§7. Поперечное увеличение
некоторыми общими свойствами. При рассмотрении этих свойств удобно называть рассматриваемые инструменты оптическими систе- мами (ОС). Пусть стрелка AB расположена перед (ОС) перпендикулярно её главной оптической оси. Пусть, далее, A 1 B 1 – изображение этой стрелки (рис. 7.1).
| B 1 | |
| B | OC |
A A 1 Рис. 7.1
Определение. Поперечным увеличением оптической системы называется отношение длины изображения предмета A 1 B 1 к длине AB самого предмета. Здесь важно запомнить, что предмет лежит в плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси системы. Будем обозначать такое увеличение буквой Г. Выведем формулы для поперечного увеличения тонкой линзы. Пусть расстояние от стрелки AB до линзы равно a , а расстояние от линзы до её изображения A 1 B 1 – b (рис. 7.2). Из подобия треугольников ABO и A ′ B ′ O ′ следует, что: © 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович 12
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы.
| Г = | A ′ B ′ | = | b | . | (7.1) |
| AB | |||||
| a | |||||
Для Г можно получить и другие выражения. Из подобия треугольников ABC и ODC получим:
| Г = | OD | = | OC | = | F | , | (7.2) | ||||||||||
| AB | AC | a − F | |||||||||||||||
| или | |||||||||||||||||
| A ′ B ′ | b − F | ||||||||||||||||
| Г = | = | . | (7.3) | ||||||||||||||
| OK | |||||||||||||||||
| F | |||||||||||||||||
| B | K | ||||||||||||||||
| O | A , | ||||||||||||||||
| A | C | ||||||||||||||||
| a | F | D | B , | ||||||||||||||
F b Рис. 7.2 Для собирающей линзы в таблице 1 приведены качественные характеристики изображения плоского предмета, зависящие от отношения расстояний a и F .
| Таблица 1. | |||
| Изображение уве- | |||
| Расстояние от | Изображение | Изображение дей- | |
| линзы до | прямое или | ствительное или | личенное или |
| предмета | перевёрнутое | мнимое | уменьшенное |
| a < F | прямое | мнимое | увеличенное |
| F < a < 2 F | перевёрнутое | действительное | увеличенное |
| a > 2 F | перевёрнутое | действительное | уменьшенное |
С помощью построения убедитесь в правильности данной таблицы.
§8. Примеры решения задач
Задача 8.1. Луч света, выходящий из воды ( n 1 = 4/3), падает на её поверхность под предельным углом полного отражения. Выйдет ли луч в © 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович 13
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы. воздух, если на поверхности воды налить слой кедрового масла( n 2 = 1,52)? Решение. Запишем условие прохождения луча света через воду, кедровое масло и (возможно) воздух. Согласно формуле (5.1) предыдущего за- дания, n 1 sin φ Кр.1 = n 2 sin φ 2 = sin90˚ = 1. Следовательно, луч света, проникший в плёнку из кедрового масла, будет падать на границу раздела масло-воздух под углом φ 2 (предельным углом для кедрового масла), а это значит, что он и в этом случае не выйдет в воздух.
| S . | S . |
| L 1 | L 1 |
| S 1 | |
| F | F |
| Рис. 8.1 | Рис. 8.2 |
Задача 8.2. Перед рассеивающей линзой L 1 с известным диаметром D находится точечный источник S , не лежащий на главной оптической оси этой линзы (рис. 8.1). Постройте изображение S 1 источника. Покажите штриховкой область, из которой наблюдатель может видеть изображение S 1 . Решение. Порядок построения изображения в рассеивающей линзе описан в §6 . Наблюдателю, который видит сквозь линзу изображение S 1 , будет казаться, что лучи, не преломляясь, идут от изображения S 1 . Штриховкой (рис. 8.2) отмечена искомая область. Из других мест изображение S 1 увидеть нельзя.
| S 1 | |
| S | |
| A | A 1 |
Рис. 8.3 Задача 8.3. Тонкая линза создаёт изображение S 1 точечного источника S (рис. 8.3). AA 1 – главная оптическая ось линзы. Восстановите положение © 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович 14
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы. линзы. Собирающая или рассеивающая эта линза? Решение. Проведём через точки S 1 и S прямую до пересечения с главной оптической осью. Эта прямая – побочная оптическая ось (см. §6). Следовательно, точка О пересечения оптических осей – оптический центр линзы. Плоскость линзы перпендикулярна главной оптической оси. Проведём из точки S луч (1) параллельно главной оптической оси. Преломившись в линзе, он должен пройти через её фокус. Кроме того, этот луч (или его продолжение) должен пройти через точку S 1 (изображение точки S ). Т. к. через S 1 проходит воображаемое продолжение луча, то изображение мнимое, прямое, увеличенное, а линза собирающая (см. таблицу 1).
S 1 
(1) 
A S 
Контрольные вопросы
1. Какое изображение (прямое или перевёрнутое, мнимое или действи-
тельное, уменьшенное или увеличенное) даст собирающая линза, если расстояние от линзы до предмета a = 1,5 F. 2. К какому типу линз (собирающих или рассеивающих) относится линза 2, изображённая на рис. 2.2. Задания? 3 . Перпендикулярно главной оси собирающей линзы расположена стрелка АВ (рис. 1). Какое из утверждений истинное:
B 0 A Рис. 1
а) мнимое изображение стрелки может быть как увеличенным, так и уменьшенным; б) мнимое изображение стрелки может быть как прямым, так и пере- вёрнутым; в) мнимое изображение стрелки может находиться как справа, так и слева от переднего фокуса; г) мнимое изображение стрелки может находиться как справа, так и слева от самой стрелки. © 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович 15
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Физика. Тонкие линзы. 4. Верно ли утверждение, что острый угол собирающая линза всегда отображает в острый угол? 5 . Отрезок АВ пересекает фокальную плоскость собирающей линзы . Верно ли, что его изображение будет состоять из двух лучей, лежащих на одной прямой? Ответ поясните.
| B | ||||
| F 1 | F 2 | F 1 | F 2 | |
| Рис. 2 | Рис. 3 |
6. Перед собирающей линзой находится точечный источник S (рис. 2). Покажите штриховкой область, из которой можно видеть изображение этого источника. 7. Перед собирающей линзой находится стрелка АВ (рис. 3). Покажите штриховкой область, из которой можно видеть изображение всей стрелки (стрелка перпендикулярна главной оптической оси и находится между линзой и её передним фокусом). S 1 S
Рис. 4 8. Тонкая линза создаёт изображение S 1 точечного источника S (рис. 4). АА 1 – главная оптическая ось линзы. Восстановите положение линзы. Собирающая или рассеивающая эта линза? 9. Тонкая линза создаёт изображение S 1 точечного источника S (рис. 5). АА 1 – главная оптическая ось линзы. Восстановите положение линзы. Собирающая или рассеивающая эта линза? © 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Слободянин Валерий Павлович 16
Поперечное увеличение
Увеличе́ние, опти́ческое увеличе́ние — отношение линейных или угловых размеров изображения и предмета.
Лине́йное увеличе́ние, попере́чное увеличе́ние — отношение длины сформированного оптической системой изображения отрезка, перпендикулярного оси оптической системы, к длине самого отрезка. При идентичных направлениях отрезка и его изображения говорят о положительном линейном увеличении, противоположные направления означают оборачивание изображения и отрицательное линейное увеличение.
Масшта́б изображе́ния, масштаб макросъёмки — абсолютная величина поперечного увеличения.
Продо́льное увеличе́ние — отношение длины достаточно малого отрезка, лежащего на оси оптической системы в пространстве изображений к длине сопряжённого с ним отрезка в пространстве предметов.
Углово́е увеличе́ние — отношение тангенса угла наклона луча, вышедшего из оптической системы в пространство изображений, к тангенсу угла наклона сопряжённого ему луча в пространстве предметов.
Ви́димое увеличе́ние — одна из важнейших характеристик оптических наблюдательных приборов (биноклей, зрительных труб, луп, микроскопов и т. д.). Численно равно отношению углового размера наблюдаемого через прибор оптического изображения предмета к угловому размеру этого же предмета, но при наблюдении невооружённым глазом.
Также применяется отдельно к окуляру как части наблюдательной оптической системы.
Также применяется к произвольным оптическим системам.
Что такое поперечное увеличение линзы
В параксиальной области (бесконечно близко к оптической оси), любая реальная система ведет себя как идеальная:
Каждой точке пространства предметов можно поставить в соответствие сопряженную ей точку в пространстве изображений.
Каждая прямая линия имеет сопряженную ей прямую линию в пространстве изображений.
Каждая плоскость пространства предметов имеет сопряженную ей плоскость в пространстве изображений.
Из этих положений следует, что:
Меридиональная плоскость имеет сопряженную ей меридиональную плоскость в пространстве изображений.
Плоскость в пространстве предметов, перпендикулярная оптической оси, имеет сопряженную ей плоскость, перпендикулярную оптической оси в пространстве изображений.
5.2.2. Линейное, угловое, продольное увеличение
Линейное (поперечное) увеличение
Линейное увеличение оптической системы – это отношение линейного размера изображения в направлении, перпендикулярном оптической оси, к соответствующему размеру предмета в направлении перпендикулярном оптической оси (рис.5.2.1):
Рис.5.2.1. Сопряженные линейные величины.
Если , то отрезки и направлены в одну сторону, если , то отрезки и направлены в разные стороны, то есть происходит оборачивание изображения.
Если , то величина изображения больше величины предмета, если , то величина изображения меньше величины предмета.
Для идеальной оптической системы линейное увеличение для любой величины предмета и изображения в одних и тех же плоскостях одно и то же.
Угловое увеличение
Угловое увеличение оптической системы – это отношение тангенса угла между лучом и оптической осью в пространстве изображений к тангенсу угла между сопряженным с ним лучом в пространстве предметов и осью (рис.5.2.2):
Рис.5.2.2. Сопряженные угловые величины.
