Как движутся частицы в электрическом поле
Если частица находится в произвольном электромагнитном поле, то на неё со стороны поля действует сила Лоренца:
F → = q E → + q [ v → , B → ] ,
где q – заряд частицы, E → и B → – напряжённость электрического и индукция магнитного поля, а v → – скорость движения частицы в данной системе отсчёта. Рассмотрим задачу о движении частицы в стационарном поле, силовые характеристики которого от времени не зависят. Если при этом вектор индукции магнитного поля B → направлен по одной из координатных осей (например, по оси Oz), то магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна этой оси. Если при этом вектор E → и начальная скорость частицы перпендикулярны вектору B → , то тогда движение частицы является плоским и происходит в плоскости хОу, перпендикулярной вектору индукции B → .
Пусть вектор напряжённости электрического поля E → направлен вдоль оси Оу, тогда проекции силы на координатные оси равны
F x = q v y B F y = q
После задания проекций силы как функций проекций скорости решается система уравнений Ньютона методом Эйлера для каждой проекции. Компоненты вектора ускорения ах и ау вычисляются по известным проекциям силы, причём на каждом шаге в эти формулы подставляются новые значения проекций скорости движущейся частицы.
При нулевой начальной скорости частицы её движение будет происходить по циклоиде, при отличной от нуля начальной скорости – по трохоиде. Кадр из данного компьютерного эксперимента приведён на рисунке. Программа данного компьютерного эксперимента на языке Delphi дана в приложении.
Если частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям, то выражения для проекций силы примут вид:
F x = q v y B F y = − q v x B ,
а величина силы Лоренца равна F = q v B , причём сила перпендикулярна направлению скорости частицы. Эта сила сообщает частице нормальное ускорение, тогда 2-й закон Ньютона примет вид:
Отсюда следует, что частица в магнитном поле будет двигаться по окружности, причём радиус окружности равен R = m v q B , а время одного оборота равно
T = 2 π R v = 2 π m q B .
Таким образом, период обращения частицы по окружности не зависит от её скорости, а зависит лишь от удельного заряда частицы.
На этом основан принцип действия циклотрона – устройства для ускорения заряженных частиц. Циклотрон представляет собой вакуумную цилиндрическую камеру, помещённую в магнитное поле, силовые линии которого параллельны оси цилиндра. Каждая частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Магнитное поле не ускоряет частицу, а лишь искривляет траекторию её движения вследствие того, что сила Лоренца, будучи перпендикулярна скорости, не совершает работы и не изменяет кинетической энергии частицы. Частицы движутся каждая по своей окружности, причём их радиусы различны из-за отличия их скоростей. Однако период их обращения одинаков. Спустя время Т частицы пролетают через ускоряющие электроды – дуанты, и в этот момент включается сильное электрическое поле, которое одновременно немного увеличивает скорость всех частиц. После однократного ускорения частицы движутся по окружности большего радиуса, однако с тем же периодом обращения, и через время Т они ускоряются ещё раз и т.д., пока радиус их траектории сравняется с радиусом камеры ускорителя, после чего специальное устройство выводит их на мишень.
.png)
Кадр из этого компьютерного эксперимента приведён на рисунке, а компьютерная программа на языке Visual Basic дана в приложении.
Как движутся частицы в электрическом поле
Если частица, обладающая зарядом е, движется в пространстве, где имеется электрическое поле с напряжённостью E то на неё действует сила eE. Если, кроме электрического, имеется магнитное поле, то на частицу действует ещё сила Лоренца, равная e[uB] , где u — скорость движения частицы относительно поля, B — магнитная индукция. Поэтому согласно второму закону Ньютона уравнение движения частиц имеет вид:
(1)
Написанное векторное уравнение распадается на три скалярных уравнения, каждое из которых описывает движение вдоль соответствующей координатной оси.
В дальнейшем мы будем интересоваться только некоторыми частными случаями движения. Предположим, что заряженные частицы, двигавшиеся первоначально вдоль оси Х со скоростью попадают в электрическое поле плоского конденсатора.
Если зазор между пластинами мал по сравнению с их длиной, то краевыми эффектами можно пренебречь и считать электрическое поле между пластинами однородным. Направляя ось Y параллельно полю, мы имеем: 
. Так как магнитного поля нет, то 
. В рассматриваемом случае на заряженные частицы действует только сила со стороны электрического поля, которая при выбранном направлении координатных осей целиком направлена по оси Y. Поэтому траектория движения частиц лежит в плоскости XY и уравнения движения принимают вид:
Движение частиц в этом случае происходит под действием постоянной силы и подобно движению горизонтально брошенного тела в поле тяжести. Поэтому ясно без дальнейших расчетов, что частицы будут двигаться по параболам.
Вычислим угол , на который отклонится пучок частиц после прохождения через конденсатор. Интегрируя первое из уравнений (3.2), находим:
Интеграция второго уравнения даёт:
Так как при t=0 (момент вступления частицы в конденсатор) u(y)=0, то c=0, и поэтому
Отсюда получаем для угла отклонения:
Мы видим, что отклонение пучка существенно зависит от величины удельного заряда частиц e/m.
