\(sin\) \(60\) ° возьмем из табличного значения: \(\frac< \sqrt<3>> < 2>\)
Табличные значения \(sin\) и \(cos\) :

Чтобы лучше понимать значения табличные значения синуса и косинуса представим их на координатной окружности: где ось ординат \((y)\) линия синуса, ось абсцисс \((x)\) – линия косинуса. Если вы забыли значения синуса и косинуса \(90\) и \(180\) можно нарисовать рисунок и посмотреть значения, не забывая, что на первом месте стоит \(x\) , на втором \(y\) \((x,y)\) ;

Теорема синусов:

Теорема косинусов:

Часто задаваемые вопросы:

↪ Для угла в 0 градусов синус равен 0, а косинус равен 1.

↪ Да, синус и косинус могут быть определены для любого угла, используя единичный круг. Значения этих функций для углов, превышающих 90 градусов, будут зависеть от четверти, в которой находится угол.

Дарим в подарок бесплатный вводный урок!

Репетиторы

• Репетитор по математике
• Репетитор по физике
• Репетитор по химии
• Репетитор по русскому языку
• Репетитор по английскому языку
• Репетитор по обществознанию
• Репетитор по истории России
• Репетитор по биологии
• Репетитор по географии
• Репетитор по информатике

Специализация

• Репетитор по грамматике русского языка
• Репетитор по английскому языку для подготовки к ЕГЭ
• Подготовка к олимпиадам по английскому языку
• Репетитор по разговорному английскому
• ВПР по математике
• Репетитор для подготовки к ВПР по английскому языку
• Репетитор для подготовки к ЕГЭ по обществознанию
• Репетитор для подготовки к ОГЭ по обществознанию
• Репетитор по биологии для подготовки к ЕГЭ
• Программирование Pascal

Предметы по класам

• 1 класс
• 2 класс
• 3 класс
• 4 класс
• 5 класс
• 6 класс
• 7 класс
• 8 класс
• 9 класс
• 10 класс
• 11 класс
• Не школьник

Теорема синусов

Железнодорожные рельсы параллельны друг другу, а деревья растут под наклоном к земле. Увы, с соотношением сторон в треугольнике все не так просто: чтобы их определить, нужна теорема синусов.

24 декабря 2020

· Обновлено 23 июня 2023

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

1. На b сокращаем, воспользуемся правилом пропорции и получим:

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

• Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
• Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Открыть диалоговое окно с формой по клику

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

,где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA₁. В этом случае точка А и точка А₁ лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А₁ = α. Треугольник BA₁C — прямоугольный, в нём ∠ BCA₁ = 90°, так как он опирается на диаметр BA₁.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA₁C, нужно умножить гипотенузу BA₁ на синус противолежащего угла.

BA₁ = 2R, где R — радиус окружности

Для остроугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA₁. Точки А и A₁ по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA₁B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А₁ = 180° — α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

В треугольнике BCA₁ угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

Для тупоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Синус, косинус, тангенс и котангенс

Понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса неразрывно связаны с понятием угла.

Звучит ужасно, да?

Не так страшен чёрт, как его малюют!

Чтобы хорошо разобраться в этих понятиях (нет, не в чёрте! в тригонометрии �� ), начнём с самого начала.

Синус, косинус, тангенс, котангенс — коротко о главном.

Синус угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе

Косинус угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе

Тангенс угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому)

Котангенс угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

Понятие угла: радиан, градус

Давай для начала разберёмся в понятии угла.

Посмотрим на рисунок.

Вектор \( AB\) «повернулся» относительно точки \( A\) на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол \( \alpha \).

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в \( 1<>^\circ \) (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную \( \frac\) части окружности.

Таким образом, вся окружность состоит из \( 360\) «кусочков» круговых дуг. То есть угол, описываемый окружностью, равен \( 360<>^\circ \).

То есть на рисунке выше изображён угол \( \beta \), равный \( 50<>^\circ \), то есть этот угол опирается на круговую дугу размером \( \frac\) длины окружности.

Углом в \( 1\) радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Ну что, разобрался? Если нет, то давай разбираться по рисунку.

Итак, на рисунке изображён угол \( \gamma \), равный \( 1\) радиану.

То есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина \( AB\) равна длине \( BB’\) или радиус \( r\) равен длине дуги \( l\)).

Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

\( l=\theta \cdot r\), где \( \theta \) — центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью?

Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен \( 2\pi \).

То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что \( 2\pi =360<>^\circ \).

Соответственно, \( \pi =180<>^\circ \).

Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.

А сколько радиан составляют \( 60<>^\circ \)?

Уловил? Тогда вперёд закреплять:

Тогда смотри ответы:

Cинус, косинус, тангенс, котангенс угла в прямоугольном треугольнике

Итак, с понятием угла разобрались. А что же всё-таки такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла?

Давай разбираться. Для этого нам поможет прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Всё верно, гипотенуза и катеты.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \( AC\))

Катеты – это две оставшиеся стороны \( AB\) и \( BC\) (те, что прилегают к прямому углу).

Причём, если рассматривать катеты относительно угла \( \angle BAC\), то катет \( AB\) – это прилежащий катет, а катет \( BC\) — противолежащий.

Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \sin \beta =\frac\).

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике \( \cos \beta =\frac\).

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике \( tg\beta =\frac\).

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике \( ctg\beta =\frac\).

Эти определения необходимо запомнить!

Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе.

А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле).

Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \( \beta \).

По определению, из треугольника \( ABC\): \( \cos \beta =\frac=\frac=\frac\).

Но ведь мы можем вычислить косинус угла \( \beta \) и из треугольника \( AHI\): \( \cos \beta =\frac=\frac=\frac\).

Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника \( ABC\), изображённого ниже на рисунке, найдём \( \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \( \beta \).

Ответы: \( \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\frac\).

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \( 1\).

Такая окружность называется единичной. Еще ее называют тригонометрической. Это одно и тоже.

Эта окружность — универсальная шпаргалка для решения уравнений и даже неравенств, если уметь ей пользоваться!

У нас есть целая статья, посвященная ей, которая так и называется «Тригонометрическая (единичная) окружность».

Здесь мы тоже ее разберем довольно подробно.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат.

Радиус окружности равен единице.

При этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \( x\) (в нашем примере, это радиус \( AB\)).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \( x\) и координата по оси \( y\).

А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме?

Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник.

На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника.

Рассмотрим треугольник \( ACG\). Он прямоугольный, так как \( CG\) является перпендикуляром к оси \( x\).

Чему равен \( \cos \ \alpha \) из треугольника \( ACG\)?

Всё верно \( \cos \ \alpha =\frac\).

Кроме того, нам ведь известно, что \( AC\) – это радиус единичной окружности, а значит, \( AC=1\).

Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

А чему равен \( \sin \ \alpha \) из треугольника \( ACG\)?

Ну конечно, \( \sin \alpha =\frac\)!

Подставим значение радиуса \( AC\) в эту формулу и получим:

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \( C\), принадлежащая окружности? Ну что, никак?

А если сообразить, что \( \cos \ \alpha \) и \( \sin \alpha \) — это просто числа?

Какой координате соответствует \( \cos \alpha \)?

Ну, конечно, координате \( x\)!

А какой координате соответствует \( \sin \alpha \)?

Всё верно, координате \( y\)!

Таким образом, точка \( C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha )\).

А чему тогда равны \( tg \alpha \) и \( ctg \alpha \)?

Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \( tg \alpha =\frac=\frac\), а \( ctg \alpha =\frac=\frac\).

А что, если угол будет больше \( 90<>^\circ =\frac<\pi >\)?

Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере?

Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику.

Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла \( _><_>G=180<>^\circ -\beta \ \)?

Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \( y\); значение косинуса угла – координате \( x\); а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям.

Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \( x\).

До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке?

Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным.

Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \( 360<>^\circ \) или \( 2\pi \).

