Что такое d в электромагнетизме
Перейти к содержимому

Что такое d в электромагнетизме

  • автор:

Что такое d в электромагнетизме

Лекция 5. Вектор электрической индукции. Граничные условия для векторов E и D

Лекция из курса:

Поделиться:

Лекция 5. Вектор электрической индукции. Граничные условия для векторов E и D

1 / Загрузка

Скачать конспект лекции

Предыдущая лекция

Лекция 4. Конденсаторы. Диэлектрики в электростатическом поле

Следующая лекция

Лекция 6. Энергия и силы в электростатике

Мы в соцсетях:

© 2024 МГУ имени М. В. Ломоносова

Нашли ошибку или баг? Сообщите нам!

Ваши комментарии о найденых ошибках в лекциях, конспектах или о баге

§ 3.4. Вектор D

Теорема Гаусса для поля вектора D. Поскольку источниками поля Е являются все электрические заряды — сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля Е можно записать так:

0 E d S ( q q ) внутр , (3.15)

где q и q — сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью S . Появление связанных зарядов q усложняет дело, и формула (3.15) оказывается малополезной для нахож-

Электрическое поле в диэлектрике 77

дения поля Е в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» симметрии. Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды q , которые в свою очередь определяются неизвестным полем Е . Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить заряд q через поток вектора Р по формуле (3.6). Тогда выражение (3.15) можно преобразовать к такому виду:

K ( 0 E + P ) d S q внутр . (3.16)

Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой D . Итак, мы нашли вспомогательный вектор D :

D 0 E + P , (3.17)

поток которого сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью:

K D d S q внутр . (3.18)

Это и есть теорема Гаусса для поля вектора D . Заметим, что вектор D представляет собой сумму двух совершенно различных величин: 0 Е и Р . Поэтому он действительно вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла. Однако свойство поля вектора D , выражаемое уравнением (3.18), оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в диэлектриках * . Соотношения (3.17) и (3.18) справедливы для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного. Как видно из выражения (3.17), размерность вектора D та же, что и вектора Р . Единицей величины D служит кулон на квадратный метр (Кл/м 2 ). * Величину D часто называют электрическим смещением или электрической индукцией , однако мы не будем пользоваться этими терминами, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер вектора D .

78 Глава 3
Дифференциальная форма уравнения (3.18):
(3.19)
D · D ,

т. е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке. Это уравнение можно получить из (3.18) тем же способом, как это было проделано в случае поля Е (см. с. 23). Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить Е на D и учесть лишь сторонние заряды. В тех точках, где дивергенция D положительна, мы имеем источники поля D ( > 0), а в тех точках, где она отрицательна, — стоки поля D ( < 0). Связь между векторами D и Е. В случае изотропных диэлектриков поляризованность Р k 0 Е . Подставив это соотношение в (3.17), получим D 0 (1 + k) Е , или

D 0 E , (3.20)
где — диэлектрическая проницаемость вещества:
1 + k. (3.21)

Диэлектрическая проницаемость (как и k) является основной электрической характеристикой диэлектрика. Для всех веществ > 1, для вакуума 1. Значения зависят от природы диэлектрика и колеблются от величин, весьма мало отличающихся от единицы (газы) до многих тысяч (у некоторых керамик). Большое значение имеет вода ( 81). Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектриках вектор D коллинеарен вектору Е . В анизотропных же диэлектриках эти векторы, вообще говоря, не коллинеарны. Поле вектора D наглядно можно изобразить с помощью линий вектора D , направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора Е . Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах; мы говорим, что источниками и стоками поля Е являются любые заряды. Источниками же и стоками поля вектора D являются только сторонние заряды: только на них могут начинаться и заканчиваться линии вектора D . Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Электрическое поле в диэлектрике 79

Замечание о поле вектора D. Поле вектора D зависит, вообще говоря, как от сторонних, так и от связанных зарядов (как и поле вектора Е ). Об этом говорит уже соотношение D 0 Е . Однако в некоторых симметричных случаях поле вектора D можно определить, используя только сторонние заряды. Именно для таких случаев вектор D является особенно полезным, резко упрощая расчет. Вместе с тем это дает повод довольно часто ошибочно думать, что поле D якобы зависит всегда только от сторонних зарядов, и неверно трактовать законы (3.18) и (3.19). Эти законы выражают только определенное свойство поля вектора D , само же поле этого вектора они не определяют. Проиллюстрируем вышесказанное на нескольких примерах. Пример 1. Точечный сторонний заряд q находится в центре шара радиусом а из однородного изотропного диэлектрика проницаемости . Найти напряженность Е поля как функцию расстояния r от центра данного шара. Симметрия системы позволяет для решения интересующего нас вопроса использовать теоре- му Гаусса для вектора D (воспользоваться аналогичной теоремой для поля Е здесь не представляется возможным, поскольку нам не известен связанный заряд). Для сферы радиусом r с центром в точке нахождения заряда q можно записать: 4 r 2 D r q. Отсюда находим D r и по формуле (3.20) иско-

мую напряженность Е :
E r ( r . a ) 1 q E r ( r / a ) 1 q
, .
4 r 2 4 r 2
0 0

Графики зависимостей D ( r ) и Е ( r ) показаны на рис. 3.4. Пример 2. Пусть система состоит из точечного заряда q > 0 и произвольного куска однородного изотропного диэлектрика (рис. 3.5), где S — некоторая замкнутая поверхность. Выясним, что произойдет с полем векторов E и D , а также с их потоками сквозь поверхность S , если диэлектрик Рис. 3.5 удалить.

ЦЕПОЧКИ ПОЛЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Последовательное использование внешних дифференциальных форм в электромагнетизме показывает, что поля электромагнетизма представляются геометрическими величинами двух различных типов: дифференциальными формами и контравариантными (антисимметричными) тензорными плотностями. Соответственно, электромагнитные поля изображаются силовыми трубками или семейством биповерхностей. Эти величины связаны между собой специфической операцией, названной сопряжением, которая является частью операции Ходжа . Сопряжение делает возможным многократное дифференцирование полей и таким образом приводит к цепочкам полей. Оператор Лапласа выражен в терминах сопряжения и изучено его воздействие на отдельные цепочки. Подробно и наглядно рассмотрены цепочки полей, связанные с электрическим и магнитным диполями. Разложение Гельмгольца представляет собой разложение поля на замкнутую и замкнутую после сопряжения части. Широко используется понятие границы поля. Найдено некоторое достаточное условие гармоничности поля.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Храпко Радий Игоревич

РАЗЛОЖЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА, ETC.
ФУНКЦИИ ГРИНА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Математическая модель электромагнитного поля с локальным определением плотности электрического заряда

Анализ векторных конечноэлементных аппроксимаций уравнений Максвелла в анизотропных средах
Использование формализма монополей Дирака в некоторых задачах магнетизма
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «ЦЕПОЧКИ ПОЛЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 36

Цепочки полей электромагнетизма

Последовательное использование внешних дифференциальных форм в электромагнетизме показывает, что поля электромагнетизма представляются геометрическими величинами двух различных типов: дифференциальными формами и контравариантными (антисимметричными) тензорными плотностями. Соответственно, электромагнитные поля изображаются силовыми трубками или семейством биповерхностей. Эти величины связаны между собой специфической операцией, названной сопряжением, которая является частью операции Ходжа. Сопряжение делает возможным многократное дифференцирование полей и таким образом приводит к цепочкам полей. Оператор Лапласа выражен в терминах сопряжения и изучено его воздействие на отдельные цепочки. Подробно и наглядно рассмотрены цепочки полей, связанные с электрическим и магнитным диполями. Разложение Гельмгольца представляет собой разложение поля на замкнутую и замкнутую после сопряжения части. Широко используется понятие границы поля. Найдено некоторое достаточное условие гармоничности поля.

дифференциальные формы; разложение Гельмгольца; операция Ходжа; оператор Лапласа

1. Введение. Разложение Гельмгольца

При преподавании курса электромагнетизма естественно используется идея о том, что источником безвихревого (продольного) электрического поля являются электрические заряды. Это иллюстрируется тем, что силовые линии (правильнее, силовые трубки) этого поля исходят из зарядов, как на рис. 1, взятом из [1], или на

Безвихревое векторное поле.

Силовые линии исходят из зарядов.

рис. 4. Мы обращаем внимание на то, что, таким образом, заряды оказываются границей силовых трубок этого поля [2]. Мы говорим, что плотность электрических зарядов р является границей безвихревого электрического поля и что это поле является наполнением этой границы. Переход от поля к его границе осуществляется дифференциальной операцией, в данном случае дивергенцией:

р/s0 = divE = E = 5E . (1.1)

Существуют, однако, поля, граница которых равна нулю. Наиболее простой пример это соленоидальное (поперечное) электрическое поле, для которого divE = 0 . Оно изображено на рис. 2, взятом из [3] вместе с текстом. Силовые линии (силовые трубки) этого поля не имеют концов. Мы называем это поле замкнутым и показываем, что такая же ситуация складывается для всех других полей, граница которых равна нулю, т. е. для полей, удовлетворяющих, например, rot E = 0 , div j = 0, rot B = 0 . Именно, геометрические многообразия, изображающие такие поля, замкнуты.

Известное разложение Гельмгольца [4,5] заключается как раз в том, что некоторое поле, например, электрическое векторное поле E , представляется суммой двух векторных полей, безвихревого поля, которое мы обозначаем E , и

соленоидального поля, которое мы обозначаем E :

E = E + E, rot E = Vx E = 0, divE = V- E = 0. (1.2)

Безвихревое электрическое поле обычно обозначают E l [4] или Ey, однако главной чертой этого

поля является то, что его силовые линии выходят из зарядов как показано на рис 1. Чтобы подчеркнуть это

Fig. 32.22 Electric field lines (black) within solenoid and outside of solenoid.

С о л еноид ал ьно е электрическое поле, порожденное переменным магнитным полем.

Силовые линии образуют замкнутые петли, они не имеют концов.

свойство, мы используем крестик х для обозначения первого слагаемого в формуле (1.2).

Соленоидальное электрическое векторное поле обычно обозначают E, [4] или E ±, однако главной чертой этого поля является замкнутость его силовых линий (рис 2). Поэтому мы выбрали кружок o для обозначения второго слагаемого разложения Гельмгольца (1.2).

2. Дифференциальные формы, тензорные плотности, граница, etc

Важно осознавать, что электромагнитные поля на самом деле описываются геометрическими величинами двух различных типов [5-7].

Во-первых, это контравариантные (антисимметричные) тензорные плотности: Б’Лк, 7Л, Е’Л, рЛ. В число таких полей входит рассмотренное выше «векторное поле Е », которое в действительност является векторной плотностью.

Во-вторых, это ковариантные (антисимметричные) тензоры, в частности, скалярные функции и ковектора, именно, ф, Ei, , Б^, которые называются внешними

дифференциальными формами (кратко, формами).

Разница между формами и тензорными плотностями известна давно (см. рис. 3), взятый из [6] вместе с текстом. Классическая монография [6,7] выросла из лекций, которые профессор Схоутен читал на эту тему перед войной. В частности, поле векторной плотности должно изображаться не силовыми линиями, как на рис. 1, а силовыми трубками (рис. 4), а ковариантное векторное поле (ковекторное поле) должно изображаться семейством двойных поверхностей (биповерхностями). Сходная интерпретация ковектора представлена в [8] (рис. 5). Заметьте, что величина ковектора пропорциональна плотности листов, то есть обратно

пропорциональна толщине. Так же величина векторной плотности обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубок.

К сожалению, разница между формами и тензорными плотностями игнорируется большинством физиков. Эта разница теряется при написании векторов полужирным шрифтом. Мы используем тензорные индексы, потому что они несут необходимую информацию. Кроме того, для написания тензорных плотностей мы не используем обычный для этого готический шрифт (как на рис3). Вместо этого мы отмечаем плотности знаком ‘wedge’ л . Его использовал И.А. Кунин [7] при замечательном переводе на русский язык монографии [6]. Однако, в отличие от [7], мы ставим знак л на уровне нижних или верхних индексов для плотностей веса +1 или -1 соответственно. Например, элемент объема, который является плотностью веса -1, обозначается dVл . Мы отмечаем псевдо тензоры звездочкой, а псевдо плотности знаком тильда, Ej, Б*, s~k (s~k — символ Леви-Чивита).

В электродинамике используется внешняя производная дифференциальных форм [911]. Внешняя производная скаляра является обычной частной производной, т.е. градиентом,

Ег = дгф о E = gradф = V • ф (2.1)

(мы не пишем минус в этой формуле, соответственно, р = V2 ф ). Однако в общем случае внешняя производная предполагает антисимметризацию по индексам. Внешняя производная ковектора является ротором, например,

Б. = 2д[гЛ.] о B = rot A = V х A или Б. = -2д[lE]] о B = -rot E = -V х E, (2.2)

где д[гЛ. ] = 1(дгЛ. — д.Лг) . Внешняя производная ковариантного тензора валентности 2

3д[кБ.] = 0 о divB = V • B = 0,

где = i(a л +8,BJt+a Л -а -дЛ -a A) = i(a Л +a ^ +a jB„».

При дифференцировании контравариантных тензорных плотностей в электродинамике предполагается свертка с последним контравариантным индексом. Такая производная векторной плотности является дивергенцией:

рЛ=аг £;ор = div E, (2.4)

производная бивекторной плотности является ротором

j = дB о j = rot B или EЛ= д jЩ о Е = rot П . (2.5)

Производная скалярной плотности есть ноль,

дРл — 0 о gradр; — 0, (2.6)

потому что рл не имеет контравариантных индексов для свертки. Производная (2.6) аналогична внешней производной N -формы, где N есть размерность пространства.

Мы подчеркиваем, что все представленные здесь дифференциальные операции являются ковариантными операциями в том смысле, что их запись не зависит от того, евклидовы или криволинейные координаты использованы, и все частные производные являются ковариантными без использования символов Кристоффеля: дkB’;k =VкВ’Лк, дAj] = V[i A>].

Обычно мы обозначаем производные обоих типов символом д без индексов и называем производное поле границей, а дифференцируемое поле называем наполнением этой границы. Это выглядит так: (граница)= д (наполнение). Например,

Рл=дЕЛ, E, =дф, Bj = dAj, E Л=дПЛ, j’; = дВ’Л, дВц = 0. (2.7)

Термин «граница» оправдан, потому что, например, зарядовая плотность рЛ ограничивает силовые трубки плотности электрического поля Е’Л в соответствии с рЛ = дЕ’Л (рис. 4). Двойные поверхности поля Ei ограничивают поле электрического потенциала ф в соответствии с Ei = дф (рис. 6). Трубки магнитного поля В ц ограничивают биповерхности ковекторного поля магнитного потенциала Aj в соответствии с В ц = 2д[г-Aj]. Причем внешняя ориентация биповерхностей Aj соответствует внешней ориентации трубок В j (рис. 7а). Трубки электрической векторной плотности E Л с внутренней ориентацией ограничивают биповерхности (би)векторного электрического потенциала ПЛ в соответствии

с ЕЛ = д,ПЛ (рис. 7б). Так же трубки векторной плотности тока с внутренней

ориентацией ограничивают биповерхности магнитного поля ВЛ в соответствии с ] Л= д ;ВЛ

С другой стороны, символ д означает «граница» в теории множеств. И это как раз то значение, которое имеет наш символ д .

Однако, для того, чтобы что-то ограничивать, граница должна быть замкнута. Так оно и есть. Двукратное дифференцирование дает ноль, дд = 0. Например, если Е г= дгф, то

д[к Е г]= д^ф = 0 . Так что граница границы равна нулю. Если граница некоторого поля равна

нулю, мы говорим, что поле замкнуто. Например, поле Ei в формуле (2.1) и поле Вц

замкнуты. Соответственно, биповерхности поля Ei на рис. 6 и трубки поля В ц на рис. 7а не

имеют концов. Трубки поля В ^ могли бы оканчиваться на магнитных монополях, но таких

нет в природе. Пример замкнутого электрического векторного поля Е’Л, д i Е Л= 0 ,

представлен на рис. 7б и рис. 2 (там должны быть изображены трубки, а не силовые линии).

Граница не имеет границы, но граница имеет наполнение в силу теоремы Пуанкаре (в пространстве без топологических осложнений). В случае Е i= дгф, Е1 является границей, а

ф есть ее наполнение. Наполнение этой границы функцией ф наглядно показано на рис. 6. Точно так же можно сказать, что биповерхности поля Ai на рис.7а наполняют пространство, вокруг замкнутых (бесконечно длинных) трубок поля В ц, которые являются их границей,

В у = ЭА>-, а биповерхности (би)векторного электрического потенциала ПЛ наполняют пространство вокруг трубок поля Е Л, ЕЛ= дП^ . Отношение между Е Л и ПЛ изображены

на рисунке 7б, который отличается от рис. 7а заменой внешней ориентации на внутреннюю.

