Что такое c в квантовой физике

Четыре популярных заблуждения о квантовой физике

Квантовая механика – теория, управляющая микромиром атомов и элементарных частиц – определённо самая запутанная и контринтуитивная из всех областей физики. Из-за этого она поражает воображение и интригует нас. В 2022 году нобелевку по физике дали Алену Аспе, Джону Клаузеру и Антону Цайлингеру. Все трое внесли важнейший склад в исследование явления квантовой запутанности и подтверждение того, что квантовый мир принципиально невозможно описать классическими методами. Это событие вызвало радостное возбуждение и бурные дискуссии по поводу квантовой механики.

Однако все эти дебаты – будь то форумы, СМИ или даже научная фантастика – часто запутываются из-за упрямых мифов и заблуждений. Давайте разберём четвёрку самых распространённых из них.

1. Кот может быть живым и мёртвым одновременно

Эрвин Шрёдингер вряд ли мог предположить, что его мысленный эксперимент с котом в XXI веке приобретёт статус известнейшего мема. Ситуация предполагает, что неудачливый кот, застрявший в коробке со смертельным газом, который выпускает случайное квантовое событие – например, радиоактивный распад – может быть одновременно живым и мёртвым, пока мы не откроем коробку, чтобы это проверить.

Давно известно, что квантовые частицы могут существовать в двух состояниях, к примеру, быть в двух местах одновременно. Это называется суперпозицией. Это было продемонстрировано в знаменитом двухщелевом эксперименте: единственная квантовая частица, например фотон или электрон, может проходить через две щели в стенке одновременно. Но откуда нам это известно?

В квантовой физике состояние каждой частицы является волной. Когда мы отправляем фотоны по одному проходить сквозь щели, они создают на стене позади щелей рисунок интерференции двух волн. Поскольку ни у какого фотона, проходящего через щели, нет других фотонов, с которыми можно интерферировать, получается, что каждый фотон одновременно проходит через обе щели — и интерферирует сам с собой.

Однако, чтобы это сработало, состояния (волны) частицы, находящейся в суперпозиции, и проходящей через обе щели, должны быть когерентны: они должны определённым образом взаимодействовать друг с другом.

Эксперименты с суперпозицией можно проводить с объектами и более крупного размера, а также сложности. В одном знаменитом эксперименте Антона Цайлингера, проведённом в 1999 году, была показана квантовая суперпозиция крупных молекул углерода-60 (C₆₀), известных, как бакминстерфуллерены или «бакиболлы».

Что всё это значит для нашего кота? Действительно ли он одновременно жив и мёртв, пока мы не открываем коробку? Очевидно, кота не сравнить с отдельным фотоном, находящимся в контролируемых условиях лаборатории — он гораздо больше и сложнее. Любая когерентность, которая могла бы возникнуть между триллионами составляющих кота атомов, смогла бы существовать крайне непродолжительное время.

Это не означает, что у биологических систем квантовая когерентность невозможна – просто она обычно неприменима к таким большим существам, как коты или люди.

2. Запутанность можно объяснить простыми аналогиями

Запутанность – квантовое свойство, связывающее две разные частицы так, что если вы измерите состояние одной из них, вы автоматически мгновенно узнаёте состояние другой, вне зависимости от расстояния между ними.

Для объяснения этого явления обычно используют повседневные объекты из макромира – вроде игральных кубиков, карт или даже пар носков необычных цветов. К примеру: допустим, вы сообщаете вашему другу, что кладёте синюю карточку в один конверт, и оранжевую – в другой. Если ваш друг заберёт и откроет один из конвертов и найдёт в нём синюю карточку, он поймёт, что у вас осталась оранжевая.

Но чтобы понять квантовую механику, необходимо представить, что в конвертах лежат две карты, находящиеся в суперпозиции: то есть, они обе оранжевые и синие одновременно (одна оранжево-синяя, а другая сине-оранжевая). Когда кто-то вскроет один конверт, в нём окажется карта одного цвета, который будет определяться случайным образом. Но при вскрытии другого конверта в нём всегда будет карта другого цвета, «пугающим» образом связанная с первой.

Можно заставить карты показывать другие цвета – это аналогия проведения других квантовых измерений. Можно открывать конверт, задавая вопрос «зелёная там карта или красная?» Ответ вновь будет случайным – зелёная или красная. Главное, что если карты запутаны, то другая карта всегда даст противоположный ответ на тот же вопрос.

Альберт Эйнштейн пытался объяснить этот эффект при помощи классической интуиции, предположив, что у карт есть скрытый внутренний набор инструкций, сообщающий им, какой цвет принять, отвечая на определённый вопрос. Он отвергал «пугающее» взаимодействие между картами, позволяющее им вроде бы мгновенно влиять друг на друга – это означало бы возможность передачу сведений быстрее скорости света, что теории Эйнштейна запрещают.

Однако объяснение Эйнштейна было отвергнуто теоремой Белла (теоретическим испытанием, созданным физиком Джоном Стюартом Беллом) и проведёнными нобелевскими лауреатами в 2022 году экспериментами. Идея, состоящая в том, что измерение одной из запутанных карт меняет состояние другой, неверна. Квантовые частицы просто загадочным образом коррелируют друг с другом способами, которые мы со своей повседневной логикой и языком объяснить не можем. Они не обмениваются сообщениями и не содержат скрытого кода, как считал Эйнштейн. Поэтому забудьте о повседневных объектах, рассуждая о запутанности.

3. Природа нереальна и нелокальна

Часто говорят, что теорема Белла доказывает нелокальность природы – то есть, что ближайшее окружение объекта не влияет на него напрямую. Ещё одно типичное замечание – якобы, из неё следует, что свойства квантовых объектов нереальны, что они не существуют до того, как их измерят.

Но теорема Белла лишь говорит о том, что в квантовой физике природа будет нереальной и нелокальной, только если мы примем ещё несколько других предположений. Среди них – предположение о том, что у измерения может быть только один результат (а не несколько – если, например, речь идёт о параллельных мирах), что причина и следствие расположены по времени друг за другом, и что мы не живём во вселенной, похожей на часовой механизм – то есть, во вселенной, где всё предопределено с самого начала.

Несмотря на теорему Белла, природа может быть реальной и локальной – если мы откажемся от некоторых вещей, диктуемых здравым смыслом, вроде прямолинейного течения времени. Есть надежда, что дальнейшие исследования сузят количество возможных интерпретаций квантовой механики. Однако большинство упомянутых вариантов – к примеру, что время может течь назад, или отсутствие свободы воли – кажутся не менее абсурдными, чем отказ от концепции локальной реальности.

4. Никто не понимает квантовую механику

Классическая цитата (которую приписывают Ричарду Фейнману, и которая перефразирует Нильса Бора) звучит так: «Если вы думаете, что понимаете квантовую механику, вы её не понимаете».

Эта точка зрения широко распространена. Якобы квантовую физику понять невозможно – даже для физиков. Но с точки зрения XXI века квантовая физика не кажется особенно сложной для учёных ни с математической, ни с концептуальной точки зрения. Мы понимаем её очень хорошо, мы даже можем предсказывать квантовые явления с высокой точностью, симулировать сложные квантовые системы и даже начали делать квантовые компьютеры.

Для описания суперпозиции и запутанности на языке квантовой информации не требуется чего-то более сложного, чем математика из старших классов. Теорема Белла вообще не требует квантовой физики. Её уравнения можно вывести в несколько строчек при помощи теории вероятностей и линейной алгебры.

Реальная сложность состоит в том, чтобы помирить квантовую физику с интуитивной реальностью. Но отсутствие всех ответов не остановит нас на пути дальнейшего прогресса квантовых технологий. Мы можем просто «заткнуться и считать».

К счастью для человечества, Аспе, Клаузер и Цайлингер отказались затыкаться и продолжали задавать вопрос «почему». Когда-нибудь их последователи, возможно, помогут помирить квантовые странности с нашим ощущением реальности.

• Квантовая механика
• квантовая физика

• Научно-популярное
• Физика

Что такое c в квантовой физике

К концу прошлого века физикам стало ясно, что атомы вещества имеют сложное строение. Один из возможных путей исследования структуры материи состоит в наблюдении процессов столкновения различных частиц с веществом. В 1911 г. Э. Резерфорд со своими сотрудниками Марсденом и Гейгером для этих целей использовали a — частицы — ядра гелия 4 ₂He. Метод Резерфорда состоял в подсчете числа a — частиц, рассеянных под разными углами тонкой золотой фольгой. Измерения показали, что б\’ольшая часть a — частиц рассеивается в небольшом интервале углов к направлению движения, но примерно 1/20000 доля частиц отклонялись на углы б\’ольшие 90 o . Для объяснения результатов опыта Резерфорд предположил, что вся масса атома сосредоточена в ядре ничтожно малого размера, которое имеет положительный заряд (как и a — частица), равный по абсолютной величине сумме зарядов всех электронов в атоме. Оценки показывали, что отношение объема ядра к объему всего атома составляет лишь ~ 10 -15 .

Резерфорд рассчитал как должны рассеиваться a -частицы таким ядром и как они должны распределяться по углам. Его формула дает распределение количества рассеянных a -частиц по углам с большой точностью для всех использованных «мишеней». В итоге Резерфорд предложил хорошо известную теперь планетарную модель атома.

Одновременно с объяснением экспериментов по рассеянию a — частиц в физике атомов возникла серьезнейшая трудность, связанная с проблемой стабильности атомов.

Движущийся по круговой (в общем случае, эллиптической) орбите вокруг ядра, электрон обладает ускорением и, согласно принципам классической электродинамики, должен излучать электромагнитные волны и, теряя энергию на излучение, должен упасть на ядро, как показывает расчет, за ничтожно малое время ~ 10 -13 c. (Не излучает только покоящийся заряд или заряд, движущийся по прямой с постоянной скоростью).

Почему же в атомах этого не происходит? Разрешение этого парадокса удалось найти Н. Бору в 1913 г. Используя квантовые постулаты Бор не только объяснил стабильность атомов, но и установил основные закономерности существования т.н. линейчатых спектров атомов.

3.2 Линейчатые спектры атомов

Линейчатые спектры — спектры излучения и поглощения, имеющие вид набора узких спектральных линий. Такие спектры имеют одноатомные вещества с низкой плотностью (например, в газообразном состоянии). Поэтому линейчатые спектры можно считать спектрами одиночных атомов.

Длины волн спектральных линий имеют значения, характерные для данного типа атомов, что позволяет по спектрам излучения (или поглощения) проводить идентификацию химических элементов методами спектрального анализа. Появление новых, неизвестных ранее линий дает возможность обнаружить новые элементы.

Именно таким образом был открыт гелий в 1895 г.

В обычных условиях длины волн линейчатого спектра слабо зависят от действующих на атом внешних полей (электрического и магнитного) и столкновений излучающих атома с другими частицами.

Длины волн спектральных линий линейчатого спектра не зависят от предыстории атома -в частности, при ионизации атома (например, при газовом разряде) и последующем восстановлении нейтрального атома линейчатые спектры остаются неизменными.

Спектр излучения атома водорода приведен на Рис. 6.

В 1885 г. И. Бальмер обнаружил закономерность в спектральных линиях атома водорода. Частоты излучаемых волн в видимой части спектра даются формулой

где R = 3,29·10 15 Гц — постоянная Ридберга. Затем это открытие послужило основой для обнаружения других серий в инфракрасной и ультрафиолетовой частях спектра.

3.3 Теория Бора

Квантовая теория атома водорода, предложенная Бором была основана на двух постулатах:

Используя первый постулат и уравнение движения (уравнение Ньютона для электрона, движущегося в кулоновском поле ядра), получим систему уравнений

из которой находим

Величина a = ( h /_{2 p} ) /(m c a ) = 0,053 нм называется боровским радиусом атома водорода. Скорость электрона на первой боровской орбите v₁ = a c , c — скорость света.

Полная энергия электрона

принимает дискретный ряд значений. Наименьшее значение энергии E ₁ = 13,6 эВ. Величина | E ₁ | называется энергией связи. Если сообщить атому в основном состоянии энергию 13,6 эВ, то он переводится в состояние с энергией E _Ґ = 0, которое соответствует свободному движению электрона и протона.

Находящийся в основном состоянии электрон не излучает (т.к. ниже нет разрешенных уровней энергии), что и объясняет стабильность атома водорода.

На основании второго постулата теперь находим частоты излучения при переходах E _s ® E _k :

Серия Бальмера получается при k = 2. Формула (10 ) дает также связь постоянной Ридберга с фундаментальными константами R = [(m c 2 a 2 )/( 2 ( h /_{2 p} ))].

Длины волн в линейчатом спектре атома водорода из (10 ), получаются в виде

здесь k > s, а L = c /_R = 91,13 нм.

Первые линии серии Бальмера (k = 3, l = 656,3 нм и k = 4, l = 486,1 нм — линии ä» и «b» соответственно на Рис. 3.). Серия с s = 3 установлена Ф. Пашеном (1908). Серии с другими s обнаружены после построения теории Бора (s = 1 — Т. Лайман, 1914; s = 4 — Ф Брэккет, 1922; s = 5 — А. Пфунд, 1924). Соответствующие серии (cм. Рис. 7) носят имена своих открывателей.

3.4 Принцип соответствия

В планетарной модели атома водорода (угловая) частота W вращения по круговой орбите с энергией (9 ), соответствующей стационарному состоянию с главным квантовым числом n, W = v/r, учитывая формулы для радиуса боровской орбиты и скорости электрона на ней, получаем:

Согласно классической электродинамике, электрон при таком движении является монохроматическим излучателем электромагнитных волн с частотой W .

По второму постулату Бора, угловая частота, испускаемого атомом водорода при переходе между стационарными состояниями с квантовыми числами n и n-1 равна

Если n >> 1, то

Близость частот излучения в класссической и квантовой моделях для больших квантовых чисел есть проявление т.н. принципа соответствия.

4 Волновые свойства частиц. Квантовая механика

Теория Бора явилась переходным этапом от классической теории к квантовой. Она удовлетворительно описывала лишь атом водорода. Точные спектры других атомов, несмотря на все усилия, рассчитать не удалось. В теории Бора оставался необъясненным главный вопрос: почему квантуется энергия атома? Стало лишь ясно, что классическая механика совершенно не применима к описанию внутреннего строения атомов.

В середине 20 -х гг. XX века была создана квантовая механика — теория, позволяющая, в принципе, предсказать поведение любой физической системы — от галактик и звезд до молекул, атомов, атомных ядер и элементарных частиц.

Эта теория потребовала ещё более революционного пересмотра основных физических представлений, чем даже теория относительности. Квантовая механика, являясь отражением более глубокого уровня познания Природы, не отменяет законов классической механики, а включает их, как частный случай.

4.1 Волны де Бройля

В 1923 г. Луи де Бройль предположил, что обычным частицам присущи волновые свойства. Так, свободной частице с импульсом [(p)\vec] и кинетической энергией E = p 2 /2 m соответствует плоская монохроматическая волна де Бройля с угловой частотой

и волновым вектором
Длина волны де Бройля тогда равна

Согласно гипотезе де Бройля пучок электронов, проходящих через очень тонкую щель, должен дифрагировать.

Прямое подтверждение предсказаний теории де Бройля было установлено в 1927 г. в эксперименте К. Дэвиссона и Л. Джермера, наблюдавших дифракцию электронов с энергией E = 8,64·10 -18 Дж, рассеянных поверхностью монокристалла никеля (длина волны де Бройля l = 2 p ( h /_{2 p} ) / Ц m E >) = 1,67·10 -10 м. Для волн де Бройля поверхность кристаллического вещества представляет дифракционную решетку, период которой равен расстоянию между атомами в кристалле (d » 2 ё 4 ·10 -10 м). В опытах, выполненных под руководством В.А. Фабриканта было показано, что волновые свойства имеет не только поток электронов, но и каждая отдельная микрочастица. Через прибор проходили одиночные электроны, так что время между попаданиями в регистрирующее устройство двух последовательно рассеянных поверхностью кристалла электронов в 10 4 раз превышало время их пролета через прибор. Было установлено, что положение интерференционных колец на экране не зависит от интенсивности пучка, что и доказывало волновую природу индивидуальных электронов.

Вероятностный смысл волн де Бройля был установлен в квантовой механике.