В параксиальной области углы малы, и следовательно, угловое увеличение – это отношение любых из следующих угловых величин:
Продольное увеличение
Продольное увеличение оптической системы – это отношение бесконечно малого отрезка, взятого вдоль оптической оси в пространстве изображений, к сопряженному с ним отрезку в пространстве предметов (рис.5.2.3):
Рис.5.2.3. Сопряженные продольные отрезки.
5.2.3. Кардинальные точки и отрезки
Рассмотрим плоскости в пространстве предметов и сопряженные им плоскости в пространстве изображений. Найдем пару плоскостей, в которых линейное увеличение равно единице. В общем случае такая пара плоскостей существует, причем только одна (исключением являются афокальные или телескопические системы, для которых такие плоскости могут не существовать или их может быть бесконечное множество).
Главными плоскостями системы называется пара сопряженных плоскостей, в которых линейное увеличение равно единице ().
Главные точки и – это точки пересечения главных плоскостей с оптической осью.
Рассмотрим случай, когда линейное увеличение равно нулю, или бесконечности. Отодвинем плоскость предметов бесконечно далеко от оптической системы. Сопряженная ей плоскость называется задней фокальной плоскостью , а точка пересечения этой плоскости с оптической осью – задний фокус (рис.5.2.4).
Рис.5.2.4. Кардинальные точки и отрезки.
Расстояние от задней главной точки до заднего фокуса называется задним фокусным расстоянием .
Расстояние от последней поверхности до заднего фокуса называется задним фокальным отрезком .
Передний фокус – это точка на оптической оси в пространстве предметов, сопряженная с бесконечно удаленной точкой, расположенной на оптической оси в пространстве изображений
Если лучи выходят из переднего фокуса, то они идут в пространстве изображений параллельно.
Переднее фокусное расстояние – это расстояние от передней главной точки до переднего фокуса.
Передний фокальный отрезок – это расстояние от первой поверхности до переднего фокуса.
Если , то система называется собирающей или положительной . Если , то система рассеивающая или отрицательная .
Переднее и заднее фокусные расстояния не являются абсолютно независимыми, они связаны между собой соотношением:
Выражение (5.2.5) можно переписать в виде:
где – приведенное или эквивалентное фокусное расстояние .
В том случае, если оптическая система находится в однородной среде (например, в воздухе) , следовательно, переднее и заднее фокусные расстояния равны по абсолютной величине .
Оптическая сила оптической системы:
Чем больше оптическая сила, тем сильнее оптическая система изменяет ход лучей. Если то .
5.2.4. Построение изображений
Найдем изображение точки . Для этого необходимо построить хотя бы два вспомогательных луча, на пересечении которых и будет находиться точка (рис.5.2.5). Вспомогательный луч можно провести через точку параллельно оптической оси. Тогда в пространстве изображений луч пройдет через задний фокус оптической системы. Вспомогательный луч можно провести через точку и передний фокус оптической системы. Тогда в пространстве изображений луч пойдет параллельно оптической оси. На пересечении лучей и будет находиться изображение точки .
Рис.5.2.5. Построение изображения точки.
Построим теперь ход луча (рис.5.2.6).
1 способ. Можно построить вспомогательный луч, параллельный данному и проходящий через передний фокус (луч ). В пространстве изображений луч будет идти параллельно оптической оси. Так как лучи и параллельны в плоскости предметов, то в пространстве изображений они должны пересекаться в задней фокальной плоскости. Следовательно, луч пройдет через точку пересечения луча и задней фокальной плоскости.
2 способ. Можно построить вспомогательный луч, идущий параллельно оптической оси и проходящий через точку пересечения луча и передней фокальной плоскости (луч ). Соответствующий ему луч в пространстве изображений (луч ) будет проходить через задний фокус. Так как лучи и пересекаются в передней фокальной плоскости, в пространстве изображений они должны быть параллельными. Следовательно, луч пойдет параллельно лучу .
Рис.5.2.6. Построение хода луча.
Более подробно правила и примеры построения хода лучей в оптической системе рассматриваются в практическом занятии «Построение хода лучей в оптической системе» и в приложении «Построение изображения и хода лучей в тонких компонентах».
Линейное увеличение в линзах
Ещё одним параметром, характеризующий систему из линз и сферических зеркал, является линейное увеличение.
Линейным увеличением называется отношение высоты получившегося изображения к высоте предмета:
- где
- Г — линейное увеличение,
- — высота получившегося изображения,
- — высота исходного предмета.
Вопрос о поиске данного параметра может возникнуть и в задачах на построение , и в задачах на формулы тонкой линзы и сферического зеркала.
Пусть даны предмет, линза и изображение предмета в линзе (рис. 1).
Рис. 1. Линейное увеличение
При построении мы использовали луч от предмета (), который проходит через главный оптический центр линзы (при этом не преломляясь). При этом у нас получились два подобных треугольника (подобие по трём углам). Тогда, используя подобие, можем записать:
- где
- — расстояние от предмета до линзы,
- — расстояние от изображения до линзы.
Вывод: вопросы, связанные с линейным увеличением, решаются или через логику построения в системах (рис.1), или через соотношение (2) при наличии численных значений параметров линз.