Таким образом, символ д выражает отношение между границей и ее наполнением, т.е. д является оператором границы. Отметим, что граница некоторого поля однозначна, в то время как наполнение границы не однозначно, если к наполнению можно добавить замкнутое поле. Это происходит без изменения границы. Тем не менее, различные наполнения некоторой границы не все эквивалентны между собой. Имеются истинные наполнения (или класс истинных наполнений), которые выделяются с помощью операции сопряжения, рассматриваемой в следующем разделе.

Когда наш символ д применяется к форме, он означает внешнее дифференцирование, вместо стандартного обозначения ё [9-11]. Например, дВ у означает внешнее произведение

форм ёл В, то есть дВу = дкВу + дг- В к + ду Вы (2.3). Мы убеждены, что стандартное

использование символа ё для обозначения внешнего дифференцирования сугубо антипедагогично. Символ ё применяется в физике и математике для обозначения инфинитезимальной величины. Например, dq = р(х)ёУ обозначает инфинитезимальный заряд инфинитезимального объема ёУ . Другой пример: г + уё^ = г + ёг , где V есть скорость, а ёг = \ёх + \ёу + кёг есть инфинитезимальное приращение радиус-вектора г за время dt, и ёх, ёу, суть инфинитезимальные приращения координат его конца. Также пишут ё/ (х) = /\х)ёх, и можно записать ё (ё/) = ё2 / = / «(ёх)2 или даже ё2/ = /»(ёх)2 + /’ё2х .

Вопреки этому, в теории дифференциальных форм ё используется как оператор, который каждойр-форме ш ставит в соответствие (р +1) -форму ёш , и ё(ёш) = 0 всегда [911]. Соответственно, выражения ёх, ёу, суть безиндексные обозначения координатных 1-форм, т.е. координатных ковекторов, а не компонентов инфинитезимального вектора ёг , т.е. ёх, ёу, dz означают: ёх = д;х = 8), ёу = д;у = 82, dz = дi2 = 83, где 8/ есть символ Кронекера.

Такая путаница недопустима. Возможно, двусмысленность обозначения ё объясняется тем, что область применения теории дифференциальных форм не пересекалась с областью применения обычной физики и математики. Однако, сейчас мы рассматриваем

электромагнитные поля как дифференциальные формы. Поэтому двусмысленность символа ё должна быть устранена.

3. Сопряжение, etc.

Поднимание и опускание тензорных индексов обычно выполняется метрическим тензором g’k или gik . Однако в электромагнетизме этот процесс сопровождается переходом между дифференциальной формой и контравариантной плотностью, например, между ковектором Ei и векторной плотностью , как показано на рис. 8. Поэтому в этот процесс

включен корень из детерминанта метрического тензора

который является скалярной

плотностью веса +1. Так что, вместо g’k или gik, в электромагнетизме используется тензорная плотность gгк = gгk л или gЛk = gik / л . Если применяются декартовы

координаты, то абсолютное значение детерминанта равно единице, однако корень из детерминанта имеет вполне определенное геометрическое значение. Процесс поднятия или опускания тензорных индексов изменяет геометрический смысл поля. Этот процесс в электродинамике мы называем сопряжением [12,13] и обозначаем пяти-лучевой звездочкой

* (в отличие от оператора Ходжа * [11,14]). Например,

* Е, = ^ = Екл, * Екл = = Е,, * ВЛТ = gшgЛJB:n = Вц, * В = = Вт. (3.1)

Сопряжение, очевидно, инволютивно: * * = 1. Мы говорим, что поле и сопряженное ему поле образуют тандем. Например, Ei & Е’л или В^ & Вц суть тандемы. Они

изображены на рисунках 8 и 9.

Сопряжение * отличается от операции Ходжа *. Оператор Ходжа выполняет

сопряжение * , но затем перенумеровывает компоненты поля антисимметричной псевдо

плотностью в■. Например, * Ег = в ^ 1]ЛЕ, = в Е = Е»тп. Здесь оператор Ходжа

преобразует 1-форму Е г в псевдо 2-форму Е*тп. Однако перенумерация не имеет физического и геометрического значения, потому что Е»тп имеет тот же самый геометрический смысл, что и векторная плотность Е ] = *Ег. В то же время, гораздо приятнее иметь дело с векторной плотностью ЕЛ , чем с псевдо 2-формой Е*тп. Поэтому

добавление перенумерации к сопряжению не имеет смысла. К тому же, оператор Ходжа не применим к контравариантным плотностям. Мы не используем оператор Ходжа.

Для сокращения мы будем в дальнейшем иногда называть контравариантные антисимметричные плотности сопряженными формами или кратко коформами.

Замечательно, что сопряжение часто превращает замкнутое поле в не замкнутое. Например, замкнутое поле В] превращается в поле Вт , которое имеет границей плотность тока:

Щ = 0, но д*Вц = дп&тЕ];Вг]) = дпВГ = РоЯ . (3.2)

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Поля, замкнутые до или после применения сопряжения, мы называем сопряженно-замкнутыми или кратко козамкнутыми полями. Например, Вг]] замкнуто, но Втп

козамкнуто, потому что д * Втп = дВг]- = 0 . Истинное наполнение некоторой границы, о

котором упоминалось в предыдущем разделе, должно быть козамкнуто. Поэтому добавление к наполнению замкнутого поля, вообще говоря, нарушает истинность. Так истинным наполнением зарядовой плотности рЛ является козамкнутая напряженность Е\ (рис. 1, 6).

Добавление замкнутой напряженности Е не меняет границы поля Е , однако поле ЕЛ = ЕЛ+ ЕЛ не является истинным наполнением плотности р , поскольку Е’Л не

козамкнуто: д * Е = —д (В (рис. 2).

Отметим, что если метрика сопряжения положительно определена, то ограниченное поле, которое замкнуто и одновременно козамкнуто, может быть только постоянным.

Оператор Ходжа используется для определения так называемого кодифференциала от формы [14, р. 315]

5ш = (-1)пр+п+1* д * и, (3.3)

где д есть символ внешнего дифференцирования, п есть размерность пространства, и р есть

степень формы ш . Оказывается, конструкция * д * отличается от * д * только знаком:

*д*ш = (-1)пр+п+Р+1 *д*ш . (3.4)

Это дает простое выражение кодифференциала через сопряжение. Оно не зависит от размерности пространства:

8© = (-1)p * д * с© . (3.5)

Теперь возвратимся к разложению Гельмгольца (1.1). Оно должно быть переписано в индексной форме в терминах векторной плотности,

Безвихревое кулоновское поле E = E Л , которое удовлетворяет rot E = Vx E = 0, козамкнуто,

потому что дифференциальная операция rot , применяемая к векторной плотности, подразумевает предварительное сопряжение:

Vx E = 2д№ (gjv E;) = д * E = 0. (3.7)

Таким образом, метка x , которая использовалась в разделе 1, отмечает козамкнутые поля.

В результате мы видим, что разложение Гельмгольца (1.1) является разложением поля на козамкнутую и замкнутую части.

4. Цепочки полей

Свойство сопряжения превращать замкнутые поля в козамкнутые обеспечивает существование бесконечных или конечных цепочек полей. Мы представляем здесь в качестве примера бесконечную цепочку электростатики.

(д) р (*) р Л(д) E ;(*) E г(д) ф(*) ф л(д) z ;(*) z i(d) V(*) (д) ••• (4.1)

Здесь звенья цепочки, т.е. поля р (x), E ;(x), ф, (x) Z i(x), etc., разделены символами (д) и

(*) . Это значит, например, что рЛ = 3i E ;, E ;= *E i, E i= дi ф, ф л= дi Z Л , где Z’ есть

так называемый электрический вектор Герца (см., например, [15] с. 128). у есть гипотетическое поле типа потенциала.

Если рЛ = 8Л (x) является дельта функцией Дирака, то мы имеем дело с полем

точечного заряда. В этом случае цепочка в явном виде выглядит так:

i 11 i i r r — 1 — 1 — r — r — r — r — rr — rr

k8(*)8;(д)п(*)П(д)П(*)~т-(д)-П(*)П(д) —(*)-п(д)—(*)—^. (4.2) 4nr 4nr 4п 4n 8nr 8nr 8п 8п 32п 32п

Действительно, замкнутая плотность точечного заряда рЛ (x) = 8Л (x) является границей козамкнутой плотности векторного электрического поля Е’л = r1 / 4nr3, а сопряженное ему

замкнутое ковекторное поле E i = ri / 4nr3 является границей потенциала ф = — 1/ 4п и т.д.

Ограничившись этим примером, представим теперь в общем виде четыре возможные цепочки полей в 4-мерном пространстве (пространстве-времени)

•(*)б Дд)3 V«3 а(д)ВГ(*)В Дд)АД*)А^(д) 1аАв(*) 1 Дд)М*Ж(д). (4.5)

о х О Х 0 Х 0 Х 0 X О

Х 0 X О х 0 Х 0 X О X О

Греческие индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3.

В цепочках (4.4), (4.5) мы обозначили электромагнитный тензор через В = -Р^ вместо

Р , чтобы 4-ток был границей электромагнитного поля, = дрВ^13 вместо обычного

равенства = -др РЛав.

В цепочках (4.5), (4.6) наш магнитный векторный 4-потенциал Ау удовлетворяет

равенству В^ = 2д ^ Ау], и потому противоположен по знаку к обычному векторному 4-

потенциалу Лу: А=- Лу, Аа =- Ла .

Цепочки (4.1) и (4.2) используют евклидову метрику для сопряжения, gij = &а§ . Однако цепочки электромагнетизма (4.3) — (4.6) используют

^ = ^. Поэтому, А0 = А0 = Л0 = Л0 = ф = -ф, но

В0 = -В’0 = Е, = дiА0 — д0Ai = -д’ф+ д0 Л i или В31 = В2 = дзА1 — д1 Аз. При использовании полужирного шрифта обычно пишут Ла = (ф, А). Это означает Л’ = Л1 = -Аг, где Л’

обозначает котравариантные компоненты пространственного вектора А . Однако в

отношении пространственного вектора А действует евклидова метрика. Поэтому для ковариантных компонент вектора А будет Л’ = — Л’ = А’. Для нашего 4-потенциала А

справедливо Аа = (-ф,-А), Ау= (-ф, А).

Из цепочки (4.4) в литературе представлены уравнения Максвелла £ ЛмУ = 3д[Л В ^ = 0,

справедливые вследствие отсутствия токов магнитных монополей £ ЯмУ, и формула с

электрическим 3-векторным потенциалом П аАг , В аА = д П . При электро-магнитной

симметрии магнитные токи монополей £ ЯмУ существуют. Тогда они подчиняются

уравнению непрерывности д£ ^ = 4д[7 £ ^ = 0 , т.е. д0 £ — дг £# + д; ^ — дк£0г] = Это

уравнение принимает знакомую 3-мерную форму, именно, д 0£~ + д г£~ = 0, если провести дуализацию, т.е. ввести псевдо плотность магнитных зарядов £~ = £]кв~к /3! и псевдоплотность магнитных токов £~ = £]к£~к , где мы обозначили = £;0к .

Из цепочки (4.5) в литературе представлены уравнения Максвелла ] а=дв В ав,

формула с магнитным векторным 4-потенциалом, В МУ= 2дА^, и формулы с вектором Герца [14, (42.4)] А *= др .

Заметьте, что четыре цепочки (4.3) — (4.6) попарно комплементарны: (4.3) и (4.4) комплементарны между собой относительно магнитного тока £, потенциала П, гипотетического поля Я ; (4.4) и (4.5) комплементарны относительно электро магнитного поля В, поля Герца 2 ; (4.5) и (4.6) комплементарны относительно электрического тока ], потенциала А, гипотетического поля С .

Если значения индексов ограничить числами 1, 2, 3, цепочка (4.3) выпадает, а вместо цепочек (4.4) — (4.6) мы получим формулы магнитостатики:

(д)£] (*) £ тк1 (д) В и (*) ВЛ (д) П Г (*) П ш (д) 2Х и (*) ] (д) Я ] (*) Я ш — (4.7)

о X О Х 0 Х 0 Х 0 Х 0

к (*) ак1 ( д)] (*)]Г ( д) В Г (*) В ы (д) АI (*) А Г О) Г (*) и О)^ (*Ж (д)- (4.8)

о X О Х 0 Х 0 Х 0 X О

Х 0 X 0 Х 0 Х 0 X 0 X 0

(здесь использованы компоненты пространственного вектора А и евклидова метрика)

В цепочке (4.7) соотношение £ тк1 = 3д[т В к1 ] , т.е. £ ~ = 3дт В т, означает £ = В, т.е.

магнитный заряд (псевдо скалярная плотность монополей) является границей (псевдо векторной плотности) магнитного поля. После сопряжения это поле делается замкнутым, и оказывается границей потенциала магнитного поля. В Л = дг П ], т.е. В * = дк П *, означает

В цепочке (4.8) соотношение ]Л = д; В Л означает ] = го1 В . После сопряжения поле В Л

делается замкнутым и оказывается границей магнитного потенциала: В к1 = 2д[к А1 ]. 2 в цепочках (4.7), (4.8) является магнитным вектором Герца.

Если одному из индексов в (4.3) — (4.5) придать значение 0, но при этом полагать, что производная по времени равна нулю, д 0 = 0, получатся формулы электростатики:

. ( д) $ м„ (*) ( д) Т* (*) Т 1тп (д) П м„ (*) П * (д)^ (*)и 1тп (д,) Я тп . (4.10)

X о Х 0 Х 0 х о Х

. е* (д) (*) $ к1 (д) Е, (*) Е * (д) П * (*) П к1 (д) 2, (*) 2 * (д) Я* (*). (4.11)

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

■■■(*) йы ( д) Р(*) РЛ ( д) Е’л (*) Ек (д) ф(*) фл (д) 2 * (*) 2к (д) у(*)„. (4.12)

Мы здесь обозначили: р = j0 = j0, EJ = BJ, Ek = Bk0, скалярный электрический потенциал ф = A0 = A0, векторный электрический потенциал Пmn = Пm0n, ПЛ = П01, ток магнитных монополей = £ , £ lk = £ kl 0 и т.д. Эти цепочки содержат, в частности, знакомые звенья.

В цепочке (4.12), которая повторяет цепочку (4.1), имеются звенья р = div E и E = -grad^. Эта цепочка и цепочка (4.10) содержат только дивергенции и градиенты.

В цепочке (4.11) звено £lk = 25[kEl], т.е. £ =- rot E, означает, что границей соленоидального электрического поля после сопряжения является (псевдо) плотность тока

магнитных монополей £ , за неимением переменного магнитного поля в рассматриваемом статическом случае (стрелка использована, поскольку нет жирных греческих букв).

В той же цепочке (4.11) звено E ) = д . П J означает Е = rotП, т.е., что соленоидольное

поле является границей электрического векторного потенциала (рис. 7б). Цепочка (4.11) содержит только роторы.

5. Наполнения сингулярных границ. Три примера 5.1. Поле электрического диполя

Интересно, что из цепочки, связанной с точечным зарядом (4.2), легко получить цепочку полей, связанную с точечным электрическим диполем. Для этого обозначим точку, являющуюся носителем дельта функции, через x’, 5Л (x, x’), и применим ко всей цепочке

(4.2) оператор pk дk-, где pk, вектор электрического момента в точке x’, а дk- оператор

дифференцирования в точке x’:

Здесь замкнутая сингулярная дипольная плотность заряда имеет вид р Л= pk дk-дЛ (x, x’). Ее

несингулярная модель представлена на рис 10.

Наполнением этой плотности является козамкнутая напряженность векторного поля электрического диполя Е Л,

4пг3 (х, х’) 4пг3 4пг5 Рл=э гЕЛ(x, x’),

в силу известного выражения 5 -функции

Несингулярная модель поля Е Л представлена на рис 11.

Замкнутая напряженность ковекторного поля диполя, сопряженная к полю Е Л (рис. 12),

Г (х х) Л г к 4пг 3(х, х’)

является границей потенциала ф (рис 13):

Е г= дг ф, ф = Ркдк

5.2. Поле элемента тока

Цепочку полей электрического диполя (5.1) интересно сравнить с цепочкой полей (5.12), связанных с элементом тока ]Л = Г5Л (х, х’) . Сначала применяем закон Био-Савара:

> Л 4пг 3( х, х’) 4пг 3( х, х’)

Граница этого магнитного поля, являющаяся замкнутым векторным полем плотности электрического тока, не равна элементу тока / 5А (х, х’ ), а равна его замкнутой части

гк (x, х ‘) ТкЛ К,(x, х ‘)

Это замкнутое поле очень похоже на козамкнутую векторную напряженность электрического поля диполя Е * (5.2), изображенную на рис 11. Рисунки этих полей

совпадают в случае действительно сингулярного элемента тока. Однако ток 3 * (5.8) замкнут, а электрическая напряженность Е * (5.2) козамкнута. Это отличие происходит из-за

5 -функции, присутствующей в (5.8): последний член в (5.8), совпадающий с Е *,

сокращается с козамкнутой частью этой 5 -функции. Этот феномен проиллюстирован на рис. 14, взятом из [16].

Ток, сопряженный с 3 * (58),

3г = /5( х, х ‘) — /к д ы Г (х х ‘)

козамкнут. Оператор границы д, примененный к этому току, обращает в ноль его замкнутую часть, совпадающую с Е (последний член в (5.9)),

и остается замкнутое сингулярное колечко с внешней ориентацией, которое можно назвать пра-током,

Он = 2д [,5( х, х’)/,. (5.11)

Цепочка магнитного поля, созданного сингулярным элементом тока Г 5Л (х, х’), не входящим в эту цепочку, выглядит как (4.8):

Возникновение замкнутого поля ]Л (5.8) за счет прибавления сингулярного элемента Г 5Л (х, х’) к козамкнутому полю, совпадающему с Е Л (рис. 11), проиллюстрировано на

несингулярной модели в книге [16] на примере однородно намагниченного круглого цилиндра: В = 4п1 + Н (см. рис. 14). На рис.14 изображены, как это принято, силовые линии,

а не трубки, как должно быть.

5.3. Поле кольцевого тока

Сингулярное колечко с внешней ориентацией (5.11) названо пра-током, потому что плотность тока имеет внутреннюю ориентацию, как (5.8). Сингулярный кольцевой ток с внутренней ориентацией, ] Л, являющийся аналогом электрического диполя, является

границей козамкнутого магнитного поля, В Л , аналогичного электрическому полю Е Л (5.2).

Естественно, это магнитное поле получается заменой электрического дипольного момента рк на магнитный момент Мк в формуле (5.2):

В Л = 2Мк[г5к, ‘Л (х х ) = -2Мк[г5к Гл ](х Х ‘)

Несингулярная модель этого поля изображена на рис. 15. Там же видна граница поля в виде кольцевого тока ] Л , который получается дифференцированием поля (5.13),

]Л=д В = -Мкд,дк Г ^ Х’\ + Мк]д,дк Г ^ Х’ \ = -Мкдк5Л (х, х’). (5.14) ] хЛ ] к 4пг3 (х, х’) ] к 4пг3 (х, х’) к

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(второе слагаемое равно нулю из-за антисимметрии Мк). На рисунке 16 изображена несингулярная модель замкнутого поля В . сопряженного полю В Л (5.13),

, г1 (х, х’) В м =-2М№ дк ] Л3 , , о у к[г 4пг 3(х, х ‘)

служащего границей векторному потенциалу А ,, который не представлен на рисунке.

При действительно сингулярном токе ]\=-Мы д к8Л (х, х’) (5.14) вид поля В Л (рис. 15)

на несингулярных моделях: биповерхности на рисунке 12 замкнуты и имеют внешнюю ориентацию, а биповерхности рисунка 15 опираются на токовое колечко и имеют согласованную с ним внутреннюю ориентацию; трубки на рисунке 11 исходят из зарядов диполя и имеют внутреннюю ориентацию, а трубки на рисунке 16 замкнуты и имеют внешнюю ориентацию. Такую же внешнюю ориентацию будут иметь биповерхности поля А .. Математически разница между полями (5.13) рис. 15 и (5.5) рис. 12, между полями

(5.15) рис. 16 и (5.2) рис.11 обусловлена присутствием 8 -функций в выражениях (5.13) и (5.15). Действительно, представим, например поле (5.13) в дуальном виде:

В ;=1В л в ] = -в ]мк д к = -в ] в ; «м; д к —^ = 25]»1 м; д к —^ = 2М~; д, ] =

х 2 х 4пг3 4пг3 4пг 4пг

-^Т -м~д 1 = М;8л -М]д 1 = М;ьгк -М]д; -¡-3

4пг3 ] 1 4пг3 1 Л 1 4пг3 1 Л ] 4пг3

здесь использовано д „ —= 0. (5.16) рис. 15 отличается от (5.5) наличием дельта функции

и псевдовектора, который ответственен за внутреннюю ориентацию.

6. Оператор Лапласа

Граница суммы замкнутого и козамкнутого полей равна границе козамкнутого слагаемого, потому что оператор границы элиминирует замкнутое поле,

дг (Е Л+ Е Л) = дг Е Л . (6.1)

Однако лапласиан, оператор второго порядка, V2ЕЛ = ^ViV;ЕЛ , который использует

метрику, во-первых, обрабатывает оба слагаемых такой суммы, во-вторых, должен обязательно содержать ковариантные производные. Как известно, [14, р.316],

где 5 есть кодифференциал (3.3), (3.5) (сигнатура метрического тензора ?ь здесь + + + ). Наша цель записать члены формулы (6.2) в терминах сопряжения, а не оператора Ходжа, который содержится в 5 . Вследствие (3.5), имеем

5дш = 5 а = (-1)Р+1 * д * а=-(-1)р * д * дш, д5ш = (-1)р д * д * ш . (6.3)

Следовательно, для р -формы ш, уже не зависимо от сигнатуры метрического тензора, будет

V2 ш = (-1)р (*д * д — д * д*) ш , (6.4)

см. также [12]. Слагаемые в формуле (6.4) имеют разные знаки, в отличие от (6.2).

Аналогично можно показать, что для контравариантной плотности валентности р, вЛ,

V2 рЛ = (-1)р+1 (*д * д — д * д*)рЛ . (6.5)

Заметим здесь, что формулы (6.4), (6.5) являются выражением оператора Лапласа над формами и коформами через частные производные. Например, для скалярной функции, т.е. нуль-формы, ш( х), формула (6.4) дает, поскольку, согласно (2.6), д * ш = 0,

* д * дш-д * д * ш= * д * дш =

= (1/^л)д,(?у’л/?лд,ш) = [д^ + gi(И^Л)д]д;ш + giдгд;ш . Заменяя в первом слагаемом индекс ] ^ к и пользуясь формулой (86,6) [17]

Г * =-дг gгk — gгk (1/^ л )дг V? л ,

* д * дш-д * д * ш = (-Гк д к ш + дгдш) = Vi (Vш) = V2 ш .

Отметим, что представление лапласиана в виде (6.4), (6.5) для произвольных геометрических

величин не действительно.

Согласно (6.4), (6.5), лапласиан осуществляет переход вдоль цепочки полей от

некоторого звена на четыре звена влево, иногда умножая на -1. Например, для цепочки

электростатики (4.1) или (4.2), для поля фЛ, которое замкнуто, согласно (6.5) (р = 0),будет

V 2фл = д * д *фЛ=рЛ , или V2-= д * д *-= 5Л (х). (6.6)

Здесь знак при сдвиге по цепочке не меняется. Напротив, в цепочке магнитостатики (4.8), для замкнутого поля А Л , согласно (6.5) (р = 1), знак изменяется относительно сдвига по

цепочке (см. также [1, (5.31)]).

V2 А Л=-д * д * А Л=-. (6.7)

Однако для козамкнутого поля Л’л из цепочки (4.9) знак не меняется. Поэтому, если

векторный магнитный потенциал магнитостатики не удовлетворяет кулоновской калибровке, дАЛ ^ 0, т.е. содержит звенья обеих комплементарных цепочек (4.8), (4.9), АЛ = АЛ+ АЛ ,

то, согласно (6.5), в соответствии с [4, (5.30)],

V2 АЛ=У 2(АЛ+ А Л ) = *д * д АЛ-д * д * А Л= j Л- j Л= graddiv A — j. (6.8)

Для пространства-времени формула (6.8) выглядит

V2 АЛ = *д * д АЛ — д * д * АЛ = j Л- j Л (6.9)

(мы считаем, что в пространстве-времени V2 = д0 + дкк = д00 — дкк ). Для а = 0, согласно (6.9),

д оо А0-д кк А0 =д 0(д 0 А0 +д к Ак ) — j0, т.е. дккф = д, дкАк +р. (6.10) Это совпадает с [1, (6.10)], если учесть обозначение ф (2.1). Для а = i, будет

д00 Ai — дкк Ai = дi (д0 А0 + дк Ак ) — ji, т.е. д00 А — дккА = дi (дф — дкАк ) + ji. (6.11) Это совпадает с [1, (6.11)] или с (6.8) при д 0 = 0.

При лоренцевой калибровке, именно, да АЛ = д0 АЛ + дi АЛ = 0 , АЛ= 0 , получается

просто V2 АЛ = — j Л, т.е.

д00ф-дккФ = -Р, д00 А -дккА = ji. (6.12)

При кулоновской (не лоренцевой) калибровке, д кАк = 0, имеем вместо (6.10) и (6.11)

дккФ = Р, и д00А -дккА =дiд0Ф + /, (6.13)

что совпадает с [1, (6.22)], [1, (6.24)]

Применение формулы (6.4) к левому концу цепочки (4.5) дает интересный результат, не встречающийся в литературе:

V2 B v= -д * д * B v=- Q v= -2д lMjv]. (614)

В трехмерном векторном виде этот результат выглядит

(д00 -дкк )B = rot j , (д00 -дкк )E = -д0j — grad Р . (615)

7. Тандемно замкнутые поля

При знакопеременном метрическом тензоре существуют тандемно замкнутые поля, т.е. поля, которые замкнуты и козамкнуты одновременно. Мы отмечаем такие поля парой значков х о . Например, обычная электромагнитная плоская волна

в л!= Е1 = , в Л = в2 = ег-и, в 01=-ег-и, в 31=-в 13 = еш-и, (7.1)

составляет тандемно замкнутое поле В Лв, в ^ , поскольку электрические и магнитные 4-

токи равны нулю:

др в Л = д0 в Л + д3 в Л = 0, д[Я в ш] = д3 в 10 + д0 в 31

хо хо хо хо хо хо

В этом случае оба поля тандема замкнуты. Мы называем такой тандем концевым тандемом

дв в Лр=д0 в Л0 + д3 в Л3 = 0, д[Я в ^ = д3 в ю + д0 в 3!= 0. (7.2)

потому что цепочка кончается слева таким тандемом. Очевидно, концевой тандем служит концом двух (комплементарных) цепочек. Например, (7.2) означает (ср. (4.4), (4.5)),

хо^ хо х о ^ х ^ о х о ^

0(д) вв ав(*) в Дд) /\v(*) А а(д) !а/(*) г а(д). (7.4)

В цепочке (7.4) электромагнитное поле в является границей магнитного векторного

потенциала А: в = 2дА], А 1= — АЛ= , однако сопряженное с ним

электромагнитное поле в Лв в цепочке (7.3) является границей электрического три-

векторного потенциала П ЛРу: в ЛР= ду П ЛРу, П Л03 = П103 = ie’z и . Несколько следующих

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

звеньев цепочек выглядят так:

110 = -1 Л0 = е1г~и, 113 = Л3= 1г£(4±£) е1г~и, Я Л03 = Я Ю3= -е1г~и, (7.5)

х о 4 х о 4 х о 4

I Л0=- , I > I „= 1±£±£>е», С ,= -С —^е», (7.6)

х о 4 х о 4 х о 4

Поскольку лапласиан осуществляет сдвиг вдоль цепочки на четыре звена влево, мы имеем, согласно (7.3) и (6.5),

вЛв=д *д* г 2 г . (7.7)

Но то же поле в Лв, согласно (7.4) и (6.5), равно

в а = *д * д г лв=-У2 г а. (7.8)

Тут мы получаем интересный общий вывод:

Сумма однородных членов комплементарных цепочек является гармоническим полем, если сдвиг на четыре звена влево приводит к концевому тандему (7.9)

V2= V 2(7 ав+ 2 ав) = В ав- В ав= 0. (7.10)

Между прочим, мы можем рассматривать гармоническое поле из (7.5), (7.6), как некую плоско поляризованную электромагнитную волну, поскольку она удовлетворяет однородному волновому уравнению (7.10). По аналогии с (7.1) мы можем считать

V 01 70К 7 01 771 1 12-и гуЪ1 гу 31 гу 31 Г, 1 к-и Я 1

2Л = 2 л+ 2 л = Е = 2в и 2л = 2 л+ 2 л = В2 =- 2в (711)

электрическим и магнитным полем этой волны, используя формулы (7.5), (7.6). Но это очень странная волна. Вектор Пойнтинга, 8 = (Е х В)/2, имеет г -компоненту, направленную противоположно направлению движения волны: 8 2 = -1/8, и волна сопровождается электрическим ] а и магнитным ^ токами, роль которых играют обычные магнитный и электрический векторные потенциалы:

а = Зв 7ав= А а , V = за . 2^= П . (7.12)

Совсем простой пример концевого тандема, приведен в [2]. При этом там использован знакопостоянный метрический тензор. Зато там поля растут на бесконечности.

Описание электромагнитных полей, представленное в данной статье, возможно, более соответствует природе электромагнетизма, чем стандартное описание. Использование понятий сопряжения и границ полей выявляет естественные связи и различия между полями. Источники полей оказываются границами многообразий, изображающих эти поля. Это придает полям необычную наглядность. Идея применения дифференциальных форм при изложении электромагнитизма, по-видимому, впервые оказалась реализованной, и это привело к упрощению изложения.

Материал настоящей статьи был направлен в следующие журналы: УФН (13.06.95, 28.03.01, 16.05.08, 27.07.09), Письма в ЖЭТФ (14.05.98), Л1Р (12.04.05), Известия вузов. Физика (25.04.05).

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Том 3, часть 1. (М.: Наука, 1996)

2. Храпко Р.И. Разложение Гельмгольца, etc. —

3. Ohanian H. C. Physics. — N.Y.: W.W.Norton, 1985.- 881p.

4. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — Wiley, 1999.- 808p.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.- М.: Наука, 1984.- 832c.

6. Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicists. — Clarendon, Oxford, 1951.- 275p.

7. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. — М.: Наука, 1965.- 455c.

8. Napolitano J. and Lichtenstein R. Answer to Question #55 Are the pictorial examples that

distinguish covariant and contravariant vectors? // American J. Physics — 1997, 65. — p.1037

9. Cartan H. Calcul Differentiel. Formes Differentielles. — Herman, Paris, 1967.- 302c..

10. Картан А. Дифференциальное исчисление, Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.-

11. Flanders H. Differential Forms (Academic, New York, 1963)

12. Khrapko R. I. Violation of the gauge equivalence — http://arXiv.org/abs/physics/0105031

13. Храпко Р. И. Силовые трубки и биповерхности в электромагнетизме. —

14. Von Westenholz C. Differential Forms in Mathematical Physics (North Holland, 1978)

15. Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика (М.: Высшая школа, 1990) 352c.

16. Abraham M., Becker R. The Classical Theory of Electricity and Magnetism (Hafner, N. Y.)

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е М. Теория поля (М.: Наука, 1973) 504c.

Сведения об авторе

Храпко Радий Игоревич, доцент кафедры физики Московского авиационного института (Государственного технического университета), к. ф.-м. н. Контакты: 4991446312, khrapko ri@hotmail.com, персональный сайт http://khrapkori.wm site.ru

125993 Москва, Волоколамское шоссе 4, Российская Федерация

Chains of electromagnetic’s fields

A consistent use of the exterior differential forms in the electromagnetism shows that fields of electromagnetism are geometrical quantities of two different types: differential forms and contravariant (antisymmetric) tensor densities. These types are connected with each other by a specific operation, named the conjugation, which is a part of the Hodge operation. Field tubes and families of bisurfaces depict electromagnetic fields. The conjugation allows a many-fold differentiation of the fields and leads to field chains. The Helmholtz’s decomposition of a field is a decomposition into a closed part and a closed after conjugation part of the field. Chains of fields of electric and magnetic dipoles are considered in detail. Concept of boundary of a field is used widely. Laplacian is represented in terms of the conjugation, and its action on isolated chains is considered. A sufficient condition of harmonicity of a field is found.

Differential forms, Helmholtz decomposition, Hodge operation, Laplacian.

Электромагнетизм и некоторые интересные явления и процессы

Электромагнитные явления (молния, притягивающие свойства натёртого янтаря) люди наблюдали на протяжении всей истории, тем не менее упорядоченные научные знания впервые появились только около 200 лет назад, но, даже сейчас, несмотря на проработанность теории электромагнетизма, многие электромагнитные явления воспринимаются их изучающими несколько отстранённо, так как лежат за пределами непосредственного опыта, поэтому несложно понять, почему только в последние пару веков люди смогли связать воедино разнородные явления и создать более-менее стройную теорию.

Небольшой спойлер от автора: дальше последует некоторый результат моих исследований этой темы. Суждения в тексте ниже могут быть где-то верны, где-то ошибочны, а где-то недостаточно подробны. В любом случае, надеюсь, что будет интересно!

▍ Поле, волна

Исторически к началу 19 века люди уже знали о зарядах, начала возникать электротехника, ещё несколько десятилетий не имевшая широкого практического применения. Электротехника сама по себе ещё не требовала такого глубокого знания электромагнетизма, которое потребовалось для последующего развития радиотехники, тесно связанной с понятием электромагнитного поля, служащего для переноса энергии в пространстве.

Что же представляет собой электромагнитное поле? Обычно под понятием поля понимают определённые физические характеристики точки в трёхмерной системе координат, — температуру, давление и т.д. Подобно этому, говоря об электрическом поле, можно говорить о сумме сил, воздействующих на трёхмерную точку в пространстве, в которой располагается единичный положительный заряд. Электромагнитное поле может быть исследовано практическим способом, для этого нужно рамку, состоящую из одного витка проволоки, перемещать по пространству, размещая её в разных точках оного, что позволит, благодаря наводящимся в ней токам — практически исследовать измеряемое поле.

С электромагнитным полем неразрывно связано и понятие энергии, где поле, изменяясь, может отдавать свою энергию какому-либо неэлектромагнитному процессу, а также и забирать энергию; электромагнитные поля могут переносить энергию в пространстве.

Поля можно подразделить на три вида:

  • электростатическое, то есть это электрическое поле, существующее при наличии неподвижных зарядов;
  • магнитостатическое, то есть поле постоянного тока в тех областях, где сам ток отсутствует (в том числе, это поле постоянных магнитов);
  • электромагнитное, поле тех областей, где присутствует электрический ток.

Бурное развитие радиотехники предоставило широкую базу для проработки теории электромагнетизма и само по себе стало стимулом для дальнейшей проработки теории. Радиотехника привнесла также понятие «радиоволны», представляющей собой электромагнитную волну в радиотехнических системах, а исследование учёными вопросов приёма и передачи радиоволн заложило основу теории антенн, весьма проработанной в данный момент. Во время первых опытов по исследованию радиоволн, работа велась с радиоволнами, имеющими длину, измеряющуюся метрами, но в тоже время, были известны и длинные волны, с длиной, измеряющейся километрами.

Начиная с двадцатых годов XX века, началось исследование возможностей более коротких длин волн, а зародившаяся в военное время радиолокация подстегнула этот процесс и потребовала применения более коротких волн, — вследствие были исследованы и стали в дальнейшем применяться волны дециметрового, сантиметрового и миллиметрового диапазонов (в настоящее время под радиоволной понимаются волны электромагнитного излучения с длиной от нескольких десятков километров до тысяч ангстрем — уже оптического диапазона). Применение таких волн потребовало и соответствующего изменения радиоаппаратуры, — и если раньше размеры излучающих/приёмных элементов радиоаппаратуры были меньше длины волны, то работа на новых длинах потребовала их соответствующего изменения, чтобы новые размеры этих элементов были сравнимы по размерам с длиной требуемой волны.

Длина волны представляет собой расстояние между двумя ближайшими точками в пространстве, где колебания происходят в одной и той же фазе:

Если мы посмотрим на следующую анимацию, где показано излучение/приём радиоволны антенной, называющейся «полуволновой диполь», то мы увидим, что каждый из усиков антенны, должен быть такого размера, чтобы в его размеры укладывалась соответствующего размера амплитуда принимаемой/излучаемой полуволны:

Анимированная схема приёма радиоволн полуволновым диполем. Источник картинки: www.wikipedia.org

В свою очередь, амплитуда зависит от частоты, а частота зависит от длины волны.

Интересным моментом здесь является тот, что в качестве способа передачи электромагнитной энергии могут быть использованы не только антенны, но и различные полые системы, например, волноводы, резонаторы.

Волна может распространяться по среде по-разному, если эта среда анизотропна (отличается, в зависимости от направления). Если среда активна, то может влиять на волну, усиливая её.

▍ Свойства среды и электромагнетизм

Среда характеризуется следующими коэффициентами: диэлектрической проницаемостью (т.е. коэффициентом, выражающим величину, во сколько раз сила взаимодействия двух свободных зарядов в диэлектрике меньше чем в вакууме) и магнитной проницаемостью (во сколько раз индукция магнитного поля в конкретном веществе отличается от индукции магнитного поля в вакууме) и эти параметры зависят от конкретной среды.

Если среда является однородной, то есть её свойства одинаковы во всех конкретных точках пространства, то указанные выше коэффициенты не зависят от координат, в случае же, если среда неоднородно, являются функциями координат. Если эти коэффициенты не зависят от поля, то соотношение между индукцией и напряжённостью является линейной, тогда говорят, что среда линейна. Тем не менее идеально линейных сред не существует, но следует отметить, что нелинейности проявляются обычно только при огромной напряжённости поля. Например, что касается электрической нелинейности среды, то она встречается в случае использования мощных лазеров. При слабых же полях нелинейность свойственна ферромагнетикам и сегнетоэлектрикам (рассмотренным подробнее ниже).

Иногда среда бывает анизотропна, то есть её свойства различаются от направления. При этом анизотропию не стоит путать с неоднородностью, так как такая среда, как и изотропная может быть и неоднородной, и однородной. Примером анизотропной среды являются кристаллы. Также, например, в области радиотехники могут использоваться намагниченные ферриты, которые являются анизотропными, если на них воздействует сверхвысокочастотное электромагнитное поле.

Электромагнитные процессы в материальных телах отличаются высокой уравновешенностью, что приводит к отсутствию возможности наблюдения сколько-нибудь значимого электромагнитного поля, но есть и исключения, среди которых можно назвать ферромагнетики, внешние поля которых как раз и обуславливаются внутренними самопроизвольными процессами.

Если на вещество воздействует внешнее поле, то внутренняя уравновешенность нарушается, что связано с элементарными частицами вещества, которые подвержены воздействию этого поля: например, происходит некоторое изменение формы и переориентация атомов и молекул, заряды которых, тем не менее продолжают находиться в состоянии «связанности», то есть, только частично отклоняются. Результатом этого является появление такого внутреннего поля, которое существенно изменяет внешнее поле, накладываясь сверху на него. Такое состояние (для внутренней структуры вещества) называют поляризацией среды, в то время как для внешнего поля — такое состояние называется намагничиванием.

Причём поляризация имеет место во всех случаях, если тело, независимо от того, является ли оно диэлектриком или проводником, — помещается в электрическое поле. При этом существенная разница между первыми и вторыми заключается в том, что внутри проводника заряды могут более или менее свободно перемещаться, поэтому под влиянием воздействия внешнего поля, они уходят на внешнюю поверхность и там образуют полюсы — положительный и отрицательный, а сам проводник, таким образом, начинает представлять собой диполь. В диэлектриках отсутствуют свободно перемещающиеся заряды, однако их атомы и молекулы, под воздействием электрического поля могут стать диполями, и общая картина начинает представлять собой следующую (для диэлектрика): под воздействием электрического поля молекулы, расположенные до появления поля хаотически, с его появлением претерпевают смещение зарядов и молекулы разворачиваются по внешнему полю.

Поляризованность имеет такое же значение, что и электрическая индукция, а намагниченность имеет размер магнитной индукции; сами процессы поляризации и намагничивания являются независимыми, то есть поляризация не зависит от магнитного поля, а намагничивание не зависит от электрического.

В ряде ситуаций среда может быть электрический или магнитно поляризованной, без применения внешнего поля: например, можно поместить в электрическое поле диэлектрик из расплавленной смолы, что приведёт к его поляризации (ориентации молекулярных диполей), после чего сохранить эту поляризацию, после застывания, уже в отсутствие магнитного поля. Подобные среды называют электретами. Впервые способ получения электретов был описан японским физиком Ёгути, где он в 1922 году расплавил смесь из воска и смолы, внёс её в электрическое поле и оставил там застывать. В ходе застывания наведённый электрический момент как-бы «вмёрз» в вещество и стал постоянным. После нарезания такой смеси (являющейся хорошим изолятором) в виде брусков, она стала представлять собой объекты, имеющие положительный заряд на одном конце и отрицательный заряд на другом.

Заряды концов бруска можно было измерить с применением зеркального гальванометра. Такого типа электреты могут храниться годами, только для продолжительного хранения их вставляют в специальные металлические капсулы (видимо, надеваемые на концы бруска, в литературе этот момент подробно не освещается — прим. автора статьи), чтобы предотвратить с течением времени улавливание бруском ионов из воздуха. При этом происходит покрытие концов бруска покровным слоем из ионов противоположного знака, после чего электрический момент бруска становится нейтральным, при попытке измерения снаружи. Повторное расплавление электрета разрушает поляризованную структуру, и, соответственно, разряжает электрет. Электреты могут использоваться в вольтметрах, электрометрах, телефонных аппаратах, для подачи постоянного напряжения на сетки электронных ламп, для целей управления электронным пучком в электронно-лучевых трубках и т.д.

Существует ряд веществ, называемых сегнетоэлектриками, которые обладают свойством самопроизвольной электрической поляризации, из-за асимметрии их кристаллической структуры.

Одним из важнейших представителей сегнетоэлектриков является открытая в 1672 году французским аптекарем П.Сеньетом — «сегнетова соль», Или, другими словами, двойная калиево-натриевая соль винной кислоты. В сегнетовой соли причиной возникновения спонтанной (то есть, в отсутствие внешнего электрического поля) поляризации является ориентация гидроксильных групп ОН, которым присущ дипольный момент; кроме неё подобными свойствами обладает открытый в 1944 году в СССР титанат бария.

Сегнетоэлектрики характеризуются очень большими значениями диэлектрической проницаемости в рамках определённого диапазона температур. Например, сегнетова соль имеет высокую диэлектрическую проницаемость в диапазоне от -20 до +20 градусов Цельсия, в то время как для титаната бария этот диапазон простирается от самых низких температур до +125 градусов Цельсия.

Но гораздо более распространённым и устойчивым является самопроизвольная магнитная поляризация, например, у намагниченных ферромагнетиков, называемых также постоянными магнитами, где сохраняется намагниченность из-за того, что не существует свободных магнитных зарядов, а, следовательно, и соответствующих токов.

Поляризация может происходить и механическим способом, например, известно, что кристаллы состоят из атомов или ионов противоположных зарядов, которые размещаются в узлах пространственной решётки. Если кристалл помещается в электрическое поле, то происходит смещение положительных и отрицательных зарядов этой решётки, что приводит к возникновению на граничных поверхностях кристалла электрических зарядов.

Такой же процесс может происходить и вследствие механического воздействия, например, поверхность кристалла кварца поляризуется, если его подвергнуть деформации с помощью сдавливания, при этом степень поляризации пропорциональна сдавливанию, — такая поляризация носит название пьезоэлектрической.

Причём может наблюдаться и обратный пьезоэлектрический эффект, когда внешнее электрическое поле, приложенное к телу, вызывает упругую деформацию его. Причём этот обратный эффект следует отличать от электрострикции, — деформации диэлектриков под влиянием электрического поля, пропорционального квадрату напряжённости поля и она может наблюдаться для многих диэлектриков — в твёрдом, жидком и газообразном состоянии. Обратный пьезоэлектрический эффект отличается от электрострикции тем, что он на несколько порядков больше её, и может наблюдаться только у диэлектриков, обладающих определённой симметрией. Кроме указанных выше видов поляризации может наблюдаться ещё и температурная поляризация, которая носит название пироэлектрического эффекта, который был впервые открыт в 1756 году петербургским академиком Эпенусом.

Явление пьезоэлектрического эффекта получило широкое применение на практике, например, если к пластинке или бруску кварца приложить переменное электрическое напряжение, то он будет испытывать упругие деформации, с частотой этого напряжения. Если частота тока совпадает с частотой собственных колебаний кристалла, то возникает резонанс и кристалл начинает совершать энергичные колебания, с одной и той же неизменной частотой, по крайней мере, пока температура остаётся постоянной.

Это свойство кварца широко распространено в технике, в качестве средства точного измерения времени, а позже, на основе этого свойства кварца были созданы и кварцевые часы. Пьезоэффект, наблюдаемый у кварца, позволяет генерировать весьма точные колебания, неизменные во времени. Например, был проведён эксперимент с кварцем длиной 9,1 см, с частотой 60000 Гц. Часы на основе этого кварца показали точность от 0,001 до 0,002 секунды, в течение многих месяцев. С помощью замеров с применением кварцевых часов было установлено, что практическая продолжительность суток испытывает колебания +- 0,004 сек. Кроме измерителя времени, кварц служит важную роль также в стабилизации длины волны в радиотехнике.

▍ А в чём же причина.

Но, всё же, встаёт один очень интересный вопрос: а что всё-таки является источником магнетизма в своей основе?

То, что мы узнали ранее, а именно поляризация, это всего лишь «техническое ухищрение», если его можно так назвать, с помощью которого мы заставили частицы вещества развернуться в одном направлении (в случае принудительной поляризации) или «некий природный казус» (в случае самопроизвольной поляризации), — чем-то это напоминает лазер, с его когерентностью излучения, то есть согласованностью волновых процессов во времени, где с помощью определённых технических ухищрений, мы стали испускать фотоны определённой частоты.

А ответ заключается здесь вот в чём: согласно теории Ампера, источником магнетизма являются существующие круговые токи в атомах вещества, а магнитные диполи в веществе — могут рассматриваться как своеобразные волчки. Под диполем здесь понимается система из ядра атома и электронов, где ядро заряжено положительно, вокруг которого летают электроны, заряженные отрицательно и создающие своим движением магнитное поле.

Подтверждением этого представления стало явление Барнета, открытое в 1909 году и получившее имя своего первооткрывателя.

Если вещество не намагничено, то диполи в нём расположены хаотически, поэтому вне вещества — их магнитные свойства не обнаруживаются (взаимно компенсируются, т.к. хаотичны). Однако если такому веществу придать вращательное движение, то каждый диполь в нём получит дополнительный импульс вокруг оси вращения, и его круговой ток получит приращение, в виде прироста компоненты кругового тока вокруг этой оси. Следствием этого является появление дополнительных магнитных моментов, которые суммируются и имеют направленность вдоль оси вращения и могут быть измерены вовне вещества, при этом само тело намагничивается. Только нужно иметь в виду, что если этот эксперимент проделывается с ферромагнетиками, то вращение должно быть очень быстрым, чтобы вызвать измеримые изменения.

При этом можно легко обнаружить, что же является источником магнитного момента: образованы ли круговые токи положительными или отрицательными зарядами (если положительным, то причина — ядро атома, если отрицательными, — то электроны атома).

Практические эксперименты Барнета показали, что источником являются носители отрицательного заряда, то есть электроны. Тем не менее эксперимент показал расхождение показателей с теорией, объясняющей появление такого момента быстрым движением электронов по своим орбитам, но, в дальнейшем, ответ на этот вопрос дала квантовая механика, которая открыла, что причиной явления Барнета являются не отрицательные моменты электронов, а их спин.

А в 1915 году был открыт обратный эффект, который получил название явление Эйнштейна-де Гааза. Внутри вертикально установленной катушки (S) была подвешена с помощью тонкой стеклянной нитки (a) — железная проволочка (bc).

Картинка: Н.В.Кашин – «Электричество и магнетизм, колебания и волны»

По катушке пускался электрический ток и при изменении направления тока в катушке, железная проволочка перемагничивалась. Если прикрепить к проволочке небольшое зеркальце, то можно было визуально наблюдать, что проволочка совершает поворот вокруг своей вертикальной оси, согласно отрицательному знаку элементарного заряда. Для увеличения наглядности, Эйнштейн и де-Гааз пускали по катушке переменный ток, с таким же периодом, как их период вращения стеклянной нитки с проволочкой.

В самом начале, так как вещество проволочки было ненамагничено, диполи были расположены хаотично, равно как и направления их вращательных импульсов, что приводило к их взаимному уравновешиванию. Проходящий в катушке ток намагничивал проволочку, что приводило к переориентации диполей в направлении силовых линий поля, то есть в направлении оси проволочки (это же относится и к вращательным импульсам диполей). Это, в свою очередь, приводило к тому, что векторная сумма вращательных моментов диполей было уже не равна нулю, а имела некое значение, что, в свою очередь, так как изначально проволочка не имела никакого вращения (с которым мог бы сложиться или обнулиться возникший импульс), — приводило к отталкиванию от текущего положения и отклонения вокруг вертикальной оси. Чем-то это напоминает создание импульса, когда дети раскачиваются на качелях:-) Направление вращения позволило экспериментально убедиться в отрицательном знаке элементарного заряда.

Кстати говоря, некоторое подобие описанного выше явления Барнета, с физическим раскручиваем ферромагнетика (не его самого, а опыт с физическим воздействием и намагничиванием), в некоторой степени может повторить каждый, например вот здесь, в одной из предыдущих статей, рассмотрен простой способ, как можно обычным физическим ударом намагнитить железо!

Подытоживая рассказ, можно сказать, что детальное изучение структуры вещества, взаимодействий, является весьма увлекательным процессом, что может дать множество пищи для размышлений, и, может статься, даже стать источником идей для каких-то изобретений…

▍ Список использованных источников

  1. Н.В.Кашин – «Электричество и магнетизм, колебания и волны»
  2. Г.С.Кринчик – «Физика магнитных явлений»
  3. А.И.Ахиезер, И.А.Ахиезер – «Электромагнетизм и электромагнитные волны»
  4. В.В.Никольский – «Электродинамика и распространение радиоволн»

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *