Что такое огибающая в математике

Огибающая

семейства линий на плоскости (поверхностей в пространстве), линия (поверхность), которая в каждой своей точке касается одной линии (поверхности) семейства, геометрически отличной от О. в сколь угодно малой окрестности точки касания (см. Семейство линий, Семейство поверхностей). Уравнение О. семейства линий на плоскости, определяемого уравнением f (х, у, С) = 0, содержащим параметр С, можно получить [в предположении, что f (х, у, С) имеет непрерывные частные производные 1-го порядка по всем трём аргументам], исключив параметр С из системы:

f (x, у, С) = 0, f ‘_c (х, у, С) = 0.

Это исключение, вообще говоря, даёт не только О., но и геометрическое место особых точек линий семейства, т. е. точки, для которых одновременно f ‘_x = 0, f ‘_y = 0.

Примеры (на плоскости): а) семейство окружностей радиуса R, центры которых лежат на одной прямой, имеет в качестве О. пару прямых, параллельных линии центров и отстоящих от неё в ту и другую сторону на расстояние R (см. рис. 1); б) всякая кривая служит О. для семейства своих касательных и семейства своих кругов кривизны; в) если в каждой точке кривой построить к ней нормаль, то для полученного семейства прямых О. будет эволюта (см. Эволюта и эвольвента) данной кривой (на рис. 2 изображена эволюта эллипса).

В пространстве для семейств поверхностей могут существовать О., касающиеся поверхностей семейства в точках или же вдоль некоторых линий. Примеры: а) семейство сфер радиуса R с центрами, расположенными на одной прямой, имеет своей О. круглый цилиндр радиуса R, ось которого есть линия центров (касание цилиндра с каждой сферой — по окружности); б) семейство сфер радиуса R, центры которых лежат в одной плоскости, имеет О. пару плоскостей, параллельных плоскости центров и отстоящих от неё в ту и другую сторону на расстояние R (касание плоскостей каждой сферой — точке).

Понятие О. имеет значение не только в геометрии, но и в некоторых вопросах математического анализа (особые решения в теории дифференциальных уравнений), теоретической физики (в оптике — каустика, фронт волны).

Лит.: Толстов Г. П., К отысканию огибающей семейства плоских кривых, «Успехи математических наук», 1952, т. 7, в. 4; Ла Валле-Пуссен Ш.-Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 2, Л. — М., 1933; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Рис. 1 к ст. Огибающая.
Рис. 2 к ст. Огибающая.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ЛИНИЙ

Однопараметрическое семейство линий имеет огибающую линию так же, как движущаяся кривая оставляет след в виде огибающей линии. В докладе обсуждаются случаи, когда семейство линий имеет огибающую линию и даётся ответ на вопрос, что означает полное или частичное отсутствие огибающей линии для однопараметрического семейства линий.

Ключевые слова: дискриминантная кривая; огибающая линия; однопараметрическое множество; мнимая кривая.

Введение

Понятие огибающей линии присутствует в инженерной терминологии и практике. Часто огибающая линия ассоциируется со следом движущейся кривой линии, но это не совсем корректно. Понятие огибающей линии связано с понятием однопараметрического семейства линий. Мы затронули эту тему в той связи, что в конструкциях огибающих линий могут появляться мнимые составляющие кривых образующего семейства. Мнимые составляющие и отвечают на вопрос, почему семейство линий, которое, казалось бы, не должно иметь огибающей, её имеет, и объясняют случаи, когда огибающая частью или полностью становится невидимой.

1. Однопараметрическое семейство линий отличается тем, что каждой линии семейства ставится в соответствие определённое число , называемое параметром. Уравнение семейства линий имеет вид
   f(x, y, C) = 0. (1)
   Каждому отдельному значению параметра соответствует отдельная кривая семейства.
2. Огибающая линия в каждой своей точке касается одной линии семейства.
3. Дискриминантная кривая включает в себя огибающую линию. Дискриминантная кривая есть ГМТ, удовлетворяющих системе уравнений
   < f(x, y, C) = 0, f'_C (x, y, C)> (2)
   при всевозможных значениях C. Уравнение дискриминантной кривой получается исключением параметра C из системы уравнений (2).

Из определения дискриминантной кривой следует, что она необязательно является только огибающей линией, она может показывать линию, которая не является огибающей, и иногда вовсе не показывать линии. Последнее утверждение рассмотрим подробнее на ряде примеров.

Дискриминантная кривая

Пример 1.
Уравнение (x — C) 2 + y 2 = 1 определяет семейство окружностей радиуса r = 1 с центрами на оси x. Семейство имеет огибающую линию в виде двух прямых, параллельных оси x с уравнением y = ±1. Этот очевидный факт подтвердим аналитически:

Пример 2.
Уравнение (x — C) 2 — y 2 = 1 определяет семейство равнобочных гипербол с центрами на оси x и мнимой осью, направленной по оси y, соответственно, параллельно ей, рис.1.

Исключение параметра C из системы уравнений даёт результат, но не предоставляет реального образа огибающей линии. Огибающая линия данного семейства гипербол состоит из двух мнимых прямых y = ±i, параллельных оси x. Эти прямые огибают семейство мнимых окружностей, каждая из которых сопровождает соответствующую гиперболу семейства. На комплексной плоскости предстаёт картина по примеру 1.

Пример 3.
Уравнение (y — 2C) 2 = (x — C) 3 определяет семейство полукубических парабол. Параболы семейства смещаются от начала координат в направлении 2:1 к оси x. Семейство парабол имеет дискриминантную кривую, в состав которой входит линия точек возврата.

< f: (y - 2C) 2 = (x - C) 3 , f'_C: 4( — 2 C + y) = 3( — C + x) 2 > ⇒
(2x — y) (54x — 27y — 32) = 0, или, (y = 2x) (y = 2x — 32/27).

Уравнение огибающей семейства гипербол y = 2x — 1.185. Если полукубическая парабола просто смещается вдоль оси , то такое семейство парабол огибающей линии не имеет, а имеет только прямую, состоящую из точек возврата, совпадающую с осью x.

Пусть дана гипербола x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 1. Однопараметрическое семейство гипербол образуется от вращения гиперболы вокруг её центра. Формулы поворота имеют вид: x = x cosφ + y sinφ, y = — x sinφ + y cosφ, где φ =0, 360°. Параметром семейства гипербол принимаем C = tgφ. Формулы поворота запишутся:

x = x/sqrt(1 + C 2 ) + Cy/sqrt(1 + C 2 ), y = — Cx/sqrt(1 + C 2 ) + y/sqrt(1 + C 2 ) .

Уравнение семейства гипербол f и первая производная по параметру примут следующую запись:

f: b 2 (x – Cy) 2 – a 2 ( — Cx + y) 2 – a 2 b 2 (1 + C 2 ) = 0,

f’_C: 2b 2 y(x — Cy) + 2a 2 x( — Cx + y) — 2a 2 b 2 C = 0.

Исключение параметра C из системы данных уравнений даёт уравнение дискриминантной кривой, (x 2 + y 2 )2 + 3x 2 + 3y 2 — 4 = 0, которое распадается на два сомножителя: (x 2 + y 2 = a 2 ) (x 2 + y 2 = — b 2 ).

Полученные уравнения определяют две окружности – действительную с радиусом a и мнимую с радиусом bi. Действительная окружность заметается действительной осью гиперболы, мнимая – мнимой осью гиперболы. Если семейство гипербол f рассматривать на комплексной плоскости на чертеже совмещённых эпюров, то обе окружности будут видимыми, рис. 2, они по понятным причинам изображены разным типом линий.

Пример 5.
Пусть дана гипербола x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 1, для которой параметры a и b связаны соотношением ab = k, где k есть некоторое постоянное число. Если величину a принять за параметр C семейства гипербол, то уравнение семейства гипербол получает запись:

f: k 2 x 2 — C 4 y 2 — k 2 C 2 = 0.

Исключение параметра C из системы уравнений C> даёт уравнение дискриминантной кривой, которое в данном случае есть уравнение огибающей линии названного семейства линий: 4x 2 y 2 + k 2 = 0. Уравнение раскладывается на два сомножителя (xy = ki/2) (xy = — ki/2 ). Уравнение представляет две мнимые гиперболы, одна в нечётных, вторая в чётных квадрантах координатных осей, рис.3. Результат ещё не объясняет, но уже указывает на присутствие у семейства огибающей линии.

Предложение.

Если однопараметрическое семейство линий имеет мнимую огибающую, то эта линия огибает мнимые дополнения кривых данного семейства линий.

Подстановка y → yi в исходном уравнении переводит данные гиперболы в эллипсы. Эти эллипсы дополняют гиперболы семейства и сами образуют семейство. Семейство эллипсов в свою очередь имеет огибающую, рис. 3b. Той же подстановкой y → yi уравнение огибающей семейства гипербол переводится в уравнение огибающей семейства эллипсов: 4x 2 y 2 — k 2 = 0 ⇒ (xy = — k/2) (xy = k/2 ).

Пример 6.
Пусть дана некоторая окружность (R) с центром в начале координат. Центры окружностей однопараметрического семейства лежат на оси абсцисс на диаметре окружности (R). Диаметры окружностей семейства есть хорды данной окружности, параллельные оси ординат, рис.4. За параметр C окружностей семейства примем абсциссу центра. Тогда радиус окружности семейства будет r 2 = R 2 — C2. Уравнение семейства примет вид:

f: (x — C) 2 + y 2 = R 2 — C 2 .

Если из системы уравнений C>, исключить параметр C, то получится уравнение огибающей линии:

x 2 /2R 2 + y 2 /R 2 = 1.

Огибающая рассматриваемого однопараметрического семейства окружностей есть эллипс с соотношением осей 1 : sqrt(2). Одна ось эллипса равна диаметру исходной окружности, вторая ось равна диагонали квадрата, описанного около исходной окружности. Круги кривизны в вершинах эллипса (M, 2R) и (1, r). Радиусы окружностей семейства варьируют от R до 0. Наименьшая окружность семейства, ещё касающаяся эллипса – это круг кривизны в вершине большой оси эллипса, т.е. окружности, касающиеся эллипса, варьируют от R до r. Окружности с центрами на отрезках 1R₁ и 2R₂ огибающего эллипса не касаются.

Здесь мы внесём одно существенное уточнение в определение по п.2, а именно:
если предложение «в каждой своей точке огибающая касается одной линии семейства» верно, то обратное предложение «каждая линия однопараметрического семейства касается огибающей» верно не всегда, как это часто и бывает с обратными предложениями.

Найденный эллипс (R, sqrt(2) R) появляется в ещё одной интересной конструкции, он является огибающей линией пучка мнимых окружностей с узловыми точками M₁, M₂ и нулевыми точками R₁, R₂. Окружности семейства этого примера являются носителями пучка мнимых окружностей, рис.4, [6, 7].

Заключение

Анализ дискриминантной кривой показал, что не каждое однопараметрическое семейство линий имеет огибающую линию на действительной плоскости. Семейство линий может не иметь огибающей, огибающая может касаться не всех линий семейства и может быть мнимой, т.е. отсутствовать на реальной плоскости. Все эти случаи продемонстрированы на приведённых примерах и показаны на графиках.

Список литературы

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.
3. Glaeser, G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. Wien: SpringerSpektrum, 2014. 508 S.
4. Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями. // Геометрия и графика, Т.3, №2. DOI: 10. 127/12163.
5. Гирш А. Г. Мнимости в геометрии. // Геометрия и графика, Т.2, №2. DOI: 10. 12737/5583.
6. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО «ИПЦ «Маска»», 2008. – 213 с.
7. Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова: ООО «ИПЦ «Маска»», 2013. – 216 с.
8. http://www.anhirsch.de Антон Георгиевич Гирш (Dr. A.Hirsch) – Сайт.

Рисунки к докладу

а) Семейство гипербол в направлении не имеет огибающей линии. b) На совмещённых эпюрах каждая гипербола семейства сопровождается мнимой окружностью – семейство мнимых окружностей имеет огибающую линию, состоящую из двух параллельных прямых.

Огибающая

Огиба́ющая семейства линий на плоскости (поверхностей в пространстве), линия (поверхность), которая в каждой своей точке касается одной линии (поверхности) семейства. Уравнение огибающей семейства линий на плоскости, определяемого уравнением f ( x , y , C ) = 0 f(x,y,C)=0 f ( x , y , C ) = 0 , содержащим параметр С С С (каждой кривой семейства соответствует своё значение параметра), можно получить [в предположении, что f ( x , y , C ) f(x,y,C) f ( x , y , C ) имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем трём аргументам], исключив параметр С С С из системы

f ( x , y , C ) = 0 , f C ′ ( x , y , C ) = 0. f(x,y,C)=0, \quad f_C ‘ (x,y,C)=0. f ( x , y , C ) = 0 , f C ′ ​ ( x , y , C ) = 0. Это исключение, вообще говоря, даёт не только огибающая, но и множество особых точек линий семейства, т. е. точки, для которых одновременно f x ′ = 0 f’_x =0 f x ′ ​ = 0 , f y ′ = 0 f’_y =0 f y ′ ​ = 0 .

Примеры: а) семейство окружностей одного и того же радиуса , центры которых лежат на одной прямой, имеет в качестве огибающей пару прямых, параллельных линии центров и

Рис. 1. Огибающие для семейства окружностей. Рис. 1. Огибающие для семейства окружностей.

находящихся от неё на расстоянии, равном радиусу окружностей (рис. 1); б) всякая кривая служит огибающей для семейства своих касательных и семейства своих кругов кривизны; в) если в каждой точке кривой построить нормаль к ней, то для полученного семейства прямых огибающей будет эволюта данной кривой (на рис. 2 изображена эволюта эллипса).

Рис. 2. Эво­лю­та эл­лип­са. Рис. 2. Эво­лю­та эл­лип­са. В пространстве для семейства поверхностей могут существовать огибающие, касающиеся поверхностей семейства в точках или же вдоль некоторых линий.

Примеры: а) семейство сфер радиуса R R R с центрами, расположенными на одной прямой, имеет своей огибающей круглый цилиндр радиуса R R R , ось которого есть линия центров (касание цилиндра с каждой сферой – по окружности); б) семейство сфер радиуса R R R , центры которых лежат в одной плоскости, имеет в качестве огибающей пару плоскостей, параллельных плоскости центров и находящихся от плоскости центров на расстоянии R R R (касание плоскостей с каждой сферой – в точке).

Понятие огибающей используется не только в геометрии , но и в некоторых вопросах математического анализа (особые решения в теории дифференциальных уравнений ), физики (в оптике – фронт волны ). Термин «огибающая» стал общепринятым после лекций Г. Монжа (1795–1806).

Редакция математических наук

Опубликовано 1 сентября 2022 г. в 15:04 (GMT+3). Последнее обновление 1 сентября 2022 г. в 15:04 (GMT+3). Связаться с редакцией

Огибающая.

В книге на простых примерах, взятых из области механики и геометрии и доступных учащимся средней школы, разъясняется понятие огибающей, играющее важную роль в высшей математике. Эти примеры не требуют рассмотрения никаких других функций, кроме многочленов, благодаря чему разыскание огибающих производится весьма простыми приемами. Книга может быть использована в работе математических кружков.

Загрузить (Mb)
djvu (0.6)	pdf (-)	ps (-)	html (-)	tex (-)