Поток электрического поля в чем измеряется

Поток электрического поля в чем измеряется

Поток вектора напряженности электрического поля. Пусть небольшую площадку D S (рис.1.2) пересекают силовые линии электрического поля, направление которых составляет с нормалью n к этой площадке угол a . Полагая, что вектор напряженности Е не меняется в пределах площадки D S, определим поток вектора напряженности через площадку D S как

D F _E = E D S cos a . (1.3)

Поскольку густота силовых линий равна численному значению напряжённости E, то количество силовых линий, пересекающих площадку D S , будет численно равно значению потока D F _E через поверхность D S . Представим правую часть выражения (1.3) как скалярное произведение векторов E и D S = n D S , где n – единичный вектор нормали к поверхности D S . Для элементарной площадки dS выражение (1.3) принимает вид

d F _E = E dS

Через всю площадку S поток вектора напряженности вычисляется как интеграл по поверхности

Поток вектора электрической индукции. Поток вектора электрической индукции определяется аналогично потоку вектора напряженности электрического поля

d F _D = D dS

В определениях потоков заметна некоторая неоднозначность, связанная с тем, что для каждой поверхности можно задать две нормали противоположного направления. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя нормаль.

Теорема Гаусса. Рассмотрим точечный положительный электрический заряд q , находящийся внутри произвольной замкнутой поверхности S (рис. 1.3). Поток вектора индукции через элемент поверхности dS равен
(1.4)

Составляющую dS_D = d S cos a элемента поверхности dS в направлении вектора индукции D рассматриваем как элемент сферической поверхности радиуса r, в центре которой расположен заряд q .

Учитывая, что d S_D / r 2 равен элементарному телесному углу d w , под которым из точки нахождения заряда q виден элемент поверхности dS, преобразуем выражение (1.4) к виду d F _D = q d w / 4 p , откуда после интегрирования по всему окружающему заряд пространству, т. е. в пределах телесного угла от 0 до 4 p , получим

Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Если произвольная замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q (рис. 1.4), то, построив коническую поверхность с вершиной в точке нахождения заряда, разделим поверхность S на две части: S₁ и S₂. Поток вектора D через поверхность S найдем как алгебраическую сумму потоков через поверхности S₁ и S₂:

.

Обе поверхности из точки нахождения заряда q видны под одним телесным углом w . Поэтому потоки равны

.

Поскольку при вычислении потока через замкнутую поверхность используется внешняя нормаль к поверхности, легко видеть, что поток Ф_1D < 0, тогда как поток Ф_2D > 0. Суммарный поток Ф _D = 0. Это означает, что поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы не зависит от зарядов, расположенных вне этой поверхности.

Если электрическое поле создаётся системой точечных зарядов q ₁, q ₂, ¼ , q_n , которая охватывается замкнутой поверхностью S, то, в соответствии с принципом суперпозиции, поток вектора индукции через эту поверхность определяется как сумма потоков, создаваемых каждым из зарядов. Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:

(1.5)

Следует отметить, что заряды q_i не обязательно должны быть точечными, необходимое условие — заряженная область должна полностью охватываться поверхностью. Если в пространстве, ограниченном замкнутой поверхностью S, электрический заряд распределен непрерывно, то следует считать, что каждый элементарный объём dV имеет заряд . В этом случае в правой части выражения (1.5) алгебраическое суммирование зарядов заменяется интегрированием по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S:

(1.6)

Выражение (1.6) является наиболее общей формулировкой теоремы Гаусса: поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен суммарному заряду в объеме, охваченном этой поверхностью, и не зависит от зарядов, расположенных вне рассматриваемой поверхности. Теорему Гаусса можно записать и для потока вектора напряженности электрического поля :

_.

Из теоремы Гаусса следует важное свойство электрического поля: силовые линии начинаются или заканчиваются только на электрических зарядах или уходят в бесконечность. Еще раз подчеркнем, что, несмотря на то, что напряжённость электрического поля E и электрическая индукция D зависят от расположения в пространстве всех зарядов, потоки этих векторов через произвольную замкнутую поверхность S определяются только теми зарядами, которые расположены внутри поверхности S.

Дифференциальная форма теоремы Гаусса. Отметим, что интегральная форма теоремы Гаусса характеризует соотношения между источниками электрического поля (зарядами) и характеристиками электрического поля (напряженностью или индукцией) в объеме V произвольной, но достаточной для формирования интегральных соотношений, величины. Производя деление объема V на малые объемы V_i , получим выражение

справедливое как в целом, так и для каждого слагаемого. Преобразуем полученное выражение следующим образом:

(1.7)

и рассмотрим предел, к которому стремится выражение в правой части равенства, заключенное в фигурных скобках, при неограниченном делении объема V. В математике этот предел называют дивергенцией вектора (в данном случае вектора электрической индукции D):

Дивергенция вектора D в декартовых координатах:

Таким образом выражение (1.7) преобразуется к виду:

_.

Учитывая, что при неограниченном делении сумма в левой части последнего выражения переходит в объемный интеграл, получим

Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V . Это возможно лишь в том случае, если значения подынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковы. Следовательно, дивергенция вектора D связана с плотностью заряда в той же точке равенством

или для вектора напряженности электростатического поля

.

Эти равенства выражают теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Отметим, что в процессе перехода к дифференциальной форме теоремы Гаусса получается соотношение, которое имеет общий характер:

_.

Выражение называется формулой Гаусса — Остроградского и связывает интеграл по объему от дивергенции вектора с потоком этого вектора сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую объем.

1) В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме

2) В центре куба находится точечный заряд q . Чему равен поток вектора Е:

а) через полную поверхность куба; б) через одну из граней куба.

Изменятся ли ответы, если:

а) заряд находится не в центре куба, но внутри его; б) заряд находится вне куба.

3) Что такое линейная, поверхностная, объемная плотности заряда.

4) Укажите связь объемной и поверхностной плотности зарядов.

5) Может ли поле вне разноименно и однородно заряженных параллельных бесконечных плоскостей быть отличным от нуля

6) Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток сквозь эту поверхность

1.4. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля (Φ). Понятие потока вектора аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Фактически поток вектора пропорционален числу линий напряженности, пронизывающих элементарную площадкуΔS (рис. 1.6).

Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS:

,

где – проекция вектора на нормальк площадке;‑ единичный вектор, перпендикулярный площадке.

Рис. 1.6. К определению элементарного потока ΔΦ

Полный поток вектора напряженности сквозь поверхностьв общем случае равен:

,

где . (Выбор нормалиусловен, но в случае замкнутых поверхностейпринято брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль). Единица измерения потока ‑ В·м.

Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔS_i, определить элементарные потоки поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.7):

.

Рис. 1.7. Поток Ф через произвольную замкнутую поверхность S

Теорема Гаусса: поток вектора через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на, т. е.:

.

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов и полей, создаваемых заряженными телами различной формы, можно проводить с помощью принципа суперпозиции. Однако, во многих случаях эту задачу можно значительно упростить, используя теорему Гаусса.

Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом на расстоянииот него (рис. 1.8),

.

Рис. 1.8 Поток электрического поля точечного заряда

через произвольную поверхность S, окружающую заряд

Модуль напряженности поля диполя в точке, находящейся на расстоянии от диполя (‑ плечо диполя),

,

где ‑ электрический момент диполя,‑ угол между осью диполя и радиус-вектором, проведенным из центра диполя в данную точку.

Вращающий момент сил, действующих на диполь во внешнем электрическом поле,

; ,

где ‑ напряженность электрического поля;‑ угол между векторамии.

Сила, действующая на диполь во внешнем электрическом поле,

,

где производная берется по направлению вектора . Направление векторав общем случае не совпадает с направлением вектора, ни с направлением вектора. Направление вектора силы совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора, взятого в направлении.

Выражения для модулей напряженности электрических полей симметричных объектов имеют вид:

1. Напряженность поля равномерно заряженной сферической поверхности в точках, лежащих вне и внутри сферы на расстоянии от ее центра

; .

2. Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити или бесконечно длинной равномерно заряженной цилиндрической поверхности в точках, расположенных вне ее,

,

где ‑ расстояние точки от нити (оси цилиндра),‑ линейная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити или цилиндра:

.

Рис. 1.9. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра.

OO‘ – ось симметрии цилиндра

3. Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости (рис. 1.10)

,

где ‑ поверхностная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади заряженной поверхности:

.

Рис. 1.10 Поле равномерно заряженной плоскости

4. Напряженность поля двух бесконечных, параллельных плоскостей, равномерно заряженных с поверхностной плотностью заряда и(поле плоского конденсатора) в точках, расположенных между плоскостями и вне их, соответственно равны

, .

Напряженность электрического поля

Если потереть ручку о синтетический свитер — к ней начнут притягиваться кусочки бумаги, причем без прямого контакта. Все дело в электрическом поле, которое позволяет заряженным телам взаимодействовать на расстоянии. Этот материал о том, что такое напряженность электрического поля и каковы взгляды на нее в современной физике.

15 сентября 2021

· Обновлено 31 января 2024

Что такое электрическое поле

Долгое время ученые не могли толком объяснить, как именно заряженные тела взаимодействуют друг с другом, не соприкасаясь. Майкл Фарадей первым выяснил, что между ними есть некое промежуточное звено. Его выводы подтвердил Джеймс Максвелл, который установил, что для воздействия одного такого объекта на другой нужно время, а значит, они взаимодействуют через «посредника».

В современной физике электрическое поле — это некая материя, которая возникает вокруг заряженных тел и обусловливает их взаимодействие. Если речь идет о неподвижных объектах, поле называют электростатическим.

Тела, имеющие одноименные заряды, будут отталкиваться, а разноименные — притягиваться.

Открыть диалоговое окно с формой по клику

Определение напряженности электрического поля

Для исследования электрического поля используются точечные заряды. Давайте выясним, что это такое.

Точечным зарядом называют такой наэлектризованный объект, размерами которого можно пренебречь, поскольку он слишком мал в сравнении с расстоянием, отделяющим этот объект от других заряженных тел.

Теперь поговорим непосредственно о напряженности, которая является одной из главных характеристик электрического поля. Это векторная физическая величина. В отличие от скалярных она имеет не только значение, но и направление.

Для того, чтобы исследовать электрическую напряженность, нужно в поле заряженного тела q₁ поместить еще один точечный заряд q₂ (допустим, они оба будут положительными). Со стороны q₁ на q₂ будет действовать некая сила. Очевидно, что для расчетов нужно иметь в виду как значение данной силы, так и ее направление.

Напряженность электрического поля — это показатель, равный отношению силы, действующей на заряд в электрическом поле, к величине этого заряда.

Напряженность является силовой характеристикой поля. Она говорит о том, как сильно влияние поля в данной точке не только на другой заряд, но также на живые и неживые заряженные объекты.

Иногда можно услышать оборот «напряжение электрического поля», но это ошибка — правильно говорить «напряженность».

Какая профессия тебе подходит? Узнай за 10 минут!

Получи больше пользы от Skysmart:

• Подтяни оценки на курсах по физике.
• Выбирай из 890+ репетиторов по физике.

Единицы измерения и формулы

Из указанного выше определения понятно, как найти напряженность электрического поля в некой точке:

E = F / q, где F — действующая на заряд сила, а q — величина заряда, расположенного в данной точке.

Если нужно выразить силу через напряженность, мы получим следующую формулу:

Направление напряженности электрического поля всегда совпадает с направлением действующей силы. Если взять отрицательный точечный заряд, формулы будут работать аналогично.

Поскольку сила измеряется в ньютонах, а величина заряда — в кулонах, единицей измерения напряженности электрического поля является Н/Кл (ньютон на кулон).

Принцип суперпозиции

Допустим, у нас есть несколько зарядов, которые взаимодействуют. Вокруг каждого существует свое электрическое поле. Тогда существует некая точка или область, в которой одновременно существует электрическое поле нескольких зарядов. Чему равна общая напряженность электрического поля, создаваемого этими зарядами?

Было установлено, что общая сила воздействия на конкретный заряд, расположенный в поле, является суммой сил, действующих на данный заряд со стороны каждого тела. Из этого следует, что и напряженность поля в любой взятой точке можно вычислить, просуммировав векторно напряженности, создаваемые каждым зарядом в отдельности в той же точке. Это и есть принцип суперпозиции.

Это правило корректно для любых полей, за некоторыми исключениями. Принцип суперпозиции не соблюдается в следующих случаях:

• расстояние между зарядами очень мало — порядка 10 -15 м;
• речь идет о сверхсильных полях с напряженностью более 10 20 в/м.

Но задачи с такими данными выходят за пределы школьного курса физики.

Напряженность поля точечного заряда

У электрического поля, создаваемого точечным зарядом, есть одна особенность — ввиду малой величины самого заряда оно очень слабо влияет на другие наэлектризованные тела. Именно поэтому такие «точки» используют для исследований.

Но прежде чем рассказать, от чего зависит напряженность электрического поля точечного заряда, рассмотрим подробнее, как взаимодействуют эти заряды.

Закон Кулона

Предположим, в вакууме есть два точечных заряда, которые статично расположены на некотором расстоянии друг от друга. В зависимости от одноименности или разноименности они могут притягиваться либо отталкиваться. В любом случае на них действуют силы, направленные вдоль соединяющей их прямой.

Закон Кулона

Модули сил, действующих на точечные заряды в вакууме, пропорциональны произведению данных зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними.

Силу электрического поля в конкретной точке можно найти по формуле: где q₁ и q₂ — модули точечных зарядов, r — расстояние между ними.

В формуле участвует коэффициент пропорциональности k, который был определен опытным путем и представляет собой постоянную величину. Он обозначает, с какой силой взаимодействуют два тела с зарядом 1 Кл, расположенные на расстоянии 1 м.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов остается прежней при появлении сколь угодно большого количества других зарядов в данном поле.

Учитывая все вышесказанное, напряжение электрического поля точечного заряда в некой точке, удаленной от заряда на расстояние r, можно вычислить по формуле:

Итак, мы выяснили, что называется напряженностью электрического поля и от чего зависит эта величина. Теперь посмотрим, как она изображается графическим способом.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по физике поможет снять стресс перед экзаменом и получить высокий балл.

Поток вектора напряженности электрического поля

При этом знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарной площадке $dS$.

Элементарный поток вектора напряженности

Обратимся к электрическому полю. Модуль напряженности равен количеству силовых линий, которые пересекают поверхность площадь, которой равна единице, причем поверхность должна быть перпендикулярна линиям поля в данном месте. Количество линий поля, которые пересекают вышеназванную поверхность, называются потоком вектора напряженности. Если выделить элементарную площадку поверхности (dS), построить нормаль к этой площадке $\overrightarrow$, при этом угол между направлением вектора нормали и направлением вектора напряженности составит $\alpha $, то элементарный поток вектора напряженности ($dФ_E$) можно записать как:

\[dФ_E=EdScos\alpha =\overrightarrow\cdot d\overrightarrow\ \left(2\right),\]

В уравнении (3) $\overrightarrow$ единичная нормаль к площадке $dS$.

Если рассматривать какую — либо произвольную поверхность $S$, то в соответствии с определением потока вектора (1) можно записать, что поток вектора напряженности ($Ф_E$):

\[Ф_E=\int\limits_S<\overrightarrow\cdot d\overrightarrow>\ \ \left(4\right).\]

Направление нормали

Как и в общем случае, поток вектора напряженности алгебраическая величина. Знак потока зависит от конфигурации поля и направления вектора — нормали $\overrightarrow$. Направление нормали условно. Можно сказать, что интеграл в уравнении (4) характеризует суммарную мощность источников вектора $\overrightarrow$, коими являются заряды, внутри объема, который ограничивает поверхность $S$.

Принято считать, что если имеют дело с замкнутой поверхностью, то нормаль имеет положительное направление наружу. Поток вектора напряженности в случае замкнутой поверхности записывают через криволинейный интеграл по замкнутой поверхности:

\[Ф_E=\oint\limits_S<\overrightarrow\cdot d\overrightarrow>\ \ \left(5\right).\]

Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты

Задание: Напряженность электростатического поля задана формулой в декартовых координатах:

где $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ — единичные орты осей OX и OY. Найдите поток вектора $\overrightarrow$ через сферическую поверхность, если ее радиус равен $R$, а ее центр находится в начале координат.

В качестве основы для решения используем определение потока вектора напряженности, а именно:

\[Ф_E=\int\limits_S<\overrightarrow\cdot d\overrightarrow>\ \ \left(1.1\right),\ \]

где $d\overrightarrow=\overrightarrowdS$, $dS-$ элементарный участок поверхности сферы, $\overrightarrow$ — нормаль к этому участку.

Запишем выражение для нормали к поверхности сферы, в виде:

Подставим уравнение (1.2) в (1.1), используем выражение для напряжённости поля из условий задачи, найдем интеграл, при этом при нахождении произведения в подынтегральном выражении, учитываем, что $\overrightarrow,\overrightarrow,\overrightarrow$- ортогональные единичные векторы.

«Поток вектора напряженности электрического поля» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Помощь с рефератом от нейросети

Задание: Определите поток вектора напряженности через поверхность сферы, если внутри нее находится два точечных заряда $+q_1$ и $_2$.

В качестве основы для решения можно взять формулу для потока вектора напряженности в виде:

\[Ф_E=\overrightarrow\cdot S\overrightarrow=EScos\alpha \ \left(2.1\right),\]

где $\alpha $ — угол между нормалью к поверхности, через который ищем поток и вектором напряженности. Поле точечного заряда имеет сферическую симметрию (рис.1). Следовательно, вектор напряженности поля и вектор — нормаль будут сонаправлены ($cos\alpha ==1$). На рис. 1 изображено поле положительного заряда.

Результирующая напряженность поля может быть найдена в соответствии с принципом суперпозиции полей двух зарядов, с учетом знаков.

Запишем выражение для модуля напряженности поля, которое создает первый заряд:

Для второго заряда:

Найдем модуль результирующей напряженности, учитывая, что положительный заряд — исток поля, а отрицательный — сток поля, то есть направления полей противоположны:

Если мы ищем поток через сферу, которая имеет радиус R, то выражение (2.4) примет вид:

Площадь поверхности сферы (S) заданного радиуса равна:

В таком случае, подставим выражения (2.6) и (2.5) в (2.1), учтем, что $cos\alpha ==1$, получим: