Как построить векторную диаграмму цепи
Перейти к содержимому

Как построить векторную диаграмму цепи

  • автор:

Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них.

Соотношение (1) показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. Таким образом, если на входе двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то соответствующие им синусоиды на его экране будут проходить (см. рис. 2) через нуль одновременно, т.е. на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе.

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:

— разделим первый из них на второй:

Полученный результат показывает, что отношение двух комплексов есть вещественная константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока (см. рис. 3) совпадают по направлению.

Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение (см. рис. 4), то ток i через него будет равен

Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на /2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i , то на его экране будет иметь место картинка, соответствующая рис. 5.

Введенный параметр называют реактивным емкостным сопротивлением конденсатора . Как и резистивное сопротивление, имеет размерность Ом . Однако в отличие от R данный параметр является функцией частоты, что иллюстрирует рис. 6. Из рис. 6 вытекает, что при конденсатор представляет разрыв для тока, а при .

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:

— разделим первый из них на второй:

В последнем соотношении — комплексное сопротивление конденсатора. Умножение на соответствует повороту вектора на угол по часовой стрелке. Следовательно, уравнению (4) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 7.

3. Катушка индуктивности

Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выражением . Тогда для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать

Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на /2 . Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i , то на его экране (идеальный индуктивный элемент) будет иметь место картинка, соответствующая рис. 9.

Введенный параметр называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки; его размерность – Ом. Как и у емкостного элемента этот параметр является функцией частоты. Однако в данном случае эта зависимость имеет линейный характер, что иллюстрирует рис. 10. Из рис. 10 вытекает, что при катушка индуктивности не оказывает сопротивления протекающему через него току, и при .

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим комплексам:

разделим первый из них на второй:

В полученном соотношении — комплексное

сопротивление катушки индуктивности. Умножение на соответствует повороту вектора на угол против часовой стрелки. Следовательно, уравнению (6) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 11

4. Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов

Пусть в ветви на рис. 12 . Тогда

, причем пределы изменения .

Уравнению (7) можно поставить в соответствие соотношение

которому, в свою очередь, соответствует векторная диаграмма на рис. 13. Векторы на рис. 13 образуют фигуру, называемую треугольником напряжений . Аналогично выражение

графически может быть представлено треугольником сопротивлений (см. рис. 14), который подобен треугольнику напряжений.

5. Последовательное соединение резистивного и емкостного элементов

Опуская промежуточные выкладки, с использованием соотношений (2) и (4) для ветви на рис. 15 можно записать

, причем пределы изменения .

На основании уравнения (7) могут быть построены треугольники напряжений (см. рис. 16) и сопротивлений (см. рис. 17), которые являются подобными.

6. Параллельное соединение резистивного и емкостного элементов

Для цепи на рис. 18 имеют место соотношения:

, где [См] – активная проводимость;

, где [См] – реактивная проводимость конденсатора.

Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником токов , приведена на рис. 19. Ей соответствует уравнение в комплексной форме

Треугольник проводимостей , подобный треугольнику токов, приведен на рис. 20.

Для комплексного сопротивления цепи на рис. 18 можно записать

Необходимо отметить, что полученный результат аналогичен известному из курса физики выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов.

7. Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов

Для цепи на рис. 21 можно записать

, где [См] – активная проводимость;

, где [См] – реактивная проводимость катушки индуктивности.

Векторной диаграмме токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравнение в комплексной форме

Треугольник проводимостей , подобный треугольнику токов, приведен на рис. 23.

Выражение комплексного сопротивления цепи на рис. 21 имеет вид:

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. В чем сущность реактивных сопротивлений?

2. Какой из элементов: резистор, катушку индуктивности или конденсатор – можно использовать в качестве шунта для наблюдения за формой тока?

3. Почему катушки индуктивности и конденсаторы не используются в цепях постоянного тока?

4. В ветви на рис. 12 . Определить комплексное сопротивление ветви, если частота тока .
Ответ: .

5. В ветви на рис. 15 . Определить комплексное сопротивление ветви, если частота тока .
Ответ: .

6. В цепи на рис. 18 . Определить комплексные проводимость и сопротивление цепи для .
Ответ: ; .

7. Протекающий через катушку индуктивности ток изменяется по закону А. Определить комплекс действующего значения напряжения на катушке.
Ответ: .

Построение векторной диаграммы трехфазной электрической цепи с помощью вольтамперфазометров производства Челэнергоприбор

Построение векторной диаграммы трехфазной электрической цепи с помощью вольтамперфазометров производства Челэнергоприбор

Челэнергоприбор 2023-07-06T13:08:57+00:00

Трёхфазной симметричной цепи, соединённой звездой, схема которой представлена на рис. 1, соответствует векторная диаграмма, приведённая на рис.2 [1]. Здесь символ подчёркивания означает комплексные величины, характеризуемые действующим значением и начальной фазой.

Рис. 1 – Трехфазная симметричная цепь

При построении векторных диаграмм трёхфазных цепей полагают, что начальная фаза напряжения UА равна нулю и вектор этого напряжения направляют вертикально вверх. Вектора напряжения фаз B и С откладываются от UA, при этом положительный угол откладывается против направления движения часовой стрелки.

Рис. 2 – Векторная диаграмма трехфазной симметричной цепи

Угол сдвига фаз между током и напряжением одной фазы откладывают от вектора тока к вектору напряжения, так, что если напряжение опережает ток, то этот угол положительный, а если напряжение отстаёт от тока, то – отрицательный (положительный угол откладывается против направления движения часовой стрелки, ГОСТ 31819.23-2012 [2], приложение С).

Если фазное напряжение опережает по фазе соответствующий ток (угол φ положительный), то измеряемая цепь имеет в целом индуктивный характер, а если отстаёт от тока (угол φ отрицательный) – то ёмкостный.

Взаимные направления векторов фазных напряжений при соединении звездой определяются ГОСТ Р 52002 [3], в пп. 164 – 166, текст которых приведён ниже:

164 (симметричная) система прямой последовательности (токов)

Симметричная многофазная система электрических токов, порядок следования фаз которых принят в качестве основного.

1 При основном порядке следования фаз сдвиги по фазе каждой из фаз симметричной многофазной системы электрических токов относительно фазы, принятой за первую, увеличиваются или уменьшаются на одинаковую величину, равную 2π(1 — k)/m, где m — число фаз; k = 1, 2, …, m — номер фазы.

2 Аналогично определяют симметричные системы прямой последовательности напряжений, электродвижущих сил, магнитных потоков и т. д.

165 (симметричная) система обратной последовательности (токов)

Симметричная многофазная система электрических токов, порядок следования фаз которых обратен основному.

1 При обратном порядке следования фаз сдвиги по фазе каждой из фаз симметричной многофазной системы электрических токов относительно фазы, принятой за первую, уменьшаются или увеличиваются на одинаковую величину, равную 2π(1 — k)/m, где m — число фаз; k = 1, 2, …, m — номер фазы.

2 Аналогично определяют симметричные системы обратных последовательностей напряжений, электродвижущих сил, магнитных потоков и т. д.

166 симметричные составляющие (несимметричной m-фазной системы электрических токов)

Симметричные m-фазные последовательности электрических токов, на которые данная несимметричная m-фазная система электрических токов может быть разложена, а именно m последовательностей с индексами n = 0, 1, …, m — 1, фазные сдвиги в фазах каждой из которых относительно первой фазы равны 2π(1 — k)n/m, где k = 1, 2, …, m — номер фазы.

1 Для трехфазной системы обозначениям фаз А, В и С соответствуют значения k = 1, 2 и 3, а названиям последовательностей как нулевой, прямой и обратной — значения n — 0, 1 и 2.

2 Аналогично определяют симметричные составляющие несимметричных m-фазных систем электрических напряжений, электродвижущих сил, магнитных потоков и т. д.

Таким образом, векторная диаграмма на рис. 2 соответствует трехфазной симметричной системе с прямой последовательностью фаз.

В соответствии с приведенными правилами и стандартами строят векторные диаграммы вольтамперфазометры ВФМ-3 и ВФМ-4 компании «Челэнергоприбор» (рис. 3 и рис. 4).

Рис. 3 – Векторная диаграмма на экране вольтамперфазометра ВФМ-3Рис. 4 – Векторная диаграмма на экране вольтамперфазометра ВФМ-4

Автоматическое построение векторной диаграммы значительно снижает вероятность ошибки при сборке и наладке трехфазных схем.

Знак мощности

Знак мощностей, активной и реактивной, выводится на экране вольтамперфазометров ВФМ-3 и ВФМ-4 согласно представлению, показанному на рис. 5 стандарта ГОСТ 31819.23-2012 [2] (приложение С).

Здесь началом отсчета (координат) диаграммы является вектор тока (задан на горизонтальной оси координат с правой стороны).

Поскольку знаки мощностей однозначно определяют квадрант, значения мощности выводятся на экран приборов только в цифровом виде.

Рис. 5 – Геометрическое представление активной и реактивной мощности

  1. Основы теории цепей: Учебник для вузов/Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов. — М.: Энергоатомиздат, 1989.
  2. ГОСТ 31819.23-2012. Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока. Частные требования. Часть 23. Статические счетчики реактивной энергии.
  3. ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий.

Построение векторных диаграмм

Follow us on Facebook Follow us on Instagram Follow us on LinkedIn Follow us on rss

Достаточно сложным и чаще всего не изучаемым аспектом темы переменный ток является метод построения векторных диаграмм. Анализируя вынужденные электромагнитные колебания, мы уже обсудили сдвиг тока и напряжения на реактивных сопротивлениях (катушка индуктивности и конденсатор) по сравнению с активным сопротивлением (резистор). Тогда одним из задаваемых вопросов задачи является вопрос о направлении суммарного тока или напряжения в данный конкретный момент времени. Для ответа на этот вопрос и используется метод построения векторных диаграмм.

Векторная диаграмма — это изображение гармонически изменяющихся величин (текущего тока и напряжения) в виде векторов на плоскости.

Векторная диаграмма

Рис. 1. Векторная диаграмма

Построение векторных диаграмм происходит в прямоугольной декартовой системе координат. Построение начинается с проведения вектора, численно равного амплитудному значению тока в цепи. Данный вектор сонаправим в осью ОХ (рис. 1.1).

Т.к. напряжение на активном сопротивлении находится в одной фазе с током, то вектор амплитуды напряжения сонаправлен с вектором тока (рис. 1.2. красный).

На катушке напряжение опережает ток, поэтому отложим вектор амплитуды напряжения на катушке () вверх под углом относительно вектора тока (рис. 1.2. синий).

На конденсаторе напряжение отстаёт от тока, поэтому отложим вектор амплитуды напряжения на конденсаторе () вниз под углом относительно вектора тока (рис. 1.2. зелёный).

Угол , используемый в логике построений, используется в случае идеальности контура и катушки.

Для построения общего вектора напряжения достаточно векторно сложить напряжения:

Проще всего сначала найти вектор-сумму (т.к. они расположены вдоль одной прямой). В нашем случае, эти вектора разнонаправлены, найдём (рис. 1.3. жёлтый).

И последнее, осталось сложить получившийся вектор с вектором для получения значения полного напряжения в цепи (рис. 1.4. оранжевый). Для получения модуля вектора воспользуемся теоремой Пифагора, т.к. вектора находятся под прямым углом. Тогда:

  • где
    • — общее напряжение в цепи,
    • — напряжение на конденсаторе,
    • — напряжение на катушке индуктивности,
    • — напряжение на активном сопротивлении.

    Угол — угол между вектором силы тока и полного напряжения называется сдвигом фаз между колебаниями силы тока и напряжения. Данный параметр можно найти и исходя из параметров системы:

    • где
      • — активное сопротивление,
      • — полное сопротивление цепи.

      Вывод: задачи на данную тематику касаются поиска сдвига фаз между колебаниями силы тока и напряжения через график (рис. 1.4) или через соотношение (3), а также поиска полного напряжения в цепи также через график (рис. 1.4) или через соотношение (2).

      Что такое векторная диаграмма токов и напряжений? Как построить график

      Использование векторных диаграмм при анализе, расчете цепей переменного тока делает возможным рассмотреть более доступно и наглядно происходящие процессы, а также в некоторых случаях значительно упростить выполняемые расчеты.

      Векторной диаграммой принято называть геометрическое представление изменяющихся по синусоидальному (либо косинусоидальному) закону направленных отрезков – векторов, отображающих параметры и величины действующих синусоидальных токов, напряжений либо их амплитудных величин.

      Широкое применение векторные диаграммы нашли в электротехнике, теории колебаний, акустике, оптике и т.д.

      Различают 2-х вида векторных диаграмм:

      Интересное видео о векторных диаграммах смотрите ниже:

      Точные изображаются по результатам численных расчетов при условии соответствия масштабов действующих значений. При их построении можно геометрически определить фазы и амплитудные значения искомых величин.

      Васильев Дмитрий Петрович

      Васильев Дмитрий Петрович
      Профессор электротехники СПбГПУ

      Качественные диаграммы изображаются с учетом взаимных соотношений между электрическими величинами, без указания численных характеристик.

      Они являются одним из основных средств анализа электрических цепей, позволяя наглядно иллюстрировать и качественно контролировать ход решения задачи и легко установить квадрант, в котором располагается искомый вектор.

      Векторная диаграмма токов и напряжений 1

      Для удобства при построении диаграмм анализируют неподвижные векторы для определенного момента времени, который выбирается таким образом, чтобы диаграмма имела удобный для понимания вид. Ось OХ соответствует величинам действительных чисел, ось OY — оси мнимых чисел (мнимая единица). Синусоида отображает движение конца проекции на ось OY. Каждому напряжению и току соответствует собственный вектор на плоскости в полярных координатах. Его длина отображает амплитудное значение величины тока, при этом угол равен фазе.

      Векторы, изображаемые на такой диаграмме, характеризуются равновеликой угловой частотой ω. В виду чего при вращении их взаимное расположение не изменяется.

      Ещё одно полезное видео о векторных диаграммах:

      Поэтому при изображении векторных диаграмм один вектор можно направить произвольным образом (например, по оси ОХ).

      А остальные – изображать по отношению к исходному под различными углами, соответственно равными углам сдвига фаз.

      Векторная диаграмма токов и напряжений 3

      Таким образом, векторная диаграмма дает отчетливое представление об опережении либо отставании различных электрических величин.
      Допустим у нас есть ток, величина которого изменяется по некоторому закону:

      i = Im sin (ω t + φ).

      С начала координат 0 под углом φ проведем вектор Im, величина которого соответствует Im. Его направление выбирается так, чтобы с положительным направлением оси OX вектор составлял угол – соответствующий фазе φ.

      Абрамян Евгений Павлович

      Абрамян Евгений Павлович
      Доцент кафедры электротехники СПбГПУ

      Проекция вектора на вертикальную ось и определяет значение мгновенного тока в начальный момент времени.

      В основном векторные диаграммы изображают для действующих значений, а не амплитудных. Векторы действующих значений количественно отличаются от амплитудных значений – масштабом, поскольку:

      I = Im /√2.

      Векторная диаграмма токов и напряжений 4

      Основным преимуществом векторных диаграмм называют возможность простого и быстрого сложения и вычитания 2-х параметров при расчете электроцепей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *