Какие площади и какие напряжения называют главными

Главные площадки и главные напряжения. Виды напряженного состояния тела.

Р ассмотрим две взаимно-перпендикулярные площадки с касательными напряжениями и . Согласно закону парности касательных напряжений знаки и противоположны. Поэтому, если площадку с напряжением поворачивать до совпадения с площадкой с напряжением , то обязательно найдется такое положение площадки, когда .

Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными, а действующие по этим площадкам нормальные напряжения — главными напряжениями.

Главные напряжения обозначаются , причем . Элемент, выделенный главными площадками, изображен на рис.3.5. В зависимости от количества действующих главных напряжений различают три вида напряженных состояний: линейное, плоское и объемное.

Линейное напряженное состояние.

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис.3.6).

Примером линейного напряженного состояния может служить осевое растяжение-сжатие.

Рассмотрим задачу определения напряжений в площадке общего положения. Угол наклона этой площадки α будем отмерять от направления до нормали к площадке . Примем, что положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки, а отрицательный по ходу часовой стрелки. Направим ось х вдоль нормали , ось у – перпендикулярно ей

Для определения напряжений  _x и  _ху рассмотрим рис.3.7.

где — площадь наклонной площадки,

— площадь поперечного сечения,

— полное напряжение, действующее по наклонной площадке.

Учитывая, что , получим:

Раскладывая p_ на направление оси х и оси у, получим

Рассмотрим площадку  перпендикулярную площадке , угол

. Направим ось y по нормали к этой площадке. Нормальные напряжения, действующие по этой площадке равны

Складывая _х и _у , получим

_x + _y = ₁ = const,

т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам величина постоянная и равна главному напряжению.

Касательные напряжения, действующие по наклонной площадке 

т.е. справедлив закон парности касательных напряжений.

Нормальные напряжения _x по наклонной площадке  достигают максимального значения при  = 0, т.е. в поперечном сечении.

Касательные напряжения τ_xy по наклонной площадке  достигают максимального значения при  =  45 0 .

Плоское напряженное состояние

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю.

На рис.3.8 показано плоское напряженное состояние.

Прямая задача.

О пределим напряжения _x и _xy, действующие по любой наклонной площадке  по известным главным напряжениям и , т.е. решим так называемую прямую задачу теории напряженного состояния.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом независимости действия сил.

Представим плоское напряженное состояние в виде суммы двух независимых линейных напряженных состояний: первое – при действии только напряжений ₁, второе – при действии только напряжений ₂ (рис.3.9)

От каждого из напряжений ₁, ₂ напряжения _x1, _x2 и _xy1,_xy2 в произвольной площадке равны

Таким образом, суммируя напряжения, возникшие при каждом линейном напряженном состоянии, получим

Если рассмотреть площадку с углом наклона , перпендикулярную к площадке , то можно доказать как и для линейного напряженного состояния, что

Суммируя нормальные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным произвольным площадкам, получим

Сравнивая величины касательных напряжений, получим

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, наклоненным к главным под углом  = 45 о

Главные напряжения

Главными называют нормальные напряжения на площадках рассматриваемого элемента с нулевыми касательными напряжениями.

Для любого случая нагружения бруса всегда можно найти такое положение мысленно выделенного в нем элемента, на гранях которого касательные напряжения будут отсутствовать (т.е. τ=0)

Площадки (грани элемента) на которых касательные напряжения равны нулю называются главными.

Таким образом, главные напряжения – это нормальные напряжения на главных площадках.

Обозначение главных напряжений

Главные напряжения принято обозначать буквой σ с индексом 1, 2 и 3.

При этом наибольшее, с учетом знака, напряжение обозначается как σ₁ а наименьшее соответственно σ₃.

Другими словами, главное напряжение, расположенное на числовой оси правее других – σ₁, а то, которое левее всех σ₃.

Например, для случая объемного напряженного состояния:

При плоском напряженном состоянии:

1. Когда оба напряжения растягивающие
   
2. По одной грани напряжение растягивающее, по другой сжимающее
   
3. Оба напряжения сжимающие.
   

При линейном напряженном состоянии единственное напряжение всегда обозначается как σ₁ или просто σ.

4.3. Главные площадки. Главные напряжения

. (4.8)

Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. Главные напряжения являются экстремальными, т.е. одно главное напряжение имеет наибольшее, другое – наименьшее из возможных значений нормальных напряжений на множестве площадок, проходящих через исследуемую точку.

Определяются главные напряжения по формулам (4.5) и (4.6), где вместо угла  подставляется угол наклона главных площадок ₀.

Вместо формул (4.5) и (4.6) главные напряжения могут определяться по формуле

. (4.9)

Знаки в формуле (4.9) расставляются таким образом, чтобы удовлетворялись условия: если _x > _y, то _гл I >_гл II , и наоборот.

При изучении плоского напряженного состояния в точке обычно рассматриваются две задачи:

1. По известным напряжениям на главных площадках требуется определить нормальные и касательные напряжения на произвольных площадках. В этом случае для определения напряжений пользуются формулами (4.3), (4.5) и (4.6), в которых вместо _х и _у подставляются главные напряжения. Например, известны главные напряжения, действующие по граням элемента ₁ и ₂ (рис. 4.5). Требуется найти нормальные и касательные напряжения на двух наклонных площадках:

(4.10)

;

. (4.11)

2. По известным нормальным и касательным напряжениям на произвольных взаимно перпендикулярных площадках необходимо определить главные напряжения и положение главных площадок. Задача решается с помощью формул (4.8) и (4.9). Пример задачи дан на рис. 4.6. Полагаем, что в задачах _х  _у.

Наибольшие и наименьшие касательные напряжения действуют на площадках, расположенных под углом 45 к главным площадкам. Они вычисляются по формуле

(4.12)

Если по граням элемента действуют не главные, а нормальные и касательные напряжения, то экстремальные касательные напряжения определяются по формуле

(4.13)

На площадках с максимальным касательным напряжением нормальные напряжения определяются по формуле

. (4.14)

4.4. Объемное напряженное состояние

4.4.1. Определение максимальных касательных напряжений

При объемном напряженном состоянии по граням элементарного параллелепипеда действуют все три главных напряжения – ₁, ₂, ₃.

Рассмотрим вычисление максимальных касательных напряжений, возникающих на площадках, параллельных действию главных напряжений. Так как на площадке, параллельной главному напряжению₃ (рис. 4.7), нормальные и касательные напряжения целиком определяются величинами ₁ и ₂, максимальное касательное напряжение согласно формуле (4.12) будет равно

. (4.15)

На площадке, параллельной напряжению ₂,

. (4.16)

На площадке, параллельной главному напряжению ₁,

. (4.17)

Наибольшее касательное напряжение действует по площадке, перпендикулярной второй главной площадке, наклоненной к двум другим главным площадкам под углом 45, и равно

4.4.2. Деформации при объемном напряженном состоянии

Рассмотрим деформацию бесконечно малого элемента с размерами реберdx, dy, dz (рис. 4.8). По граням параллелепипеда действуют главные напряжения ₁, ₂, ₃. Вследствие деформации длины ребер элемента становятся равными dx + dx, dy + dy, dz + dz.

Величины называются относительными удлинениями в направлении главных напряжений, или главными линейными деформациями.

Зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае трехосного напряженного состояния выражается обобщенным законом Гука:

(4.18)

Из формул (4.18) легко можно получить закон Гука для плоского напряженного состояния как частного случая объемно-напряженного состояния.

Объемная деформация. При упругой деформации тела изменяется его объем. Относительное изменение объема определяется по формуле

(4.19)

Здесь V₀ – объем элемента до деформации, V₁ – объем элемента в деформированном состоянии. Выразив главные удлинения через главные напряжения при помощи формул (4.18), получим

. (4.20)

Главные напряжения и главные площадки

Главные площадки – это площадки, проходящие через исследуемую точку, на которых Касательные напряжения отсутствуют.

Главные напряжения – это возникающие на главных площадках нормальные напряжения

В общем случае нагружения (при объемном напряженном состоянии) среди множества площадок, проходящих через некоторую точку тела, всегда можно найти три взаимно перпендикулярные главные площадки . В окрестности любой точки деформированного твердого тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный в пространстве таким образом, что по его граням будут возникать только нормальные (главные) напряжения (см. рис. 6.2).

Главные напряжения обозначаются . Индексы расставляются после вычисления главных напряжений. Должно выполняться неравенство:

– наибольшее, а – наименьшее нормальное напряжение в исследуемой точке тела.

В частном случае нагружения может получиться так, что все три главных напряжения в исследуемой точке тела равны между собой. Тогда любая площадка, проведенная через эту точку, является главной площадкой .

По значениям главных напряжений дается оценка прочности материала в исследуемой точке деформированного твердого тела.

При плоском напряженном состоянии на грани элементарного параллелепипеда с нормалью х полностью отсутствует не только касательное, но и нормальное напряжение. Площадка тоже является главной площадкой , главное напряжение на которой равно нулю.

Пусть мы нашли для случая плоского напряженного состояния, что экстремальные напряжения в исследуемой точке тела равны МПа, а МПа. Индексы главных напряжений : МПа , МПа, МПа.

Если получилось МПа, а МПа, то тогда МПа , МПа , МПа .