Как движется электрон в магнитном поле

Движение электронов в магнитном поле

Цель работы. Определение удельного заряда электрона по известной траектории пучка электронов в электрическом и переменном магнитном полях.

Приборы и принадлежности: экспериментальная установка марки «PHYWE» фирмы HYWE Systems GmbH & Co. (Германия) в составе: электронно-лучевая трубка; катушки Гельмгольца (1 пара); источник питания универсальный (2 шт.); цифровой мультиметр (2 шт.); разноцветные соединительные шнуры.

Введение

Удельным зарядом элементарной частицы называют отношение заряда частицы к её массе . Эта характеристика широко применяется для идентификации частиц, так как позволяет отличать друг от друга разные частицы, имеющие одинаковые заряды (например, электроны от отрицательно заряженных мюонов, пионов и др.).

Удельный заряд электронаотносится к фундаментальным физическим постоянным, таким как заряд электронае, скорость света с, постоянная Планка h и др. Его теоретическое значение составляет величину = (1,75896 ± 0,00002)∙10 11 Кл∙кг -1 .

Многочисленные экспериментальные методы определения удельного заряда частиц основаны на исследованиях особенностей их движения в магнитном поле. Дополнительные возможности представляет использование конфигурации магнитного и электрического полей и варьирование их параметров. В данной работе определяется удельный заряд электрона на экспериментальной установке марки «PHYWE» немецкого производства. В ней для изучения траекторий движения электронов в магнитном поле реализован метод, основанный на сочетании возможностей варьирования параметров однородных магнитного и электрического полей при их взаимно перпендикулярной конфигурации. Данное методическое пособие разработано с использованием документации, поставленной в комплекте с установкой.

Магнитное поле. Опыты показывают, что магнитное поле действует на движущиеся в нём заряженные частицы. Силовой характеристикой, определяющей подобное его действие, является магнитная индукция – векторная величина В. Магнитное поле изображают с помощью силовых линий магнитной индукции, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора B. При однородном магнитном поле вектор B постоянен по величине и направлению в любой точке поля. Сила, действующая на заряд q, движущийся со скоростью V в магнитном поле, была определена немецким физиком Г. Лоренцем (сила Лоренца). Она выражается формулой

F_л = q∙[ V∙B] или F_л = |q|VB∙sinα (1)

где α – угол, образованный вектором скорости V движущейся частицы и вектором индукции магнитного поля В.

На неподвижный электрический заряд магнитное поле не действует. В этом его существенное отличие от поля электрического.

Направление силы Лоренца определяется с помощью правила «левой руки». Если ладонь левой руки расположить так, чтобы в неё входил вектор B, а четыре вытянутых пальца направить вдоль

направления движения положительных зарядов (q>0), совпадающие с направлением тока I (), то отогнутый большой палец

Рис.1

покажет направление силы, действующей на положительный заряд (q>0) (рис. 1). В случае отрицательных зарядов (q0) направления тока I и скорости V движения противоположны. Направление силы Лоренца определяется по направлению тока. Таким образом, сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости, поэтому модуль скорости не будет меняться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как следует из формулы (1), остаётся постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная сила, перпендикулярная скорости, вызывает движение по окружности, то есть является центростремительной. При отсутствии других сил, согласно второму закону Ньютона, она сообщает заряду центростремительное или нормальное ускорение . Траектория движения заряда в однородном магнитном поле приVB представляет собой окружность (рис.2), радиус которой r определяется из условия

, (2)

где α – угол между векторами V и B.

В случае α = 90 0 , sinα = 1 из формулы (2) радиус круговой траектории заряда определяется формулой

(3)

Работа, совершаемая над движущейся зарядом в магнитном поле постоянной силой Лоренца, равна

ΔА = F_л.Δr

или ΔА = F_л.Δr cosβ, (4)

где β – угол между направлением векторов силы F_л. и направлением вектора перемещения Δr.

Так как всегда выполняется условие F_л Δr, β = 90 0 и cosβ = 0, то работа, совершаемая силой Лоренца, как следует из (4), всегда равна нулю. Следовательно, абсолютное значение скорости заряда и его кинетическая энергия при движении в магнитном поле остаются постоянными.

Период вращения (время одного полного оборота), равен

(5)

Подставив в (5) вместо радиуса r его выражение из (3), получим, что кругообразное движение заряженных частиц в магнитном поле обладает важной особенностью: период обращения не зависит от энергии частицы, зависит только от индукции магнитного поля и величины, обратной удельному заряду:

. (6)

Если магнитное поле однородно, но начальная скорость заряженной частицы V направлена под углом α к силовым линиям В, то движение можно представить как суперпозицию двух движений: равномерного прямолинейного в направлении, параллельном магнитному полю со скоростью V_// = V∙cosα и равномерного

вращения под действием силы Лоренца в плоскости, перпендикулярной магнитному полю cо скоростью V_┴ = V∙sinα.

В результате траектория движения частицы будет представлять собой винтовую линию (рис.3).

Шаг винтовой линии равен расстоянию, пройденному зарядом вдоль поля со скоростью V_// за время, равное периоду вращения

h = VТcos, (7)

где .

Подставив это выражение для Т в (7), получим

. (8)

Ось спирали параллельна силовым линиям магнитного поля B.

Электрическое поле. На точечный заряд q, помещённый в электрическое поле, характеризующееся вектором напряжённости E, действует сила

F = qE, (9)

Направление силы F совпадает с направлением вектора E, если заряд положительный, и противоположно E в случае отрицательного заряда. В однородном электрическом поле вектор напряжённости в любой точке поля постоянен по величине и направлению. Если движение происходит только вдоль силовых линий однородного электрического поля, оно является равноускоренным прямолинейным.

По второму закону Ньютона F = ma уравнение движения заряда в электрическом поле выражается формулой

qE = (10)

Предположим, что точечный отрицательный заряд, двигающийся первоначально вдоль оси Х со скоростью V, попадает в однородное электрическое поле между пластинами плоского конденсатора, как показано на рис. 4.

Движение заряда вдоль оси X является равномерным, его кинематическое уравнение x = x₀ + Vt (x₀ – начальная координата, t – время), V = const, x₀ = 0. Время пролёта зарядом конденсатора с длиной пластин ℓ равно .

Движение вдоль оси Y определяется электрическим полем внутри конденсатора. Если зазор между пластинами мал по сравнению с их длиной, краевыми эффектами можно пренебречь и электрическое поле в пространстве между пластинами считатьоднородным (Е_y = const). Движение заряда будет равноускоренным V_y = V_0y + at. Ускорение определяется с формулой (10). Выполнив интегрирование (10), получим ,где С − постоянная интегрирования. При начальном условии (t = 0) V_0y = 0 получим C = 0. .

Траектория и характер движения заряженной частицы в однородном электрическом поле плоского конденсатора подобны аналогичным характеристикам движения в гравитационном поле брошенного горизонтально тела. Отклонение заряженной частицы вдоль оси Y равно . С учётом характера действующей силы оно зависит отсогласно формуле.

При перемещении заряда в электрическом поле между точками, имеющими разность потенциалов U, электрическим полем совершается работа, вследствие чего заряд приобретает кинетическую энергию. В соответствии с законом сохранения энергии

.

Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией В действует и электрическое поле с напряжённостью E, то результирующая сила F, определяющая его движение, равна векторной сумме силы, действующей со стороны электрического поля и силы Лоренца

F_эм = qE + q[V∙B]. (11)

Это выражение называется формулой Лоренца.

В данной лабораторной работе исследуется движение электронов в магнитном и электрическом полях. Все соотношения, рассмотренные выше для произвольного заряда, справедливы и для электрона.

Считаем, что начальная скорость электрона равняется нулю. Попадая в электрическое поле, заряд ускоряется в нём, и, пройдя разность потенциалов U, приобретает некоторую скорость V. Её можно определить из закона сохранения энергии. В случае нерелятивистских скоростей (V c) имеющего вид

, (12)

где е = –1,6∙10 -19 Кл – заряд электрона, m_e = 9,1∙10 -31 кг – его масса.

Из (12) скорость электрона

.

Подставляя её в (3), получим формулу для нахождения радиуса окружности, по которой движется электрон в магнитном поле:

. (13)

Таким образом, зная разность потенциалов U, ускоряющую электроны при их движении в электрическом поле до нерелятивистских скоростей, индукцию однородного магнитного поля B, в котором эти электроны движутся, описывая круговую траекторию, и, экспериментально определяя радиус указанной круговой траектории r, можно вычислить удельный заряд электрона по формуле

(14)

Движение электронов в электрическом и магнитном полях

Если два плоских, параллельно расположенных электрода поместить в вакуум и подключить к источнику электродвижущей силы, то в пространстве между электродами образуется электрическое поле, силовые линии которого будут прямолинейны, параллельны друг другу и перпендикулярны к поверхностям обоих электродов.

На рис. 1 буквой а обозначен электрод, подключенный к «+» батареи Е Б , а буквой к — электрод, подключенный к «—» батареи Е Б . Если в такое электрическое поле поместить заряд —е, не меняющий конфигурации поля, то на этот заряд будет действовать сила F, равная произведению напряженности поля Е на величину заряда —е:

Знак минус свидетельствует о том, что сила F, действующая на отрицательный заряд —е, и напряженность поля Е имеют противоположные направления. Для однородного электрического поля произведение напряженности Е на расстояние между электродами h равно приложенной разности потенциалов между электронами:

и U к и U а — потенциалы электродов к и а.

Сила F, действующая на электрон, помещенный в ускоряющее однородное электрическое поле, с учетом формулы (1) будет определяться выражением

Рис. 1. Движение электрона в однородном электрическом поле.

Работа, совершаемая полем при перемещении электрона от одного электрода к другому, соответственно будет равна

А = Fh = e(U а — U к ). (3)

Электрон приобретает кинетическую энергию и будет двигаться от электрода к к электроду а равномерно ускоренно. Скорость υ, с которой электрон достигает электрода а, может быть определена из равенства

где m — масса электрона; υ а — скорость электрона у электрода а; υ к — скорость электрона у электрода к (начальная скорость).

Если пренебречь начальной скоростью электрона, то формула (4) может быть упрощена: заменив отношение заряда электрона к его массе числовым значением и выражая потенциалы в вольтах, а скорость в м/сек, получаем

Время пролета электроном расстояния h между электродами определяется формулой

где υ ср =υ а -υ к /2 — средняя скорость электрона.

Если электрон будет двигаться в направлении, совпадающем с направлением вектора напряженности электрического поля Е, то направление перемещения окажется противоположным силе, действующей на электрон, и он будет расходовать ранее приобретенную кинетическую энергию. Таким образом, двигаться навстречу действия поля электрон сможет лишь при условии, если он обладает некоторой начальной скоростью, т. е. некоторым запасом кинетической энергии.

При этом движение электрона будет равномерно замедленным (тормозящее электрическое поле) и, когда запас кинетической энергии электрона полностью израсходуется (т. е. кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную), электрон остановится и начнет равномерно ускоренно перемещаться в направлении действия силы F ( рис. 2 ).

Рис. 2. Движение электрона в однородном электрическом поле с начальной скоростью.

Практически однородное электрическое поле в электровакуумных приборах встречается крайне редко. В неоднородном поле напряженность изменяется от точки к точке как по величине, так и по направлению. Поэтому и сила, действующая на электрон, тоже меняется как по величине, так и по направлению.

В электровакуумных приборах, наряду с электрическим полем, для воздействия на движение электронов используется также магнитное поле. Если электрон находится в состоянии покоя или если он движется параллельно силовой линии магнитного поля, то на него никакая сила не действует. Поэтому при определении взаимодействия движущегося электрона и магнитного поля следует учитывать только составляющую скорости, перпендикулярную силовым линиям магнитного поля.

Сила F, действующая на электрон, всегда перпендикулярна вектору напряженности магнитного поля тору скорости электрона ( рис. 3 ).

Рис. 3. Движение электрона в магнитном поле.

Направление силы F можно определять по «правилу буравчика»: если ручку буравчика вращать в направлении от вектора Н к вектору скорости электрона υ по кратчайшему угловому направлению, то поступательное движение буравчика совпадает с направлением силы F. Так как действие силы F всегда перпендикулярно направлению движения электрона, то эта сила не может совершать работы и влияет лишь на направление его движения. Кинетическая энергия электрона остается прежней, он движется с постоянной скоростью. Величина силы F определяется по формуле

где е — заряд электрона; Н — напряженность магнитного поля; υ п — составляющая скорости электрона, перпендикулярная полю Н. Сила F сообщает электрону значительное центростремительное ускорение, изменяя при этом траекторию его движения. Радиус кривизны траектории электрона определяют по формуле

где Н — в эрстедах; υ п — в вольтах; r — в сантиметрах.

Изменяя напряженность магнитного поля, можно менять радиус траектории электрона. Если электрон имеет также и составляющую скорости вдоль силовых линий магнитного поля, то траектория электрона будет винтовой с постоянным шагом.

Часто электрон движется в пространстве, в котором одновременно имеются электрическое и магнитное поля. При этом, в зависимости от величины и направления начальной скорости электрона, а также от напряженности электрического и магнитного полей, траектория электрона будет иметь различную форму.

В качестве примера рассмотрим движение электрона без начальной скорости во взаимно перпендикулярных однородных электрическом и магнитном полях ( рис. 4 ).