А можно повернуть радиус-вектор на \( 390<>^\circ \) или на \( -1140<>^\circ \)?

Ну конечно, можно!

В первом случае, \( 390<>^\circ =360<>^\circ +30<>^\circ \), таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \( 30<>^\circ \) или \( \frac<\pi >\).

Во втором случае, \( -1140<>^\circ =-360<>^\circ \cdot 3-60<>^\circ \), то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении \( -60<>^\circ \) или \( -\frac<\pi >\).

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \( 360<>^\circ \cdot m\) или \( 2\pi \cdot m\) (где \( m\) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол \( \beta =-60<>^\circ \).

Это же изображение соответствует углу \( -420<>^\circ ,-780<>^\circ ,\ 300<>^\circ ,660<>^\circ \) и т.д.

Этот список можно продолжить до бесконечности.

Все эти углы можно записать общей формулой \( \beta +360<>^\circ \cdot m\) или \( \beta +2\pi \cdot m\) (где \( m\) – любое целое число)

\( \begin-420<>^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780<>^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300<>^\circ =-60+360\cdot 1;\\660<>^\circ =-60+360\cdot 2.\end\)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

\( \begin\sin \ 90<>^\circ =?\\\cos \ 90<>^\circ =?\\\text\ 90<>^\circ =?\\\text\ 90<>^\circ =?\\\sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =?\\\text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =?\\\text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =?\\\sin \ 270<>^\circ =?\\\cos \ 270<>^\circ =?\\\text\ 270<>^\circ =?\\\text\ 270<>^\circ =?\\\sin \ 360<>^\circ =?\\\cos \ 360<>^\circ =?\\\text\ 360<>^\circ =?\\\text\ 360<>^\circ =?\\\sin \ 450<>^\circ =?\\\cos \ 450<>^\circ =?\\\text\ 450<>^\circ =?\\\text\ 450<>^\circ =?\end\)

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться.

Итак, мы знаем, что:

Отсюда мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла.

Ну что же, начнём по порядку: углу в \( 90<>^\circ =\frac<\pi >\) соответствует точка с координатами \( \left( 0;1 \right)\), следовательно:

\( \text\ 90<>^\circ =\frac=\frac\Rightarrow \text\ 90<>^\circ \) — не существует;

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в \( 180<>^\circ ,\ 270<>^\circ ,\ 360<>^\circ ,\ 450<>^\circ (=360<>^\circ +90<>^\circ )\ \) соответствуют точки с координатами \( \left( -1;0 \right),\text< >\left( 0;-1 \right),\text< >\left( 1;0 \right),\text< >\left( 0;1 \right)\), соответственно.

Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

\( \displaystyle \sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =0\) \( \displaystyle \cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =-1\) \( \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\frac=0\)

\( \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\frac\Rightarrow \text\ \pi \) — не существует

\( \sin \ 270<>^\circ =-1\) \( \cos \ 270<>^\circ =0\)

\( \text\ 270<>^\circ =\frac\Rightarrow \text\ 270<>^\circ \) — не существует

\( \text\ 270<>^\circ =\frac=0\) \( \sin \ 360<>^\circ =0\) \( \cos \ 360<>^\circ =1\) \( \text\ 360<>^\circ =\frac=0\)

\( \text\ 360<>^\circ =\frac\Rightarrow \text\ 2\pi \) — не существует

\( \sin \ 450<>^\circ =\sin \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\sin \ 90<>^\circ =1\) \( \cos \ 450<>^\circ =\cos \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\cos \ 90<>^\circ =0\)

\( \text\ 450<>^\circ =\text\ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\frac\Rightarrow \text\ 450<>^\circ \) — не существует

\( \text\ 450<>^\circ =\text\left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\frac=0\).

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения!

Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

А вот значения тригонометрических функций углов в \( 30<>^\circ =\frac<\pi >,\ 45<>^\circ =\frac<\pi >\) и \( 30<>^\circ =\frac<\pi >,\ 45<>^\circ =\frac<\pi >\), приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений: