Какой физический смысл имеет эта величина

Физический смысл момента инерции

Когда тело продолжает двигаться при отсутствии на него воздействия каких-либо сил, говорят о проявлении инерции. Именно ею объясняются трудности удержаться на ногах при резком торможении автобуса или усидеть в седле велосипеда, когда под колеса резко выбегает кот. Кроме инерции, проявляющейся при движении тел по прямой, аналогичное явление бывает при вращении вокруг оси. В таком случае в физике говорят о моменте инерции – скалярной величине, измеряющей инертность тела при осевом вращении.

Момент инерции и его физический смысл

Обеспечить поступательное движение предмета при его толкании будет тем тяжелее, чем больше он весит. Аналогичные эксперименты предусматривались школьной программой и относились к прямо направленному действию.

Было понятно, что именно масса тела характеризует степень его инертности и является ее мерой.

При совершении предметом вращательных движений наблюдается иной вид зависимости. В данном случае мерой инертности выступает момент инерции.

Момент инерции – скалярная измеряемая характеристика инертности тела в момент совершения осевого вращения.

Задачи по определению величины момента инерции решаются с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера, смысл которой заключается в следующем:

МИ для тела, вращающегося вокруг какой-либо оси, равна сумме слагаемых единиц: момент инерции предмета, который вращается вокруг оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, а также произведения массы на расстояние между осями, возведенное в квадрат.

В приведенной формуле используются следующие обозначения: d – расстояние между осями, m – масса тела, Iz – момент инерции относительно рассматриваемой оси, а Ic – относительно оси, которая проходит через центр масс. В профильной литературе и учебниках буква I может заменяться J.

Формулировка способа количественного измерения момента инерции при осевом вращении предмета стала возможной в результате работы двух ученых-математиков: Гюйгенса и Штейнера. Теорема дает возможность быстрого решения задач на определение инерции предмета любой формы, для которого уже просчитана центробежная сила. Формула Штейнера позволяет вычислить момент инерции этого предмета относительно выбранной оси, проходящей параллельно прямой, следующей через центр фигуры.

Единицы измерения в системе СИ

Единицей измерения момента инерции, принятой в системе СИ, является кг, умноженный на метр в квадрате — кг·м². В еще одной системе измерения (СГС) единицей измерения является грамм на квадратный сантиметр — г·см².

Как рассчитать момент инерции, формула

Измерение значения момента инерции можно произвести теоретически, согласно формуле. Для этого условно движущийся предмет разбивается на мелкие составляющие, масса которых обозначается dm. В конечном итоге момент инерции (МИ) равняется сумме произведений всех образовавшихся масс на расстояние до оси, возведенное в квадрат.

Исходя из этой формулы, момент инерции, кроме массы тела, определяется положением оси, вокруг которой предмет вращается, а также его формой и габаритами.

Возможность рассчитать моменты инерции полезна, к примеру, при исследованиях свойств и структуры элементов Солнечной системы. Это так называемый безразмерный момент инерции. Высчитанная по формуле величина дает представление о распределении массы по глубине.

Виды моментов инерции

Кроме безразмерного момента инерции, в физике существуют понятия:

• центробежный МИ;
• главный МИ;
• геометрический МИ;
• МИ относительно плоскости;
• центральный МИ;
• тензор инерции;
• эллипсоид инерции.

Центробежными МИ относительно прямоугольных осей координат (декартовой системы) считаются Jxy, Jxz, Jyz. Ось ОХ является главной, когда центробежные моменты инерций Jxy и Jxz равняются нулям.

Любая точка тела может являться центром трех главных осей инерции. Они характеризуются взаимной перпендикулярностью. МИ относительно них считается главным для данного предмета. Главные оси, которые пролегают через центр масс, — являются главными центральными осями инерции предмета. МИ относительно них – главные центральные МИ. Для однородного тела ось симметрии всегда является главной центральной осью инерции.

Для геометрических МИ существуют формулы, основывающиеся на объеме относительно оси и площади относительно оси.

Твердое тело может иметь МИ относительно плоскости. Тогда это – скалярная величина, которая рассчитывается суммированием произведений массы каждой точки предмета и расстояния от нее до плоскости, возведенного в квадрат.

Понятие «Центрального МИ» связано с точкой О, МИ относительно полюса либо полярным МИ.

Момент инерции тела относительно оси вращения

МИ служит единицей измерения инерции тела, которое вращается вокруг оси, подобно тому, как масса является мерой при поступательном движении.

Определить МИ предметов касательно оси вращения позволяет формула Штейнера.

Пример:

Наглядное подтверждение применения формулы Штейнера – расчет МИ стержня, ось вращения которого проходит через конец.

Моменты инерции простейших объектов

Момент инерции некоторых однородных тел, имеющих простую форму, в зависимости от характеристик осей вращения можно определить по следующим формулам:

1. МИ точечного предмета либо полого цилиндра с тонкими стенками (с массой m и радиусом r) = mr 2
2. МИ диска или сплошного цилиндра = 1/2 mr 2
3. МИ цилиндра с толстыми стенками, у которого внешний радиус обозначен r₂, а внутренний – r₁, : В указанных случаях ось вращения является осью цилиндра.
4. МИ сплошного цилиндра с осью вращения, перпендикулярной образующей цилиндра, расположенной по центру масс:
5. МИ полого цилиндра с тонкими стенками и осью, перпендикулярной к цилиндру и проходящей через центр масс:
6. МИ прямого тонкого стержня с осью, перпендикулярной к нему и проходящей через центр масс:
7. МИ сферы с тонкими стенками и осью по центру = 2/3 mr 2
8. МИ шара с осью по центру = 2/5 mr 2
9. МИ равнобедренного треугольника с осью, перпендикулярной его плоскости и проходящей через вершину:

Примеры решения задач

Применение на практике приведенных формул происходит, например, для решения следующих задач.

Пример №1

Задано найти МИ однородного диска с известными массой и радиусом. Из дополнительных сведений: ось вращения – через центр диска.

Для решения диск разбивается на тонкие кольца, радиусы которых равняются от 0 до R. Взяв одно из них и обозначив его радиус буквой \(r\) , а массу – \(dm\) , формула для расчета МИ (согласно теореме Гюйгенса-Штейнера) выглядит следующим образом: \(dJ=dmr2.\)

С учетом подстановки в конечную формулу для определения МИ формулы для массы кольца получаем:

Пример № 2

Задано найти у того же диска МИ относительно оси, которая проходит через середину радиуса.

Из предшествующего задания используем найденную величину МИ относительно оси, которая проходит через центр масс. Используя формулу Штейнера, решаем задачу.

Если решать аналогичные задачи нет желания или времени, а контрольную работу нужно сдать в срок, на помощь придут сотрудники Феникс.Хелп.

Научный форум dxdy

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, понять физический смысл величины действия. К сожалению, в учебниках по общей физике о ней не говорят практически вообще.
Судя по размерности она есть произведение энергии на время. Т.е. если я нарисую график изменения энергии тела со временем, она будет площадью под этим графиком.
Или вот еще мое представление: если мы бьем, скажем, по мячу битой, передаем ему какую-то энергию, то посчитав сколько энергии мы передаем ему в каждое мгновение времени, когда его касаемся, мы найдем действие биты на мяч. Правильно ли я это понимаю? Если «да», то чем так принципиально отличается действие от импульса?
Можно ли использовать вместо законов Ньютона законы, использующие действие вместо силы?
Если действие есть величина, характеризующая взаимодействие тел, то можно, скажем, написать «действие силы трения», «действие силы тяжести» и т.п. Но об этом не говорится ни в одном учебнике
Или запись этих величин очень сложная?
Если взять какой-нибудь курс физики (напр. Савельева), то в общей физике вообще не говорится про действие, а в теоретической — пишут, что механику Ньютона можно переформулировать с помощью принципа наименьшего действия. Но как это можно сделать, если ни учебников, ни задачников для этой механики, где используется понятие действия, а не силы, не существует?
Помогите, пожалуйста, разобраться. Очень желательно без большого количества интегралов. Ведь можно же записать некие уравнения для величин, в которые входит действие. Оно же с чем-то связано.
Пока у меня полная каша в голове

Re: Физический смысл действия.
14.11.2018, 13:33
rust-15 в сообщении #1353910 писал(а):
Т.е. если я нарисую график изменения энергии тела со временем, она будет площадью под этим графиком.
Нет, это неправильно. Нельзя делать выводы на основании одной только размерности.
rust-15 в сообщении #1353910 писал(а):
Можно ли использовать вместо законов Ньютона законы, использующие действие вместо силы?

Фраза непонятная (и, скорее всего, подразумеваемое тоже неверно). Дальше так же по частям разбирать неинтересно: чувствуется, что Вы, действительно, совершенно не понимаете, о чём речь.

rust-15 в сообщении #1353910 писал(а):

Если взять какой-нибудь курс физики (напр. Савельева), то в общей физике вообще не говорится про действие

Во-первых, в курсе общей физики и не место о действии говорить. У этого курса другие цели. Во-вторых, Савельева смотреть, особенно в таком контексте, я бы не советовал в принципе.

В общем, мораль такова: если есть желание как следует разобраться с действием, то нужно читать книги по теоретической механике типа Ландау, том 1. А вот это

rust-15 в сообщении #1353910 писал(а):
Очень желательно без большого количества интегралов.
уж извините, вообще несерьёзно.
Re: Физический смысл действия.
14.11.2018, 14:10
Eule_A , спасибо за ответ.
Eule_A в сообщении #1353939 писал(а):
rust-15 в сообщении #1353910 писал(а):
Т.е. если я нарисую график изменения энергии тела со временем, она будет площадью под этим графиком.
Нет, это неправильно. Нельзя делать выводы на основании одной только размерности.

Ну, если я не прав, подскажите, как правильно, пожалуйста.

Eule_A в сообщении #1353939 писал(а):
rust-15 в сообщении #1353910 писал(а):
Можно ли использовать вместо законов Ньютона законы, использующие действие вместо силы?

Фраза непонятная (и, скорее всего, подразумеваемое тоже неверно). Дальше так же по частям разбирать неинтересно: чувствуется, что Вы, действительно, совершенно не понимаете, о чём речь.

Именно об этом я и пишу. Если Вы понимаете, пожалуйста, объясните. Если не устраивает мое «понимание», то какое «понимание» верное?

Eule_A в сообщении #1353939 писал(а):
Во-первых, в курсе общей физики и не место о действии говорить. У этого курса другие цели.

Но появилась же эта величина именно в классической физике? Или я не прав? Значит как-то, кем-то она использовалась очень давно. И есть формулы и соотношения между действием и другими физическими величинами. А не только «принцип наименьшего действия», о котором только и пишут во всех книгах.

Eule_A в сообщении #1353939 писал(а):

В общем, мораль такова: если есть желание как следует разобраться с действием, то нужно читать книги по теоретической механике типа Ландау, том 1.

В механике Ландау тоже очень мало информации об этой физической величине. Говорится про то, что она должна быть минимальна при движении механической системы (параграф 2). Почему минимальна? Кто об этом сказал? Откуда это следует? Это эмпирический факт? Как эта величина связана с другими величинами? Все это остается загадкой. От того, что непонятен ее физический смысл.

Eule_A в сообщении #1353939 писал(а):
rust-15 в сообщении #1353910 писал(а):
Очень желательно без большого количества интегралов.
уж извините, вообще несерьёзно.

Почему же? Я не говорю, что совсем не понимаю дифференциальное и интегральное исчисление. Я просто прошу объяснить на простом уровне физический смысл величины. Мы очень часто пользуемся физическими законами, не используя интегральное исчисление. (к примеру, тем же законом Ома. Вы же не будете возражать, что он в школьных учебниках записан в интегральной форме). От этого пока никто не умирал. Кто-то наверное и величину действие знает и понимает на простом уровне. И объяснить сможет.

Re: Физический смысл действия.
14.11.2018, 14:17

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Munin 14.11.2018, 14:27, всего редактировалось 1 раз.

rust-15 в сообщении #1353910 писал(а):
Или вот еще мое представление: если мы бьем, скажем, по мячу битой. мы найдем действие биты на мяч.

Бытовые словосочетания типа «действие биты на мяч» не имеют никакого отношения к физической величине действие .
Физики, чтобы не путаться, в такой ситуации говорят что-то типа «воздействие биты на мяч». Слова » действие » избегают.

rust-15 в сообщении #1353910 писал(а):
Если действие есть величина, характеризующая взаимодействие тел
rust-15 в сообщении #1353910 писал(а):

Но как это можно сделать, если ни учебников, ни задачников для этой механики, где используется понятие действия, а не силы, не существует?

Существуют. Они называются учебниками по теоретической механике , или (более старое название) по аналитической механике .

Я знаю единственный случай изложения этой темы на уровне школы или «общей физики». Это
Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 6. Глава 19. Принцип наименьшего действия.
Эта глава (лекция) стоит особняком от основного текста, и может быть прочитана самостоятельно.

rust-15 в сообщении #1353960 писал(а):
Но появилась же эта величина именно в классической физике?

В классической. Хотя вряд вы понимаете смысл этого слова, если используете как аргумент.

rust-15 в сообщении #1353960 писал(а):

И есть формулы и соотношения между действием и другими физическими величинами. А не только «принцип наименьшего действия», о котором только и пишут во всех книгах.