На электрон, помещенный в точку А, действует электрическое поле, и он начинает двигаться против направления вектора напряженности электрического поля.

Рис. 4. Движение электрона во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях.

Как только у электрона проявляется какая-то скорость, возникает поперечная отклоняющая сила F, и чем больше будет скорость электрона с, которую он приобретает за счет взаимодействия с электрическим полем, тем больше становится сила F. В точке В движение электрона происходит перпендикулярно силовым линиям электрического поля. В этой точке электрон обладает наибольшей скоростью, а следовательно, и максимальной кинетической энергией.

Дальнейшее движение электрона происходит под действием магнитного и ставшего для него тормозящим электрического поля. В точке С вся кинетическая энергия, запасенная электроном ранее, будет израсходована на преодоление тормозящего электрического поля. Потенциал точки С равен потенциалу точки А. Электрон, описав циклоидную траекторию, возвращается на прежний потенциальный уровень.

Движение электронов в магнитном поле

Почему трек движения электрона в магнитном поле имеет форму спирали и в каком направлении двигается электрон(из центра спирали или с её конца)?

Дополнен 14 лет назад
Почему электрон движется в этом направлении?
Лучший ответ

Из школьного курса физики известно, что существует сила Лоренца. Эта сила пропорциональна ВЕКТОРНОМУ произведению скорости заряженой частицы на магнитное поле (и то и другое — это вектора) . А вектор, полученый произведением двух векторов, как известно из школьного же курса математики, перпендикулярен этим двоим (т. е. если частица летит вперёд, а поле направленно в бок, то сила действует вверх или вниз) .
Если скорость частицы паралельна полю, то сила равна нулю (хотябы по тому, что не ясно, куда её направить) и частица летит по прямой.
Если же скорость перпендикулярна полю, то тут всё интереснее: частица испытывает силу, которая поворачивает её. Но сила эта перпендикулярна магнитному полю, по этому скорость частицы после поворота, как и до него, тоже будет перпендикулярна магнитному полю. В результате частица просто будет двигаться по кольцу.
Теперь предположим, что частица движется под произвольным углом к магнитному полю. Такое движение можно рассмотреть как сумму движений вдоль поля и перпендикулярно ему. Мы получим частицу, которая летает по кольцу, а само это кольцо движется вдоль силовых линий магнитного поля. Получаем спираль, похожую на пружину.

Но к этому добавляется ещё одно явление: вращаясь, частица испытывает ускорение и, соответственно, излучает радиоволны (так, например, работает магнетрон в микроволновке) . На излучение тратится энергия, скорость частицы уменьшается, и радиус окружности вращения тоже. Получается спираль, в которой частица идёт от края к центру.

Таким образом движение частицы в магнитном поле имеет достаточно сложную форму: это вытянутая (как обычная пружина) спираль, у которой каждый следующий виток меньше предыдущего. До нулевого развера диаметр витка дойдёт только через бесконечное время.

ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

Во всех электронных и ионных приборах электронные потоки в вакууме или газе, находящемся под тем или иным давлением, подвергаются воздействию электрического поля. Взаимодействие движущихся электронов с электрическим .полем является основным процессом в электронных и ионных приборах. Рассмотрим движение электрона в электрическом поле.

Рис.1 — Движение электрона в ускоряющем (а), тормозящем (б) и поперечном (в) электрических полях

На рис.1 а, изображено электрическое поле в вакууме между двумя плоскими электродами. Они могут представлять собой катод и анод диода или любые два соседних электрода многоэлектродного прибора. Представим себе, что из электрода, имеющего более низкий потенциал, например из жатода, вылетает электрон с некоторой начальной скоростью Vo. Поле действует на электрон с силой F и ускоряет его движение к электроду, имеющему более высокий положительный потенциал, например к аноду. Иначе говоря, электрон притягивается к электроду с более высоким положительным потенциалом. Поэтому поле в данном случае называют ускоряющим. Двигаясь ускоренно, электрон приобретает наибольшую скорость в конце своего пути, т. е. при ударе об электрод, к которому он летит. В момент удара кинетическая энергия электрона также будет наибольшей. Таким образом, при движении электрона в ускоряющем поле происходит увеличение кинетической энергии электрона за счет того, что поле совершает работу по перемещению электрона. Электрон всегда отнимает энергию от ускоряющего поля.

Скорость, приобретаемая электроном при движении в ускоряющем поле, зависит исключительно от пройденной разности потенциалов U и определяется формулой

Удобно скорости электронов выражать условно в вольтах. Например, скорость электрона 10 в, означает такую скорость, которую электрон приобретает в результате движения в ускоряющем поле с разностью потенциалов 10 в. Из приведенной формулы легко найти, что при U — 100 в скорость V ~ 6 000 км/сек. При таких больших скоростях время пролета электрона в пространстве между электродами получается весьма малым, порядка 10 в минус 8 — 10 в минус 10 сек.

Рассмотрим теперь движение электрона, у которого начальная скорость Vo направлена против силы F, действующей на электрон со стороны поля (рис.1 б). В этом случае электрон вылетает с некоторой начальной скоростью из электрода с более высоким положительным потенциалом. Та,к как сила F направлена навстречу скорости Vo, то получается торможение электрона и поле называют тормозящим. Следовательно, одно и то же поле для одних электронов является ускоряющим, а для других— тормозящим, в зависимости от направления начальной скорости электрона.

Кинетическая энергия электронов, движущихся в тормозящем поле, уменьшается, так как работа совершается не силами поля, а самим электроном, который .преодолевает сопротивление сил поля. Энергия, теряемая электроном, переходит к полю. Таким образом, в тормозящем поле электрон всегда отдает энергию полю.

Если начальную скорость электрона выражать в вольтах (Uo), то уменьшение скорости равно той разности потенциалов U, которую проходит электрон в тормозящем поле. Когда начальная скорость электрона больше, чем разность потенциалов между электродами (Uo> U), то электрон пройдет все расстояние между электродами и попадет на электрод с более низким потенциалом. Если же Uo < U, то, пройдя разность потенциалов, равную Uq, электрон полностью потеряет свою энергию, скорость его станет равна нулю, он на-момент остановится и начнет ускоренно двигаться обратно (рис.1 б).

Если электрон влетает с некоторой начальной скоростью Vo под прямым углом к направлению силовых линий поля (рис.1 в), то поле действует на электрон с силой F, направленной в сторону более высокого положительного потенциала. Поэтому электрон совершает одновременно два взаимно-перпендикулярных движения: равномерное движение по инерции со скоростью vQ и равномерно-ускоренное движение в ваправлении действия силы F. Как известно из механики, результирующее движение электрона должно происходить по параболе, причем электрон отклоняется в сторону более положительного электрода. Когда электрон выйдет за пределы поля (рис.1 в), то дальше он будет двигаться ,по инерции прямолинейно равномерно.

Из рассмотренных законов движения электронов видно, что электрическое поле всегда воздействует на кинетическую энергию и скорость электрона, изменяя, их в ту или другую сторону. Таким образом, между электроном и электрическим полем всегда имеется энергетическое взаимодействие, т. е. обмен энергией. Кроме того, если начальная скорость электрона направлена не вдоль силовых линий, а под некоторым углом к ним, то электрическое поле искривляет траекторию электрона, превращая ее из прямой линии в параболу.
Рассмотрим теперь движение электрона в магнитном поле.

Движущийся электрон представляет собой элементарный электрический ток и испытывает со стороны магнитного поля такое же действие, как и проводник с током. Из электротехники известно, что на прямолинейный проводник с током, находящийся в магнитном поле, действует механическая сила под прямым углом к магнитным силовым линиям и к проводнику. Ее направление изменяется на обратное, если изменить направление тока или направление магнитного поля. Эта сила пропорциональна напряженности поля, величине тока и длине проводника, а также зависит от угла между проводником и направлением поля.

Она будет наибольшей, если проводник расположен перпендикулярно силовым линиям; если же проводник расположен вдоль линий поля, то сила равна нулю.

Рис.2 — Движение электрона в поперечном магнитном поле.

Если электрон в магнитном поле неподвижен или движется вдоль силовых линий, то на него магнитное поле вообще не действует. На рис.2 показано, что происходит с электроном, который влетает в равномерное магнитное поле, созданное между полюсами магнита, с начальной скоростью Vo перпендикулярно к направлению поля. При отсутствии поля электрон двигался бы по инерции прямолинейно .и равномерно (штриховая линия); при наличии поля на него будет действовать сила F, направленная под прямым углом к магнитному полю и к скорости v0. Под действием этой силы электрон искривляет свей путь и двигается по дуге окружности. Его линейная скорость Vo и энергия при этом остаются неизменными, так как сила F все время действует перпендикулярно к скорости Vo. Таким образом, магнитное поле в отличие от электрического поля не изменяет энергию электрона, а лишь закручивает его.

• Главная
• Электронные и ионные приборы