5.1. Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле
Если частица с зарядом q движется в однородном электрическом поле с напряженностью E, то на нее действует сила, под действием которой скорость частицы может изменить как величину, так и направление. Величина этой силы
FE = qE, (5.1)
Уравнение движения частицы в этом случае можно записать, воспользовавшись вторым законом Ньютона (ma = F = FE):
. (5.2)
Пусть некоторая частица, заряд которой q и начальная скорость v = vo, попадает в электрическое поле плоского конденсатора в направлении «x», перпендикулярном вектору напряженности электрического поля E (рис. 5.1). Как только частица попадает в электрическое поле, на нее начинает действовать сила F в направлении перпендикулярном первоначальному направлению «x», в направлении «y». Под действием этой силы изменится направление и величина ее скорости. Покинув конденсатор, заряженная частица отклонится от своего первоначального направления движения на некоторый угол . Уравнения движения частицы в направлениях «x» и «y» в этом случае будут иметь вид
. (5.3)
Решая уравнения движения, можно определить уравнение траектории движения частицы, угол отклонения от первоначального направления, выяснить характер ее движения.
Например, так как , то
Следовательно, в направлении «x» частица движется равномерно (с постоянной скоростью).
Так как в направлении «y» справедливо уравнение
,
то в этом направлении она приобретает ускорение
. (5.5)
Величина отклонения от первоначального направления «y» при прохождении частицей некоторого расстояния в электрическом поле равна
, (5.6)
где .
Тангенс угла отклонения частицы от первоначального направления движения
, (5.7)
,
.
. (5.8)
Из выражений (5.6), (5.8) видно, что отклонение и угол отклонения зависят от отношения (величины удельного заряда). Зная удельный заряд частиц, можно судить о величине их отклонения при прохождении одного и того же расстояния в однородном электрическом поле с известным значением E. Движение заряженных частиц в однородных электрических полях подобно движению тел, брошенных с некоторой начальной горизонтальной скоростью в поле тяготения Земли.
5.2. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле
Известно, что при движении заряженной частицы в магнитном поле на нее действует сила Лоренца, которая пропорциональна величине заряда, скорости частицы индукции магнитного поля и синусу угла между направлениями векторов скорости v и индукции магнитного поля B:
или векторной форме
,
где — угол между векторами v и B.
Е
сли частица попадает в однородное магнитное поле и при этом ее скорость перпендикулярна направлению индукции магнитного поляB, то в этом случае сила Лоренца, являясь силой, перпендикулярной направлению скорости движения частицы, является центростремительной силой (рис. 5.2), под действием которой заряженная частица движется по окружности. Радиус R окружности можно определить из следующих соображений. Так как Fл = Fц, а 
,
, то
.
Откуда для радиуса окружности будем иметь
. (5.9)
Период обращения (время, за которое частица сделает один полный оборот), равен
. (5.10)
Для частоты обращения (числа оборотов, которые сделает частица за единицу времени) имеем
. (5.11)
Из соотношений (5.10), (5.11) видно, что T и не зависят от кинетической энергии частицы.
Если начальная скорость частицы v, влетающей в однородное магнитное поле, составляет некоторый угол с направлением поля (рис. 5.3), то заряженная частица будет двигаться по винтовой линии (цилиндрической спирали). Разложив v на составляющие (
, параллельную полю, и
, перпендикулярную к нему), можно сделать вывод, что действительно по направлению поля частица движется равномерно (т.к.
), а перпендикулярно ему — по окружности (
).
Шаг винтовой линии (спирали) можно определить по формуле
. (5.12)
Таким образом, характер движения заряженных частиц в магнитных полях зависит от индукции магнитного поля и удельного заряда частицы.
Каталог статей
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии:
2. Электрон движется в однородном электрическом поле с напряженностью 160 В/м вдоль силовых линий. Его начальная скорость равна 3,8 Мм/с. За какой промежуток времени скорость электрона уменьшится в 2,3 раза? Какое расстояние пройдет электрон за это время?
Электрон – отрицательно заряженная частица – движется вдоль силовых линий. Значит, это движение равнозамедленное. Причиной ускорения является сила действия электрического поля, которая равна F = Eq . Ускорение электрона находим из второго закона Ньютона:
3. Электрон, летевший горизонтально со скоростью 1,6 Мм/с, влетел в однородное электрическое поле напряженностью 90 В/см, направленное вертикально вверх. Чему будет равна скорость электрона через 1 нс? Какой угол составит вектор этой скорости к силовой линии поля?
На отрицательно заряженную частицу будет действовать со стороны поля сила, направленная вертикально вниз и равная F = Eq . Движение электрона будет с ускорением, направленным вертикально вниз и равным a = F / m . Так как начальная скорость частицы была горизонтальной, то траекторией движения будет кривая линия, причем по горизонтали движение равномерное, по вертикали – равноускоренное.