Как рассчитать среднее значение мощности
Если ток и напряжение синусоидальны, то их мгновенные значения могут быть представлены в виде:
так что мгновенная мощность
Но с другой стороны, по известной формуле
Подставляя выражения и произведения синусов в формулу () получим:
Таким образом, мгновенная мощность переменного тока может быть представлена в виде суммы постоянной величины и синусоидальной величины изменяющейся с двойной (по сравнению с током и напряжением) частотой.
Средняя (за период) мощность P может быть определена по формуле
и так как среднее значение второго члена равно 0, то
Это основная формула средней мощности переменного тока. Так как вывод ее не связан с какими-либо особенностями рассматриваемой цепи, то она может быть применена к любой цепи синусоидального переменного тока или к любому участку такой цепи.
Найденное значение средней мощности отличается от выражения мощности постоянного тока наличием множителя , называемого коэффициентом мощности. Чем меньше коэффициент мощности, то есть чем больше сдвиг фаз между напряжением и током, тем меньше средняя мощность при тех же значениях тока и напряжения или тем больше ток при заданных значениях напряжения и мощности.
Низкий коэффициент мощности имеет следствием неполное использование оборудования электрической установки и уменьшение ее КПД. Если, например, генератор теплоэлектрической станции, работающей при напряжении 6000В, или 6кВ, рассчитан на наибольший ток 200А, то при =0,9 он может давать среднюю мощность
на которую будут рассчитаны и вращающая этот генератор паровая турбина и соответствующие паровые котлы. Но если окажется, что приемник, получающий энергию от этого генератора, имеет в действительности =0,45, т.е. вдвое меньше, то вдвое уменьшится и средняя мощность, которую можно получить от генератора, а следовательно, генератор, турбина и котлы будут использованы на половину своей мощности. Вместе с тем, так как тепловые потери в генераторе и соединительных проводах при неизменном токе также останутся неизменными, то в процентах от средней мощности они окажутся уже вдвое большими, т.е. КПД генератора и соединительных проводов заметно снизится. Отсюда понятна важность поддержания на достаточно высоком уровне.
Чтобы стимулировать работу при высоком , применяется дифференциальный тариф на электрическую энергию, при котором стоимость единицы энергии () зависит от среднего (за месяц), уменьшаясь по мере его увеличения. Низкий чаще всего бывает обусловлен недогрузкой электродвигателей; поэтому правильный выбор мощности электродвигателей является основным средством для получения высокого . На уже существующих установках недостаточно высокий может быть увеличен путем применения конденсаторов.
представляющей собой наибольшее значение активной мощности при заданных действующих значениях напряжения и тока. Хотя единицей кажущейся мощности является тот же ватт (или киловатт), который служит для измерения любой мощности, однако в применении кажущейся мощности ей дается измененное название вольт-ампер (или киловольт-ампер). Благодаря этому можно вместо кажущаяся мощность генератора можно говорить просто мощность генератора, не рискуя быть неправильно понятым. Так, в выражении «генератор мощностью 20 000 ква» имеется в виду кажущаяся мощность этого генератора.
Кажущаяся мощность связана с активной мощностью очевидным соотношением
позволяющим найти активную мощность генератора в определенных условиях нагрузки или подобрать необходимую кажущуюся мощность генератора, способного принять заданную нагрузку.
Пользуясь величинами P и S, можно представить выражение мгновенной мощности в более компактной форме:
представляет собой переменную составляющую мгновенной мощности. Последнее выражение показывает, что кажущаяся мощность является амплитудой этой переменной составляющей.
Если в цепи находится два или более последовательно соединенных приемника с разными , то есть с разными отношениями активной мощности к кажущейся, то кажущаяся мощность всей цепи (или равная ей необходимая кажущаяся мощность генератора) не может быть получена простым сложением кажущихся мощностей отдельных приемников. Действительно, кажущаяся мощность всей цепи
Где I-ток в любом из приемников, а U— общее напряжение в цепи, которое является, как уже известно, векторной, а не арифметической суммой напряжения отдельных приемников. Его абсолютная величина может быть определена по формуле:
Активная, реактивная и полная (кажущаяся) мощности
Другими словами активную мощность можно назвать: фактическая, настоящая, полезная, реальная мощность. В цепи постоянного тока мощность, питающая нагрузку постоянного тока, определяется как простое произведение напряжения на нагрузке и протекающего тока, то есть
потому что в цепи постоянного тока нет понятия фазового угла между током и напряжением. Другими словами, в цепи постоянного тока нет никакого коэффициента мощности.
Но при синусоидальных сигналах, то есть в цепях переменного тока, ситуация сложнее из-за наличия разности фаз между током и напряжением. Поэтому среднее значение мощности (активная мощность), которая в действительности питает нагрузку, определяется как:
В цепи переменного тока, если она чисто активная (резистивная), формула для мощности та же самая, что и для постоянного тока: P = U I.
Формулы для активной мощности
P = U I — в цепях постоянного тока
P = U I cosθ — в однофазных цепях переменного тока
P = √3 UL IL cosθ — в трёхфазных цепях переменного тока
P = √ (S 2 – Q 2 ) или
P =√ (ВА 2 – вар 2 ) или
Активная мощность = √ (Полная мощность 2 – Реактивная мощность 2 ) или
кВт = √ (кВА 2 – квар 2 )
Реактивная мощность (Q)
Также её мощно было бы назвать бесполезной или безваттной мощностью.
Мощность, которая постоянно перетекает туда и обратно между источником и нагрузкой, известна как реактивная (Q).
Реактивной называется мощность, которая потребляется и затем возвращается нагрузкой из-за её реактивных свойств. Единицей измерения активной мощности является ватт, 1 Вт = 1 В х 1 А. Энергия реактивной мощности сначала накапливается, а затем высвобождается в виде магнитного поля или электрического поля в случае, соответственно, индуктивности или конденсатора.
Реактивная мощность определяется, как
и может быть положительной (+Ue) для индуктивной нагрузки и отрицательной (-Ue) для емкостной нагрузки.
Единицей измерения реактивной мощности является вольт-ампер реактивный (вар): 1 вар = 1 В х 1 А. Проще говоря, единица реактивной мощности определяет величину магнитного или электрического поля, произведённого 1 В х 1 А.
Формулы для реактивной мощности
Реактивная мощность = √ (Полная мощность 2 – Активная мощность 2 )
квар = √ (кВА 2 – кВт 2 )
Полная мощность (S)
Полная мощность – это произведение напряжения и тока при игнорировании фазового угла между ними. Вся мощность в сети переменного тока (рассеиваемая и поглощаемая/возвращаемая) является полной.
Комбинация реактивной и активной мощностей называется полной мощностью. Произведение действующего значения напряжения на действующее значение тока в цепи переменного тока называется полной мощностью.
Она является произведением значений напряжения и тока без учёта фазового угла. Единицей измерения полной мощности (S) является ВА, 1 ВА = 1 В х 1 А. Если цепь чисто активная, полная мощность равна активной мощности, а в индуктивной или ёмкостной схеме (при наличии реактивного сопротивления) полная мощность больше активной мощности.
Формула для полной мощности
Полная мощность = √ (Активная мощность 2 + Реактивная мощность 2 )
kUA = √(kW 2 + kUAR 2 )
Следует заметить, что:
- резистор потребляет активную мощность и отдаёт её в форме тепла и света.
- индуктивность потребляет реактивную мощность и отдаёт её в форме магнитного поля.
- конденсатор потребляет реактивную мощность и отдаёт её в форме электрического поля.
Все эти величины тригонометрически соотносятся друг с другом, как показано на рисунке:
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Среднее значение мощности , потребляемой анодной цепью усилителя PQ ср, учитывает фактический расход электроэнергии, затрачиваемой на питание усилителя и среднюю нагрузку устройств питания, определяющую их тепловой режим. [2]
Среднее значение мощности , рассеиваемой на анодах ламп Ра ср, дает представление о действительных условиях их нагрева в динамическом режиме и необходимо в основном для правильного расчета устройств принудительного охлаждения анодов ламп. [3]
Среднее значение мощности pc ( t) равно нулю. Поэтому энергия, передаваемая от источника к емкостному элементу в течение периода или интервала ( Л / 2я / со), равна нулю. Между источником и емкостным элементом происходит периодический обмен энергией. [5]
Среднее значение мощности Л за период Т ( а следовательно, и за любой промежуток времени t Т) будет равно разности средних значений членов / эфф f / эфф созф и / эфф. Но первый член есть постоянная величина, не зависящая от времени. [6]
Среднее значение мощности зависит от сдвига фаз. Наибольшего значения она достигает при сдвиге фаз, равном нулю, что имеет место при отсутствии в цепи самоиндукции. Если сдвиг фаз равен — к / 2, то среднее значение мощности оказывается равным нулю. Это получается вследствие того, что энергия, доставляемая источником за одну четверть периода, возвращается обратно в источник за другую четверть периода за счет электромагнитной энергии самоиндукции. Этот случай осуществляется только при условии равенства нулю омического сопротивления цепи, что практически никогда не выполняется. [7]
Среднее значение мощности Р показано горизонтальной штриховой линией. [9]
Среднее значение мощности за период называют активной мощностью. [10]
Среднее значение мощности , развиваемой мышцей человека, составляет около 20 Вт. При этом поперечнополосатая мыш — ца — это двигатель одностороннего ( нереверсивного) действия, ФТ. [12]
Средние значения мощности электродвигателя при работе машины непосредственно измеряют с помощью ваттметров; для измерения текущих ( мгновенных) значений мощности электродвигателя используют вибраторы ( шлейфы) мощности, которые соответствующим образом подключают к цепи питания электродвигателя. [13]
Средние значения мощности электродвигателя при работе машины непосредственно измеряют с помощью ваттметров; для измерения — текущих ( мгновенных) значений мощности электродвигателя используют вибраторы ( шлейфы) мощности, которые соответствующим образом подключают к цепи питания электродвигателя. [14]
Как рассчитать среднее значение мощности
Расчет среднего и среднеквадратичного значений тока и напряжения: формулы и калькулятор
Данный текст является расширенным и углубленным вариантом моей старой заметки на сайте we.easyelectronics.ru.
В рамках данной заметки рассмотрим способы вычисления среднего и среднеквадратичного значений тока и напряжения. При этом для простоты ограничимся формами сигнала, характерными для импульсных источников питания. Обращаю ваше внимание – все формулы, приводимые в заметке, даются без выводов, дабы не забивать головы читателей мутной и не особо нужной херней. С другой стороны, если кому-то интересно, откуда данные формулы взялись – можно скачать файл, в котором приведены все необходимые выводы с пояснениями.
Будучи в недавнем прошлом яростным разработчиком всевозможных импульсных источников питания (ИИП), интересовался всяким по данной теме (да и сейчас, бывает, трясу стариной). В частности, весьма важными мне всегда казались такие характеристики сигнала, как среднее и среднеквадратичное значение токов и напряжений в различных точках схемы, поскольку при расчетах ИИП данные параметры используются сплошь и рядом. Чтобы понять, где могут быть полезны данные характеристики, сначала определимся с тем, что мы под ними понимаем.
Естественно, существуют строгие «математические» определения как для среднего, так и для среднеквадратичного значений физических величин, периодически изменяющихся во времени по некоторому закону. Однако, больно уж они мутные и абстрактные, и, на мой взгляд, нужны только при выводе формул. Разработчику же гораздо важнее понимать физический смысл используемых в расчетах величин, поэтому приводимые ниже определения среднего и среднеквадратичного значений будут носить сугубо прикладной характер.
Среднее значение переменного тока или напряжения (во вражеских терминах AVG) – это просто их постоянная составляющая. Поэтому вполне очевидно, что среднее значение широко применяется при расчетах схем, выделяющих из переменного сигнала постоянный уровень. Простейший понижающий преобразователь (Step-Down) с LC-фильтром на выходе, RC-цепочка, призванная выделить постоянное напряжение из поступающего на вход ШИМ-сигнала – всё это примеры того, где без использования среднего значения физической величины ничего толком не посчитаешь.
Среднеквадратичное (действующее, эффективное) значение определяется немного сложнее. Как известно, любой переменный ток (напряжение), проходя через активную линейную нагрузку (например, резистор), выделяет на ней некоторое количество тепла. Но так поступает не только переменный сигнал – постоянный ток тоже будет греть резистор.
Так вот, среднеквадратичное значение переменного тока или напряжения (во вражеских терминах RMS) – это такой постоянный ток (напряжение), который за одинаковый промежуток времени нагреет один и тот же резистор точно так же, как и исходный переменный сигнал. Поэтому одно из важнейших применений среднеквадратичного значения – расчет потерь и соответствующего нагрева для различных элементов силовых цепей ИИП. Хочешь узнать статические потери на ключе флайбэка – будь добр посчитать среднеквадратичное значение тока первички. Надо узнать мощность токосчитывающего резистора – туда же. Даже потери (и приблизительный нагрев) в обмотках трансов и дросселей для хиленьких источников и невысоких частот преобразования в первом приближении можно посчитать при помощи среднеквадратичного значения тока, через эти обмотки протекающего.
В общем, среднее и среднеквадратичное значения используются довольно часто. Поэтому неплохо было бы уметь их рассчитывать для любого сигнала, который может нам встретиться в импульсном источнике питания. При этом лично я разделяю токи и напряжения в ИИП на две большие группы: сигналы с простой формой (элементарные) и сигналы со сложной формой (т.е. те, которые могут быть представлены в виде суммы нескольких элементарных). И поскольку принципы расчета среднего и среднеквадратичного значений для этих двух групп немного отличаются, предлагаю рассмотреть их по отдельности.
Сигналы простой формы
У сигналов простой формы вычислить среднее и среднеквадратичное значение довольно легко – для этого надо всего лишь взять соответствующую формулу и подставить в нее нужные значения. Чтобы постоянно не шариться по различным справочникам, я завел себе специальную табличку, в которую свел расчетные формулы для наиболее часто встречающихся элементарных сигналов:
(данные формулы, кстати, взяты не с потолка – их вывод при желании можно посмотреть в специальной заметке-пояснении).
Здесь хотелось бы заострить внимание на нескольких моментах. Во-первых, на приведенных выше рисунках рассматривается по два варианта каждого из простейших сигналов: «в общем виде» и «без смещения». При этом с точки зрения разработчика импульсных источников питания наиболее интересным обычно является именно второй вариант, поэтому для него и даны отдельные формулы (чтобы постоянно не подставлять С=0 в «общие» выражения). Во-вторых, пилообразное напряжение, вообще говоря, является сложным сигналом, поскольку может быть представлено в виде суммы двух простых (либо трапеций, либо треугольников). Однако, пила настолько часто встречается при расчетах ИИП, а выражения AVG и RMS для нее настолько лаконичны и красивы, что я в результате включил-таки ее в список сигналов, среднее и среднеквадратичное значение которых вычисляется тупо всего по одной формуле. Ну и в-третьих, вышеприведенная таблица, в принципе, могла бы состоять всего из одной трапеции, ибо из нее легко получить как прямоугольник, так и треугольник, поставляя соответствующие значения «H», «L» и «C». Однако практика показала, что постоянно этим заниматься весьма муторно, ибо мы рассчитываем источник, а не тренируем математические навыки. Поэтому в итоге я себе выписал готовые формулы AVG и RMS для прямоугольника и треугольника, что оказалось весьма и весьма удобным. Ну а в целом – как ни странно, представленные выше формулы для элементарных сигналов покрывают, наверное, 75-80% всех потребностей разработчика импульсных источников питания, что весьма немало. Однако, всё многообразие токов и напряжений в ИИП отнюдь не ограничивается вышеупомянутыми четырьмя (и даже тремя, если не учитывать пилу) формами. Поэтому рано или поздно любой разработчик импульсников сталкивается с необходимостью вычисления среднего и среднеквадратичного значения сложного сигнала (яркий пример – расчет пуш-пула).
Сигналы сложной формы
Как было сказано выше, сигналы сложной формы – это такие, которые могут быть представлены в виде суммы нескольких элементарных сигналов. Применительно к импульсным источникам питания в качестве последних выступают прямоугольник, треугольник или трапеция, и значительно реже – синус, косинус и прочая «плавная» херня. Отметим, что в данном случае, в отличие от простейших форм, нахождение аналитических выражений для среднего и среднеквадратичного значений обычно превращается в неблагодарное занятие. Например, для вывода «среднеквадратичной» формулы нам надо разбить сложный сигнал на несколько простейших, а затем извлечь квадратный корень из суммы квадратов «элементарных» среднеквадратичных значений (думаю, даже понять, о чем говорится в данном предложении, у вас получится далеко не сразу). Найти среднее значение сложного сигнала немного проще (надо просто просуммировать средние «элементарные» значения), однако поверьте – сделать из этого удобоваримую формулу в подавляющем большинстве случаев не удается:
К счастью, готовая формула для нахождения AVG и RMS сложного сигнала обычно не требуется. Чаще всего нам надо просто узнать среднее или среднеквадратичное значение тока (напряжения) именно для нашего конкретного случая, а не вывести аналитическое выражение на все случаи жизни. А это существенно упрощает задачу, ибо посчитать числовое значение AVG или RMS для каждого элементарного сигнала на соответствующем временно́м интервале не так уж и сложно. В качестве примера можно рассмотреть нахождение среднего и среднеквадратичного значения напряжения, характерного для пушпульной, полумостовой и полномостовой схем (данный расчет есть и в специальной заметке-пояснении):
Как следует из предпоследнего рисунка, для начала нам надо разбить исходный сигнал на элементарные. Очевидно, что это будут три трапеции и один прямоугольник:
Дальше нам надо посчитать среднее и среднеквадратичное значение каждого из четырех элементарных сигналов, для чего воспользуемся формулами из вышеприведенной таблицы. Начнем с первого из них — трапеции №1. Как видно из последнего рисунка, это трапеция без смещения с параметрами
Поэтому в соответствии с формулами для трапеции, приведенными выше, будем иметь:
Сигнал №2 – это тоже трапеция без смещения. Параметры данной трапеции будут таковы:
Поэтому среднее и среднеквадратичное значение второго сигнала составят соответственно
Трапеция №3 полностью совпадает с трапецией №1, просто она сдвинута вправо на полпериода. Поэтому как параметры третьего сигнала, так и его среднее и среднеквадратичное значения будут равны соответствующим значениям первого сигнала:
Ну и остался сигнал №4. Данный сигнал представляет собой прямоугольник с параметрами
И после использования формул для вычисления среднего и среднеквадратичного значения сигнала №4, получим следующее:
Теперь у нас есть все данные для нахождения AVG и RMS исходного сигнала. Как было сказано выше, среднее значение находится как сумма средних значений элементарных сигналов, на которые был разложен «исходник», а среднеквадратичное – как квадратный корень из суммы квадратов «элементарных» среднеквадратичных значений. То есть в нашем случае будем иметь
Для проверки полученного результата используем широко распространенное бесплатное ПО LTSpice IV от компании Linear Technology Corporation (LTC). Сгенерировав сигнал с требуемыми параметрами, измерим в эмуляторе среднее и среднеквадратичное его значение за 5 периодов:
Как видим, результаты работы эмулятора полностью совпадают с расчетными AVG и RMS, т.е. предложенный способ вычисления среднего и среднеквадратичного значений для сложного сигнала вполне имеет право на жизнь. Более того, способ этот довольно прост и не требует от разработчика ИИП никаких особых математических навыков. С другой стороны, муторность рассмотренного алгоритма также налицо. Лично меня дичайше бесит постоянно считать на калькуляторе и выписывать на бумажку средние и среднеквадратичные значения для всех элементарных сигналов, на которые раскладывается исходный, а пото́м складывать их на том же калькуляторе (и это в лучшем случае, ибо если требуется RMS, всё становится еще волшебнее). Поэтому я принял решение сделать себе некий инструмент, упрощающий жизнь разработчика ИИП, которым и хотел бы поделиться с читателями.
Данный инструмент – это такая специальная «программа» (cko4aTb бесплатно). «Программа» представляет собой обычный экселовский файл (т.к. программист я тот еще), поэтому для работы нам потребуется «Excel» (у меня вот такой: Microsoft® Excel 2002 (10.4302.2625)). Изначальная и основная задача рассматриваемой «программы» – отрисовка формы трапецеидального сигнала с заданными параметрами (рисуется один период), а также вычисление среднего и среднеквадратичного значений для этого сигнала. Также «программа» умеет рисовать переменную составляющую заданной трапеции (она получается если из исходного сигнала вычесть постоянную составляющую) и вычислять ее RMS-значение (это уж так, чисто на всякий случай). Ну и еще предлагаемый софт позволяет быстро посчитать среднее и среднеквадратичное значения для сложного сигнала, состоящего максимум из 16-ти различных элементарных (большее количество в реальной жизни вряд ли потребуется):
Почему в качестве основы взята именно трапеция? Потому что, как было сказано выше, из нее легко получить все основные формы сигналов, встречающихся в импульсных источниках питания, а именно – прямоугольник и треугольник:
Ну а уж на основе этих базовых сигналов можно сляпать и пилу, и напряжение на стоке ключа во флайбэке, и то, что творится на вторичке пушпула и многое другое.
Пользоваться «программой» очень просто. Исходные данные для трапеции вводятся слева в ячейки, выделенные зеленым цветом. После этого чуть ниже можно посмотреть на форму сигнала с введенными параметрами, а еще ниже отобразятся рассчитанные среднее и среднеквадратичное значения этого сигнала. За переменную составляющую трапеции отвечает правый нижний угол экрана (здесь рисуется ее график и рассчитывается значение RMS). Ну а для работы со сложным сигналом предназначен правый верхний угол. Здесь в ячейки, выделенные зеленым цветом, вводятся средние и среднеквадратичные значения элементарных сигналов, из которых состоит «исходник», а ниже рассчитываются уже́ его собственные AVG и RMS.
Отмечу, что на всю «программу» наложена магическая защита, позволяющая редактировать только те ячейки, которые можно. При необходимости защита снимается элементарно («Сервис» => «Защита» => «Снять защиту листа»), однако делать это не рекомендую: можно по дури снести какую-нибудь нужную формулу, восстанавливать которую – лишний геморрой.
Вот, в принципе, и всё описание представленной «программы». Несмотря на свою простоту и очевидность, данный софт довольно существенно помогает и экономит время при расчетах ИИП (ну, во всяком случае, у меня происходит именно так). Например, на расчет среднего и среднеквадратичного значения сложного сигнала, приведенного в предыдущем пункте, понадобится менее минуты. Последовательность действий проста – вводим параметры первой трапеции, затем переписываем рассчитанные для нее значения AVG и RMS в ячейки секции сложного сигнала. Затем то же самое проделываем для остальных трех элементарных функций, из которых состоит «исходник». Всё, остальное «программа» сделает сама, не надо никаких шаманств с бумажками и калькуляторами:
Ну а у меня на сегодня всё. Желаю удачи при проектировании и изготовлении импульсных (и не только) источников питания!
Обсудить эту заметку можно здесь
Ссылки по теме, документация
Заметка-пояснение с выводом формул и примером расчета среднего и среднеквадратичного значений сложного сигнала:
Калькулятор для упрощения вычислений среднего и среднеквадратичного значений простых и сложных сигналов:
Место для разного (сдается)
Создание, «дизайн», содержание «сайта»: podkassetnik
Для писем и газет: Почта России электрическая
Место для © (копирайта, понятно, нет, но ссылайтесь хотя бы на первоисточник)
Since 2013 и до наших дней