Важным достижением гипотезы де Бройля казалось то, что она позволяла «вывести» правила квантования Бора: у электрона в атоме реализуются те орбиты, на длине которых укладывается целое число волн де Бройля. Для круговых орбит это дает правильную формулу для энергии (9 ). Однако, как мы увидим ниже, серьезно такой «вывод» нельзя воспринимать, так как формула связи длины волны де Бройля и импульса частицы (11 ) предполагает, что частица имеет точно определенный импульс (как, например, при свободном движении). Электрон, находящийся в связанном состоянии в атоме, не может иметь строго определенного значения импульса в соответствии с так называемым соотношением неопределенностей, поэтому подобный вывод некорректен.

4.2 Квантовая механика

На основе идей де Бройля о волновых свойствах микрообъектов Э. Шредингер в 1926 г. сформулировал основной закон движения микрочастиц:

Это уравнение называют уравнением Шредингера. В нём i = [ Ц (- 1)], m — масса частицы, движущейся в поле с потенциальной энергией U, D — лапласиан (сумма вторых частных производных по координатам). Введенная Шредингером волновая функция Y (x,y,z,t) является основной характеристикой квантового объекта.

Если частица движется в потенциале U не зависящем от времени, уравнение (12 ) подстановкой Y (x,y,z,t) = y (x,y,z) exp(- i E t/( h /_{2 p} ) ) приводится к виду стационарного уравнения Шредингера:

здесь E — полная энергия частицы.

В квантовой физике уравнения (12 ,13 ) играют ту же роль, что и законы Ньютона в классической теории.

Решая, например, уравнение (13 ) совместно с некоторыми дополнительными (граничными) условиями, находят уровни энергии частицы в потенциале U.

Удивительные свойства спектра энергий атома водорода (исходя из вращательной симметрии кулоновского потенциала (U(r) = — k₀ [(e 2 )/( r)],r = [ Ц (x 2 + y 2 + z 2 )] — расстояние электрона до ядра) уровни энергии должны определяться полным угловым моментом и быть вырождены только по его проекции) были объяснены в 1936 г. В.В. Фоком и В. Баргманом наличием у атома водорода «скрытой внутренней симметрии» относительно четырехмерных вращений.

В 1928 г. П. Дирак построил последовательное релятивистское обобщение квантовой механики. Уравнение Дирака автоматически учитывает наличие у электрона собственного момента количества движения — спина. Дирак обнаружил, что все уровни энергии электрона в атоме водорода, кроме основного (с n = 1), оказались расщепленными: уровень с квантовым числом n расщепляется на n подуровней. (Симметрия относительно четырехмерных вращений разрушается за счет релятивизма.) Согласно теории Дирака, уровень E ₂ расщепляется лишь на два подуровня. Однако, в 1947 г. У. Лэмбом и Р. Ризерфордом было обнаружено, что вопреки предсказаниям нижний подуровень уровня E ₂ расщеплен еще на два подуровня (2S_1/2, и 2P_1/2), расстояние между которыми равно 4,35·10 -6 эВ. Это расщепление называют Лэмбовским сдвигом. Причина его существования была объяснена Г. Бете в 1948 г., как результат взаимодействия электрона в атоме с квантовыми флуктуациями вакуума, что в последствии привело к построению квантовой электродинамики (Ю. Швингер, Р. Фейнман, С. Томонага) и дало ключ к созданию современной теории фундаментальных взаимодействий.

4.3 Соотношения неопределенностей

Рассмотрим дифракцию параллельного моноэнергетического пучка частиц на щели шириной d (См. Рис. 8). На экране в результате дифракции образуется размытая полоса с максимумом против центра отверстия. Положение первого дифракционного минимума на экране определяется условием

Частица с импульсом p обладает длиной волны l = h/p, поэтому, условие положения первого минимума можно переписать в виде:

Отклонение частицы в результате дифракции свидетельствует об изменении ее импульса, которое найдем по углу отклонения:

Из последних двух выражений следует, что d D p_x » h. Поэтому, если частица с первоначально точно известным импульсом прошла через щель шириной d, то ее координата x определена с точностью D x ~ d, а импульс становится менее определенным. Теперь ясно, что произведение неопределенности координаты частицы и неопределенности ее импульса связаны соотношением

Это соотношение было найдено В. Гейзенбергом в 1927 г., который сформулировал его в виде: «Чем точнее установлено положение, тем менее точно известен импульс, и наоборот.«

Согласно Гейзенбергу неопределённости значений координаты D x и проекции импульса D p_x связаны более точным соотношением:

Невозможность одновременно точно измерить значения координаты и импульса вовсе не связана с несовершенством приборов. Соотношение (14 ) отражает глубокое отличие в движении квантовых частиц от предписаний законов классической физики. Однако, если неопределённости значений координаты и импульса значительно меньше характерных размеров масштаба движения l и импульса p_x, т.е. ( | D x | l, | D p_x | p_x | ), то волновые свойства частиц становятся несущественными и справедливы «классические правила игры».

В самом деле, согласно (14 ) | D p_x | ~ ( h /_{2 p} )/ | D x | >> ( h /_{2 p} )/l. Чтобы классическое описание было точным, должно выполняться условие ( h /_{2 p} )/l = h/2 p l p_x | . Так как l = h/ | p_x | , то последнее неравенство можно записать как l l. В этом случае можно говорить о приближенном движении по некоторой классической траектории.

Итак, соотношение неопределённости координата — импульс связано с тем. что импульс пропорционален волновому числу плоской волны, а плоская волна заполняет всё пространство. Поэтому «попытка» локализовать частицу с определённым импульсом в пространстве столь же безушпешна, как и попытка локализовать плоскую волну.

Подобно тому, как импульс не может быть локализован в пространстве, так и энергия, пропорциональная частоте не может быть локализована во времени. Поэтому (в соответствии с принципои отностельности) существует соотношение неопределённости «энергия — время»:

Однако физическая интерпретация этого соотношения совершенно иная нежели у соотношения неопределённости «координата — импульс». В (14 ) переменные положения и импульса входят совершенно симметричным образом. Как D x, так и D p_x могут быть в принципе измерены в один и тот же момент времени t и определяются значением волновой функции y в данный момент времени.

В противоположность этому в (15 ) энергия и время являются величинами совершенно разной природы: энергия есть динамическая переменная системы, а время — параметр.

Согласно Гейзенбергу полную энергию системы можно измерить лишь с неопределенностью D E , связанную с длительностью процесса измерения D t.

Из (15 ) в частности следует, что если D t = t — время жизни возбужденного состояния атома, молекулы или ядра, то неопределенность энергии связанного состояния (ширина уровня) равна

Если же состояние стационарное ( D t сколь угодно велико), то энергия определена точно ( D E = 0), причём в каждый момент времени t.

4.4 Вероятностная интерпретация

В 1927 г. М. Борн предложил интерпретацию комплексной волновой функции Y , которая теперь является общепринятой: вероятность dw обнаружить частицу в момент t внутри элемента объема dV є dx dy dz равна

поэтому величину | Y | 2 называют плотностью вероятности.

Полная вероятность w обнаружить частицу в момент t внутри конечного объема получится, если просуммировать dw по элементам объема dV. В результате получается формула:

Для всего бесконечного пространства интеграл в последней формуле должен быть равен единице. Условие

называется нормировочным.

Волновая функция Y полностью описывает состояние частицы.

Ее также называют вектором состояния квантовой системы (по аналогии с тем как в классической механике положение материальной точки описывается радиусом — вектором). Вектор состояния принадлежит (в общем случае бесконечномерному) пространству состояний — пространству Гильберта.

Предложенная Борном интерпретация волн де Бройля исключает их понимание как классических волн материи. Связывая, например, с электроном плоскую волну, не следует понимать это так, что он сам «размазан» по всему пространству. Электрон продолжает выступать в теории как точечный объект, но вероятность обнаружить его в любой из точек пространства всюду одинакова.

4.5 Амплитуды вероятности и связь между квантовым и классическим описаниями

Пусть квантовая система может находиться в состояниях Y ₁, Y ₂, . .

Одно из самых существенных отличий квантовой физики от классической состоит в том, что если классическая частица может находиться лишь в одном или в другом состоянии, то никакие иные варианты в принципе невозможны; квантовая же частица может находиться в состояниях иной природы, о которых говорят как о суперпозиции состояний Y ₁, и Y ₂:

Коэффициенты a₁, a₂, являющиеся в общем случае комплексными числами, называются амплитудами вероятностей. Квадраты их абсолютных величин (модулей) | a₁ | 2 , | a₂ | 2 определяют вероятности w₁, w₂ того, что при измерении осуществленном над частицей, находящейся в суперпозиции Y , она будет обнаружена в состоянии Y ₁ или Y ₂. Сумма этих вероятностей равна 1.

С вероятностным описанием приходится иметь дело и в классической теории, если состояние системы не определено однозначно, как, например, состояние частицы в газе. Тогда говорят о смеси состояний и характеризуют систему, указывая вероятность присутствия различных состояний в смеси.

Нетривиальность квантового мира состоит в том, что здесь предусмотрена возможность приготовления частицы в состоянии суперпозиции. Суперпозиция принципиально отличается от смеси тем, что хотя при измерении мы всегда обнаруживаем частицу либо в состоянии Y ₁ либо Y ₂, предположение о том, что и до измерения частица находилась в этом состоянии, оказывается неверным! Разница между суперпозицией и смесью подобна различию между когерентными и некогерентными световыми полями в оптике. В первом случае может наблюдаться явление интерференции, тогда как во втором случае поля никогда не интерферируют. Квантовую интерференцию было бы невозможно понять, если бы до измерения частица действительно находилась в одном из состояний Y ₁, Y ₂, просто неизвестно в каком. Чтобы выяснить, что происходит при измерении, надо учесть, что оно представляет воздействие макроскопического измерительного прибора, которое разрушает когерентность состояний, входящих в суперпозицию, и ведет к тому, что мы обнаруживаем частицу либо в одном, либо в другом из состояний.

Вероятность перехода из состояния Y ₁ в состояние Y ₂ под воздействием внешнего возмущения дается квадратом модуля так называемой амплитуды перехода:

Нахождение амплитуд перехода — важнейшая задача квантовой теории. Для их вычисления в рамках т.н. теории возмущений использутся эффективная техника фейнмановских диаграмм.

Понятие амплитуды перехода применимо и при расмотрении движения частицы, находящейся в момент времени t₁ в точке пространства [(r)\vec]₁, в точку [(r)\vec]₂, в момент времени t₂, (Рис. 9). Согласно Р. Фейнману амплитуда A ₁₂ дается суммой амплитуд переходов из точки 1 в точку 2 по всем возможным траекториям, соединяющим точки 1 и 2, что также является проявлением принципа суперпозиции. («интерференцией альтернатив»). Вклад каждой траектории x(t) пропорционален величине

(t), x(t), t) dt —

так называемое действие, (размерность действия совпадает с размерностью постоянной Планка) а

2

— U(x) —

функция Лагранжа (разность кинетической и потенциальной энергий). Если отношение

то в формулу (16 ) дают вклад очень много траекторий и закон движения частицы является квантовым. Если же для одной из траекторий (скажем x_кл(t)) это отношение і 1 (очень большая фаза), то вклад такой траектории (и траекторий, идущих бесконечно близко к ней) является доминирующим. Можно сказать, что при этих условиях «выживает» лишь классическая альтернатива и наблюдается движение по классической траектории, соединяющей точки 1 и 2. Условие большой фазы амплитуды перехода оказывается эквивалентным условию малости длины волны де Бройля для частицы по сравнению с характерным размером области, в которой движется частица.

Классическое приближение — это приближение коротких длин волн де Бройля для квантовых частиц. При этом можно показать, что получившаяся траектория x_кл(t)), удовлетворяет классическому уравнению движения в потенциале U(x). Таким образом, законы классической динамики являются частным (предельным) случаем квантовой механики.

5 Главное в квантовой теории

В качестве некоторого итога попытаемся сформулировать, что же дала квантовая физика в плане познания принципов организации Мира? Здесь, видимо, следует отметить два важнейших момента:

1. Квантовая физика показала, что фундаментальными принципами наряду с динамическими законами, являются статистические, вероятностные законы. При этом, вероятностные закономерности применимы не только к большим коллективам частиц (как это считалось в классической физике), но и отдельным микрообъектам.
2. Обнаружилось, что в определённых случаях надо складывать не сами вероятности, как в классических статистических теориях, а амплитуды этих вероятностей. Именно амплитуды вероятностей процессов (волновые функции) оказываются первичными величинами. С интерференцией амплитуд связан принцип суперпозиции состояний, отражающий специфику «взаимосоотношений» состояний квантовых объектов.

С точки зрения пользы, понимаемой в утилитарном смысле, следует отметить, что квантовая физика уже давно стала основой научно — технического прогресса. Полупроводниковая микроэлектроника, лазерная техника, ядерная энергетика были бы невозможны без постижения сути квантовых закономерностей.

Принципы, управляющие миром т.н. элементарных частиц, явились синтезом квантовых идей и релятивизма.

Их суть изложена в пособии, посвященном ядерной физики и физики элементарных частиц.

6 Задачи

6.1 Примеры решения задач

Почему мы не замечаем квантования энергии в макромире?

Решение: Рассмотрим шарик массы m = 10 -3 кг, колеблющийся с частотой n = w /2 p = 1 Гц. При амплитуде колебаний a = 10 -2 м полная механическая энергия осциллятора равна E = m w 2 a 2 /2 = 2·10 -6 Дж. Приращение энергии на один квант составит h n / E ~ 3,3·10 -40 часть начальной энергии. Поэтому в процессах с участием макроскопических тел дискретность энергии не проявляется. Для атомов и молекул ситуция иная. Здесь энергия кванта одного порядка с полной энергией.

Решение: Положим для оценок длину волны света l равной 500 нм.

где P = 100 Вт, D t — промежуток времени, за который лампочка излучает D N фотонов. Отношение D N/ D t и есть количество фотонов, испускаемых за единицу времени.

В результате, вспомнив связь частоты с длиной волны, получаем

Решение: Согласно формуле Эйнштейна

Максимальный потенциал цинковой пластинки определится из условия прекращения фототока m v 2 /2 = e₀ U_max (e₀ величина заряда электрона). Отсюда находим

Подставляя численные значения, получаем

Отношение площади внутренней поверхности камеры к площади отверстия S/ s = b = 200. На отверстие падает монохроматический пучок фотонов, сечение пучка, равно сечению входного отверстия.

При зеркальной внутренней поверхности камеры отношение концентрации фотонов в полости к концентрации фотонов в пучке равно n₁/n₀ = 4.

Чему будет равно такое отношение, если коэффициент поглощения стенок приемника будет равен k = 0,01? Собственным излучением стенок пренебречь.

Решение: В первом случае, когда внутренняя поверхность фотоприемника полностью отражает падающее на нее излучение, число фотонов, попадающих в установившемся режиме в полость приемника в единицу времени, равно числу фотонов, покидающих полость приемника. Если концентрация фотонов в падающем пучке равна n₀, а площадь входного отверстия приемника s , то число фотонов, попадающих в приемник в единицу времени, равно

здесь c — скорость света. Число фотонов, покидающих фотоприемник в единицу времени, пропорционально концентрации фотонов n₁ в приемнике, площади отверстия s и скорости фотонов c:

где a — постоянный коэффициент пропорциональности, определяемый «геометрией задачи».

Из условия стационарности N₀ = N₁ получим

Во втором случае, когда стенки полости частично поглощают фотоны, в установившемся режиме число фотонов N₀, попадающих в полость приемника в единицу времени, равно числу фотонов N₂, покидающих полость через входное отверстие в единицу времени, плюс число фотонов N₂ * , поглощаемых стенками полости за то же время:

где n₂ — новая концентрация фотонов в полости приемника, (учтено, что на любой участок внутренней поверхности камеры фотоны падают с той же интенсивностью, что и на выходное отверстие).

Из последнего равенства находим, что

Решение: При равномерном движении по круговой орбите центростремительное ускорение равно ускорению, создаваемому квазиупругой силой:

Полная энергия частицы поэтому равна
Используя правило квантования круговых орбит m v r = n( h /_{2 p} ) , получаем
где w = Ц < k /m> — частота колебаний гармонического осциллятора, не зависящая от начальных условий.

Точная формула для уровней энергии трехмерного изотропного осциллятора, получаемая квантовомеханическим вычислением имеет вид:

Решение: Кулоновская сила F_к = [(e 2 _o)/( 4 p e _o r 2 )] сообщает электрону центростремительное ускорение [(v 2 )/( r)]. Из второго закона Ньютона находим, что v = [( | e_o | )/( Ц o m r>)].

Отсюда энергия, движущегося вокруг ядра электрона равна:

Эта энергия отрицательна (электрон находится в связанном состоянии).

Де — бройлевская длина волны электрона

Основные формулы по физике — КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Начало развития квантовой физики связано с решением немецким ученым Максом Планком проблемы излучения абсолютно черного тела. Необходимо знать гипотезу Планка о квантовании энергии осцилляторов и уяснить, что на основании формулы Планка могут быть получены законы Стефана- Больцмана и Вина.

Развитие гипотезы Планка привело к созданию представлений о квантовых свойствах света. Кванты света называются фотонами. С позиций квантовой теории света объясняется такое явление как фотоэффект. Здесь следует знать формулу Эйнштейна для фотоэффекта.

Дальнейшее развитие квантовой физики связано с построением теории строения атома. О сложном строении атома говорят исследования спектров излучения разряженных газов.

Таблица сновных формул квантовой физики

Физические законы, формулы, переменные

Формулы квантовой физики

Закон Стефана-Больцмана:
где R — энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела, т.е. энергия, испускаемая в единицу времени с единицы площади:
σ — постоянная Стефана-Больцмана:

Энергетическая светимость (излучательность) серого тела:
где α — коэффициент черноты.

Закон смещения Вина:
где λ_m — длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения;
b — постоянная Вина :

Импульс фотона:
где λ — длина волны;
h — постоянная Планка:

Энергия фотона:
где ν — частота;
с — скорость света в вакууме:

Формула Эйнштейна для фотоэффекта:
где hν — энергия фотона, падающего на поверхность металла;
А — работа выхода электрона из металла;
— максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Красная граница фотоэффекта:
где λ_к — максимальная длина волны, при которой возможен фотоэффект;
ν_к — минимальная частота, при которой возможен фотоэффект.

или

Сериальные формулы спектра водородоподобного атома
где R — постоянная Ридберга R=1,097·10 7 м -1 ,
z — порядковый номер элемента;
Серия Лаймана m=1, n=2,3,4.
Серия Бальмера m=2, n=3,4,5.
Серия Пашена m=3, n=4,5,6.
Серия Брекета m=4, n=5,6,7. и т.д.

Длина волны де Бройля:

где р — импульс частицы.

В классическом приближении (при v<

m — масса частицы;

v — скорость частицы;

с — скорость света в вакууме.

В релятивистском случае (при ):

Связь импульса с кинетической энергией W_к в релятивистском приближении:
где E₀ — энергия покоя частицы:

Плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства

Волновая функция, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
где l — ширина ямы,
х — координата частицы в яме (0 ≤ x ≤ l),
n — квантовое число (n=1,2,3. ).

Энергия частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме
где m — масса частицы.

Электропроводность собственных полупроводников
где е — заряд электрона,
n — концентрация носителей заряда,
u_р — подвижность электронов,
u_n — подвижность дырок.

Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, германия, кремния

Поделитесь ссылкой с друзьями:

Квантовая механика

Ква́нтовая меха́ника, раздел теоретичеcкой физики, представляющий собой систему понятий и математический аппарат, необходимые для описания физических явлений, обусловленных существованием в природе наименьшего кванта действия h h h ( постоянной Планка ). Численное значение h = 6 , 62607 ⋅ 1 0 – 34 h=6,62607·10^ h = 6 , 62607 ⋅ 1 0 –34 Дж·с (и другое, часто используемое значение ℏ = h / 2 π = 1 , 05457 ⋅ 1 0 – 34 \hbar=h/2\pi=1,05457·10 ^ ℏ = h /2 π = 1 , 05457 ⋅ 1 0 –34 Дж·с) чрезвычайно мало, но тот факт, что оно конечно, принципиально отличает квантовые явления от всех других и определяет их основные особенности. К квантовым явлениям относятся процессы излучения, явления атомной и ядерной физики, физики конденсированных сред , химическая связь и др.

История создания квантовой механики

Исторически первым явлением, для объяснения которого в 1900 г. было введено понятие кванта действия h h h , был спектр излучения абсолютно чёрного тела , т. е. зависимость интенсивности теплового излучения от его частоты ν \nu ν и температуры T T T нагретого тела. Первоначально связь этого явления с процессами, происходящими в атоме, не была ясна; в то время не была общепризнанной и сама идея атома, хотя уже тогда были известны наблюдения, которые указывали на сложную внутриатомную структуру.

В 1802 г. У. Волластон обнаружил в спектре излучения Солнца узкие спектральные линии, которые в 1814 г. подробно описал Й. Фраунгофер . В 1859 г. Г. Кирхгоф и Р. В. Бунзен установили, что каждому химическому элементу присущ индивидуальный набор спектральных линий, а швейцарский учёный И. Я. Бальмер (1885), шведский физик Й. Ридберг (1890) и немецкий учёный В. Ритц (1908) обнаружили в их расположении определённые закономерности. В 1896 г. П. Зееман наблюдал расщепление спектральных линий в магнитном поле ( эффект Зеемана ), которое Х. А. Лоренц в следующем году объяснил движением электрона в атоме. Существование электрона экспериментально доказал в 1897 г. Дж. Дж. Томсон .

Существующие физические теории оказались недостаточными для объяснения законов фотоэффекта: оказалось, что энергия электронов, вылетающих из вещества при облучении его светом, зависит только от частоты света v v v , а не от его интенсивности ( А. Г. Столетов , 1889; Ф. фон Ленард , 1904). Этот факт полностью противоречил общепринятой в то время волновой природе света, но естественно объяснялся в предположении, что свет распространяется в виде квантов энергии E = h ν E=h \nu E = h ν ( А. Эйнштейн , 1905), названных впоследствии фотонами ( Г. Льюис , 1926).

В течение 10 лет после открытия электрона было предложено несколько моделей атома, не подкреплённых, однако, экспериментами. В 1909–1911 гг. Э. Резерфорд , изучая рассеяние альфа-частиц на атомах, установил существование компактного положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена практически вся масса атома. Эти эксперименты стали основой планетарной модели атома : положительно заряженное ядро, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Такая модель, однако, противоречила факту стабильности атома, поскольку из классической электродинамики следовало, что через время порядка 10 –9 с вращающийся электрон упадёт на ядро, потеряв энергию на излучение.

В 1913 г. Н. Бор предположил, что стабильность планетарного атома объясняется конечностью кванта действия h h h . Он постулировал, что в атоме существуют стационарные орбиты, на которых электрон не излучает (первый постулат Бора), и выделил эти орбиты из всех возможных условием квантования: 2 π m v r = n h 2 \pi mvr=n h 2 πm v r = nh , где m m m – масса электрона, v v v – его орбитальная скорость, r r r – расстояние до ядра, n = 1 , 2 , 3 , … n=1,2,3,\dots n = 1 , 2 , 3 , … – целые числа. Из этого условия Бор определил энергии E n = − m e 4 / 2 ℏ 2 n 2 E_n=-me^4/2 \hbar^2n^2 E n ​ = − m e 4 /2 ℏ 2 n 2 (e – электрический заряд электрона) стационарных состояний, а также диаметр атома водорода (порядка 10 –8 cм) – в полном соответствии с выводами кинетической теории материи.

Второй постулат Бора утверждал, что излучение происходит только при переходах электронов с одной стационарной орбиты на другую, причём частота излучения ν n k \nu_ ν nk ​ переходов из состояния E n E_n E n ​ в состояние E k E_k E k ​ равна ν n k = ( E k − E n ) / h \nu_=(E_k-E_n)/h ν nk ​ = ( E k ​ − E n ​ ) / h (см. Атомная физика ). Теория Бора естественным образом объясняла закономерности в спектрах атомов, однако её постулаты находились в очевидном противоречии с классической механикой и теорией электромагнитного поля.

В 1922 г. А. Комптон , изучая рассеяние рентгеновских лучей на электронах, установил, что падающий и рассеянный рентгеновские кванты энергии ведут себя как частицы. В 1923 г. Ч. Т. Р. Вильсон и Д. В. Скобельцын наблюдали электрон отдачи в этой реакции и тем самым подтвердили корпускулярную природу рентгеновских лучей (ядерного γ \gamma γ -излучения). Это, однако, противоречило опытам М. фон Лауэ , который ещё в 1912 г. наблюдал дифракцию рентгеновских лучей и тем самым доказал их волновую природу.

В 1921 г. немецкий физик К. Рамзауэр обнаружил, что при определённой энергии электроны проходят сквозь газы, практически не рассеиваясь, подобно световым волнам в прозрачной среде. Это было первое экспериментальное свидетельство о волновых свойствах электрона, реальность которых в 1927 г. была подтверждена прямыми опытами К. Дж. Дэвиссона , Л. Джермера и Дж. П. Томсона .

В 1923 г. Л. де Бройль ввёл понятие волн материи: каждой частице с массой m m m и скоростью v v v можно сопоставить волну с длиной λ = h / m v \lambda=h/mv λ = h / m v , точно так же, как каждой волне с частотой ν = c / λ \nu=c/\lambda ν = c / λ можно сопоставить частицу с энергией E = h ν E=h \nu E = h ν . Обобщение этой гипотезы, известное как корпускулярно-волновой дуализм , стало фундаментом и универсальным принципом квантовой физики.
Рис. 1. Интерференция рентгеновского излучения. 1963. Фото: Стратер Арнотт. Королевский колледж Лондона. Адаптация: БРЭ. Рис. 1. Интерференция рентгеновского излучения. 1963. Фото: Стратер Арнотт. Королевский колледж Лондона. Адаптация: БРЭ. Суть его состоит в том, что одни и те же объекты исследования проявляют себя двояко: либо как частица, либо как волна – в зависимости от условий их наблюдения. Соотношения между характеристиками волны и частицы были установлены ещё до создания квантовой механики: E = h ν E=h \nu E = h ν (1900) и λ = h / m v = h / p \lambda=h/mv=h/p λ = h / m v = h / p (1923), где частота ν \nu ν и длина волны λ \lambda λ – характеристики волны, а энергия E E E и масса m m m , скорость v v v и импульс p = m v p=mv p = m v – характеристики частицы; связь между этими двумя типами характеристик осуществляется через постоянную Планка h h h . Наиболее отчётливо соотношения дуальности выражаются через круговую частоту ω = 2 π ν \omega=2 \pi \nu ω = 2 π ν и волновой вектор k = 2 π / λ \boldsymbol k=2\pi/\lambda k = 2 π / λ : E = ℏ ω , p = ℏ k E=\hbar \omega, \boldsymbol p =\hbar \boldsymbol k E = ℏ ω , p = ℏ k . Наглядная иллюстрация дуализма волна – частица представлена на рисунке 1: дифракционные кольца, наблюдаемые при рассеянии электронов и рентгеновских лучей, практически идентичны. Квантовая механика – теоретичеcкий базис всей квантовой физики – была создана за неполных три года. В 1925 г. В. Гейзенберг , опираясь на идеи Бора, предложил матричную механику, которая к концу того же года приобрела вид законченной теории в трудах М. Борна , немецкого физика П. Йордана и П. Дирака . Основными объектами этой теории стали матрицы специального вида, которые в квантовой механике представляют физические величины классической механики. В 1926 г. Э. Шрёдингер , исходя из представлений Л. де Бройля о волнах материи, предложил волновую механику, где основную роль играет волновая функцияквантового состояния , которая подчиняется дифференциальному уравнению 2-го порядка с заданными граничными условиями . Обе теории одинаково хорошо объясняли устойчивость планетарного атома и позволяли вычислить его основные характеристики. В том же году М. Борн предложил статистическую интерпретацию волновой функции, Шрёдингер (а также независимо В. Паули и др.) доказал математическую эквивалентность матричной и волновой механик, а Борн совместно с Н. Винером ввёл понятие оператора физической величины. В 1927 г. В. Гейзенберг открыл соотношение неопределённостей , а Н. Бор сформулировал принцип дополнительности . Открытие спина электрона ( Дж. Уленбек и С. Гаудсмит , 1925) и вывод уравнения Паули , учитывающего спин электрона (1927), завершили логическую и расчётную схемы нерелятивистской квантовой механики, а П. Дирак и Дж. фон Нейман изложили квантовую механику как законченную концептуально независимую теорию на базе ограниченного набора понятий и постулатов, таких как оператор, вектор состояния, амплитуда вероятности, суперпозиция состояний и др.

Основные понятия и формализм квантовой механики

Основным уравнением квантовой механики является волновое уравнение Шрёдингера, роль которого подобна роли уравнений Ньютона в классической механике и уравнениям Максвелла в электродинамике. В пространстве переменных x x x (координата) и t t t (время) оно имеет вид i ℏ ∂ ψ ∂ t = H ^ ψ i\hbar \frac<\partial \psi><\partial t>=\hat \psi i ℏ ∂ t ∂ ψ ​ = H ^ ψ , где H ^ \hat H H ^ – оператор Гамильтона ; его вид совпадает с оператором Гамильтона классической механики, в котором координата x x x и импульс p p p заменены на операторы x ^ \hat x x ^ и p ^ \hat p p ^ ​ этих переменных, т. е. H ^ = p ^ 2 2 m + V ( x ) , x ^ = x , p ^ = − i ℏ ∂ ∂ x \hat H=\frac<\hat p^2>+V(x), \hat x=x, \hat p=-i \hbar \frac<\partial> <\partial x>H ^ = 2 m p ^ ​ 2 ​ + V ( x ) , x ^ = x , p ^ ​ = − i ℏ ∂ x ∂ ​ , где V(x) – потенциальная энергия системы. В отличие от уравнения Ньютона, из которого находится наблюдаемая траектория x ( t ) x(t) x ( t ) материальной точки, движущейся в поле сил потенциала V ( x ) V(\boldsymbol x) V ( x ) , из уравнения Шрёдингера находят ненаблюдаемую волновую функцию ψ ( x ) \psi(\boldsymbol x) ψ ( x ) квантовой системы, с помощью которой, однако, можно вычислить значения всех измеримых величин. Сразу же после открытия уравнения Шрёдингера М. Борн объяснил смысл волновой функции: ∣ ψ ( x ) ∣ 2 |\psi(x)|^2 ∣ ψ ( x ) ∣ 2 – это плотность вероятности , а ∣ ψ ( x ) ∣ 2 ⋅ Δ x |\psi(x)|^2\cdot \Delta x ∣ ψ ( x ) ∣ 2 ⋅ Δ x – вероятность обнаружить квантовую систему в интервале Δ x \Delta x Δ x значений координаты x x x . Каждой физической величине (динамической переменной классической механики) в квантовой механике сопоставляется наблюдаемая a a a и соответствующий ей эрмитов оператор A ^ \hat A A ^ , который в выбранном базисе комплексных функций ∣ i ⟩ = f i ( x ) |i\rangle=f_i(x) ∣ i ⟩ = f i ​ ( x ) представляется матрицей A i j = ⟨ i ∣ A ^ ∣ j ⟩ = ∫ f i ∗ ( x ) A ^ f j ( x ) d x A_=\langle i|\hat A|j\rangle=\int f_i^*(x)\hat Af_j(x)dx A ij ​ = ⟨ i ∣ A ^ ∣ j ⟩ = ∫ f i ∗ ​ ( x ) A ^ f j ​ ( x ) d x , где f ∗ ( x ) f^*(x) f ∗ ( x ) – функция, комплексно сопряжённая к функции f ( x ) f(x) f ( x ) . Ортогональным базисом в этом пространстве является набор собственных функций ∣ n ⟩ = ∣ f n ( x ) ⟩ |n\rangle=|f_n(x)\rangle ∣ n ⟩ = ∣ f n ​ ( x )⟩ , n = 1 , 2 , 3 , … n=1,2,3,\dots n = 1 , 2 , 3 , … , для которых действие оператора A ^ \hat A A ^ сводится к умножению на число ( собственное значение a n a_n a n ​ оператора A ^ \hat A A ^ ): A ^ ∣ n ⟩ = a n ∣ n ⟩ \hat A|n\rangle=a_n| n\rangle A ^ ∣ n ⟩ = a n ​ ∣ n ⟩ . Базис функций ∣ n ⟩ |n\rangle ∣ n ⟩ нормирован условием ⟨ n ∣ n ′ ⟩ = δ n n ′ = < 1 при n = n ′ 0 при n ≠ n ′ \langle n|n'\rangle=\delta_= \begin 1 & \quad \text n=n'\\ 0 & \quad \text n \neq n'\\ \end ⟨ n ∣ n ′ ⟩ = δ n n ′ ​ = < 1 0 ​ при n = n ′ при n  = n ′ ​ , а число базисных функций (в отличие от базисных векторов трёхмерного пространства классической физики) бесконечно, причём индекс n n n может изменяться как дискретно, так и непрерывно. Все возможные значения наблюдаемой a a a содержатся в наборе < a n >\ < a n ​ >собственных значений соответствующего ей оператора A ^ \hat A A ^ , и только эти значения могут стать результатами измерений. Основным объектом квантовой механики является вектор состояния ∣ Ψ ⟩ |\Psi\rangle ∣Ψ ⟩ , который может быть разложен по собственным функциям ∣ n ⟩ |n\rangle ∣ n ⟩ выбранного оператора A ^ \hat A A ^ : ∣ Ψ ⟩ = ∑ n ψ n ∣ n ⟩ |\Psi\rangle=\sum_n \psi_n|n\rangle ∣Ψ ⟩ = ∑ n ​ ψ n ​ ∣ n ⟩ , где ψ n \psi_n ψ n ​ – амплитуда вероятности (волновая функция) состояния ∣ n ⟩ |n\rangle ∣ n ⟩ , а ∣ ψ n ∣ 2 |\psi_n|^2 ∣ ψ n ​ ∣ 2 равно весу состояния n n n в разложении ∣ Ψ ⟩ |\Psi\rangle ∣Ψ ⟩ , причём ⟨ Ψ ∣ Ψ ⟩ = ∑ n ∣ ψ n ∣ 2 = 1 \langle\Psi|\Psi\rangle=\sum_n|\psi_n|^2=1 ⟨ Ψ∣Ψ ⟩ = ∑ n ​ ∣ ψ n ​ ∣ 2 = 1 , т. е. полная вероятность найти систему в одном из квантовых состояний n n n равна единице. В квантовой механике Гейзенберга операторы A ^ \hat A A ^ и соответствующие им матрицы подчиняются уравнению i ℏ ∂ A ^ ∂ t = [ A ^ , H ^ ] i\hbar \frac<\partial \hat A><\partial t>=[\hat A,\hat H] i ℏ ∂ t ∂ A ^ ​ = [ A ^ , H ^ ] , где ∣ A ^ , H ^ ∣ = A ^ H ^ − H ^ A ^ |\hat A, \hat H|=\hat A\hat H-\hat H\hat A ∣ A ^ , H ^ ∣ = A ^ H ^ − H ^ A ^ – коммутатор операторов A ^ \hat A A ^ и H ^ \hat H H ^ . В отличие от схемы Шрёдингера, где от времени зависит волновая функция ψ \psi ψ , в схеме Гейзенберга временнáя зависимость отнесена к оператору A ^ \hat A A ^ . Оба эти подхода математически эквивалентны, однако в многочисленных приложениях квантовой механики подход Шрёдингера оказался предпочтительнее. Собственное значение оператора Гамильтона H ^ \hat H H ^ есть полная энергия системы E E E , не зависящая от времени, которая находится как решение стационарного уравнения Шрёдингера H ^ ψ = E ψ \hat H\psi=E\psi H ^ ψ = E ψ . Его решения подразделяются на два типа в зависимости от вида граничных условий. Для локализованного состояния волновая функция удовлетворяет естественному граничному условию ψ ( ∞ ) = 0 \psi(\infty)=0 ψ ( ∞ ) = 0 . В этом случае уравнение Шрёдингера имеет решение только для дискретного набора энергий E n , n = 1 , 2 , 3 , … E_n, n=1,2,3,\dots E n ​ , n = 1 , 2 , 3 , … , которым соответствуют волновые функции ψ n ( r ) \psi_n(\boldsymbol r) ψ n ​ ( r ) : H ^ ψ n = E n ψ n \hat H\psi_n=E_n\psi_n H ^ ψ n ​ = E n ​ ψ n ​ . Примером локализованного состояния является атом водорода. Его гамильтониан H ^ \hat H H ^ имеет вид H ^ = − ℏ 2 2 m Δ − e 2 r \hat H=-\frac<\hbar^2>\Delta-\frac H ^ = − 2 m ℏ 2 ​ Δ − r e 2 ​ , где Δ = ∂ 2 / ∂ x 2 + ∂ 2 / ∂ y 2 + ∂ 2 / ∂ z 2 \Delta=\partial^2/\partial x^2+\partial^2/\partial y^2+\partial^2/\partial z^2 Δ = ∂ 2 / ∂ x 2 + ∂ 2 / ∂ y 2 + ∂ 2 / ∂ z 2 – оператор Лапласа , e 2 / r e^2/r e 2 / r – потенциал взаимодействия электрона и ядра, r r r – расстояние от ядра до электрона, а собственные значения энергии E n E_n E n ​ , вычисленные из уравнения Шрёдингера, совпадают с уровнями энергии атома Бора. Простейший пример нелокализованного состояния – свободное одномерное движение электрона с импульсом p p p . Ему соответствует уравнение Шрёдингера p ^ ψ p = − i ℏ ∂ ∂ x ψ p = p ψ p \hat p\psi_p=-i\hbar \frac<\partial><\partial x>\psi_p=p\psi_p p ^ ​ ψ p ​ = − i ℏ ∂ x ∂ ​ ψ p ​ = p ψ p ​ , решением которого является плоская волна ψ p ( x ) = C exp ⁡ < i p x ℏ >= C exp ⁡ < i k x >\psi_p(x)=C \exp \< <\hbar>> \> =C\exp\ ψ p ​ ( x ) = C exp < i ℏ p x ​ >= C exp < ik x >, где в общем случае C = ∣ C ∣ exp ⁡ < i ϕ >C=|C|\exp\ C = ∣ C ∣ exp < i ϕ >– комплексная функция, ∣ C ∣ |C| ∣ C ∣ и ϕ \phi ϕ – её модуль и фаза. В этом случае энергия электрона E = p 2 / 2 m E=p^2/2m E = p 2 /2 m , а индекс p p p решения ψ p ( x ) \psi_p(x) ψ p ​ ( x ) принимает непрерывный ряд значений. Операторы координаты и импульса (и любой другой пары канонически сопряжённых переменных) подчиняются перестановочному (коммутационному) соотношению : [ x ^ , p ^ ] = x ^ p ^ − p ^ x ^ = i ℏ [\hat x, \hat p]=\hat x \hat p-\hat p \hat x=i\hbar [ x ^ , p ^ ​ ] = x ^ p ^ ​ − p ^ ​ x ^ = i ℏ . Общего базиса собственных функций для пар таких операторов не существует, а соответствующие им физические. величины не могут быть определены одновременно с произвольной точностью. Из соотношения коммутации для операторов x ^ \hat x x ^ и p ^ \hat p p ^ ​ следует ограничение на точность Δ x \Delta x Δ x и Δ p \Delta p Δ p определения координаты x x x и сопряжённого ей импульса p p p квантовой системы (соотношение неопределённостей Гейзенберга): Δ x ⋅ Δ p ≥ ℏ 2 \Delta x\cdot \Delta p \geq \frac <\hbar> Δ x ⋅ Δ p ≥ 2 ℏ ​ . Отсюда, в частности, сразу следует вывод об устойчивости атома, поскольку соотношение Δ x = Δ p = 0 \Delta x=\Delta p=0 Δ x = Δ p = 0 , соответствующее падению электрона на ядро, в этой схеме запрещено. Совокупность одновременно измеримых величин, характеризующих квантовую систему, представляется набором операторов < A ^ , B ^ , C ^ , … >\ <\hat A, \hat B, \hat C, \dots\> < A ^ , B ^ , C ^ , … >, коммутирующих между собой, т. е. удовлетворяющих соотношениям A ^ B ^ − B ^ A ^ = A ^ C ^ − C ^ A ^ = B ^ C ^ − C ^ B ^ = … = 0 \hat A\hat B-\hat B\hat A=\hat A\hat C-\hat C\hat A=\hat B\hat C-\hat C\hat B=\ldots=0 A ^ B ^ − B ^ A ^ = A ^ C ^ − C ^ A ^ = B ^ C ^ − C ^ B ^ = … = 0 . Для нерелятивистского атома водорода такой набор составляют, например, операторы: H ^ \hat H H ^ (оператор полной энергии), L ^ 2 \hat L^2 L ^ 2 (квадрат оператора момента) и L ^ z \hat L_z L ^ z ​ ( z z z -компонента оператора момента). Вектор состояния атома определяется как совокупность общих собственных функций ψ i ( r ) \psi_i(\boldsymbol r) ψ i ​ ( r ) всех операторов H ^ \hat H H ^ , L ^ 2 \hat L^2 L ^ 2 , L ^ z \hat L_z L ^ z ​ , которые нумеруются набором < i >= ( n l m ) \=(nlm) < i >= ( n l m ) квантовых чисел энергии ( n = 1 , 2 , 3 , … n=1,2,3,\dots n = 1 , 2 , 3 , … ), орбитального момента ( l = 0 , 1 , … , n − 1 l=0,1,\dots, n-1 l = 0 , 1 , … , n − 1 ) и его проекции на ось z z z ( m = − l , … , − 1 , 0 , 1 , … , l m=-l, \dots, -1,0,1,\dots,l m = − l , … , − 1 , 0 , 1 , … , l ). Функции ∣ ψ i ( r ) ∣ 2 |\psi_i(\boldsymbol r)|^2 ∣ ψ i ​ ( r ) ∣ 2 можно условно рассматривать как форму атома в различных квантовых состояниях i i i (т. н. силуэты Уайта). Значение физической величины (наблюдаемая квантовой механики) определяется как среднее значение A ˉ \bar A A ˉ соответствующего ей оператора A ^ \hat A A ^ : A ˉ = ⟨ Ψ ∣ A ^ ∣ Ψ ⟩ = ∑ m , n ψ m ∗ A m n ψ n \bar A=\langle\Psi|\hat A|\Psi\rangle=\sum_\psi^*_mA_\psi_n A ˉ = ⟨ Ψ∣ A ^ ∣Ψ ⟩ = ∑ m , n ​ ψ m ∗ ​ A mn ​ ψ n ​ . Это соотношение справедливо для чистых состояний, т. е. для изолированных квантовых систем. В общем случае смешанных состояний мы всегда имеем дело с большой совокупностью ( статистическим ансамблем ) идентичных систем (например, атомов), свойства которой определяются путём усреднения по этому ансамблю. В этом случае среднее значение A ˉ \bar A A ˉ оператора A ^ \hat A A ^ принимает вид A ˉ = ∑ m , n ρ n m A m n \bar A=\sum_\rho_A_ A ˉ = ∑ m , n ​ ρ nm ​ A mn ​ , где ρ n m \rho_ ρ nm ​ – матрица плотности ( Л. Д. Ландау , Дж. фон Нейман, 1929) с условием нормировки ∑ n ρ n n = 1 \sum_n\rho_=1 ∑ n ​ ρ nn ​ = 1 . Формализм матрицы плотности позволяет объединить квантовомеханическое усреднение по состояниям и статистическое усреднение по ансамблю. Матрица плотности играет важную роль также в теории квантовых измерений, суть которых всегда состоит во взаимодействии квантовой и классической подсистем. Понятие матрицы плотности является основой квантовой статистики и базисом для одной из альтернативных формулировок квантовой механики. Ещё одну форму квантовой механики, основанную на понятии континуального интеграла (или интеграла по траекториям ), предложил Р. Фейнман в 1948 г.

Принцип соответствия

Квантовая механика имеет глубокие корни как в классической, так и в статистической механике. Уже в своей первой работе Н. Бор сформулировал принцип соответствия, согласно которому квантовые соотношения должны переходить в классические при больших квантовых числах n n n . П. Эренфест в 1927 г. показал, что с учётом уравнений квантовой механики среднее значение A ˉ \bar A A ˉ оператора A ^ \hat A A ^ удовлетворяет уравнению движения классической механики. Теорема Эренфеста есть частный случай общего принципа соответствия: в пределе h → 0 h \to 0 h → 0 уравнения квантовой механики переходят в уравнения классической механики. В частности, волновое уравнение Шрёдингера в пределе h → 0 h \to 0 h → 0 переходит в уравнение геометрической оптики для траектории светового луча (и любого излучения) без учёта его волновых свойств. Представив решение ψ ( x ) \psi(x) ψ ( x ) уравнения Шрёдингера в виде ψ ( x ) = exp ⁡ < i S / ℏ >\psi(x)=\exp\ ψ ( x ) = exp < i S /ℏ >, где S = ∫ p ( x ) d x S=\int p(x)dx S = ∫ p ( x ) d x – аналог классического интеграла действия, можно убедиться, что в пределе ℏ → 0 \hbar \to 0 ℏ → 0 функция S S S удовлетворяет классическому уравнению Гамильтона – Якоби . Кроме того, в пределе h → 0 h \to 0 h → 0 операторы x ^ \hat x x ^ и p ^ \hat p p ^ ​ коммутируют и соответствующие им значения координаты и импульса могут быть определены одновременно, как это и предполагается в классической механике. Наиболее существенные аналогии между соотношениями классической и квантовой механик для периодических движений прослеживаются на фазовой плоскости канонически сопряжённых переменных, например координаты x x x и импульса p p p системы. Интегралы типа ∮ p ( x ) d x \oint p(x)dx ∮ p ( x ) d x , взятые по замкнутой траектории (интегральные инварианты Пуанкаре), известны в предыстории квантовой механики как адиабатические инварианты Эренфеста. А. Зоммерфельд использовал их для описания квантовых закономерностей на языке классической механики, в частности для пространственного квантования атома и введения квантовых чисел l l l и m m m (именно он ввёл этот термин в 1915). Размерность фазового интеграла ∮ p d x \oint pdx ∮ p d x совпадает с размерностью постоянной Планка h h h , и в 1911 г. А. Пуанкаре и М. Планк предложили рассматривать квант действия h h h как минимальный объём фазового пространства, число n n n ячеек которого кратно h h h : n = ∮ p d x / h n=\oint pdx/h n = ∮ p d x / h . В частности, при движении электрона по круговой траектории с постоянным импульсом p p p из соотношения n = ∮ p ( x ) d x / ℏ = p ⋅ 2 π r / h n=\oint p(x)dx/\hbar=p \cdot 2\pi r/h n = ∮ p ( x ) d x /ℏ = p ⋅ 2 π r / h сразу следует условие квантования Бора: m v r = n h mvr=n h m v r = nh ( П. Дебай , 1913). Однако в случае одномерного движения в потенциале V ( x ) = m ω 0 2 x 2 / 2 V(x)=m\omega_0^2x^2/2 V ( x ) = m ω 0 2 ​ x 2 /2 ( гармонический осциллятор с собственной частотой ω 0 \omega_0 ω 0 ​ ) из условия квантования ∮ p ( x ) d x = n h \oint p(x)dx=n h ∮ p ( x ) d x = nh следует ряд значений энергии E n = ℏ ω 0 n E_n=\hbar \omega_0n E n ​ = ℏ ω 0 ​ n , в то время как точное решение квантовых уравнений для осциллятора приводит к последовательности E n = ℏ ω 0 ( n + 1 / 2 ) E_n=\hbar \omega_0(n+1/2) E n ​ = ℏ ω 0 ​ ( n + 1/2 ) . Этот результат квантовой механики, впервые полученный В. Гейзенбергом, принципиально отличается от приближённого наличием нулевой энергии колебаний E 0 = ℏ ω 0 / 2 E_0=\hbar \omega_0/2 E 0 ​ = ℏ ω 0 ​ /2 , которая имеет чисто квантовую природу: состояние покоя ( x = 0 , p = 0 x=0, p=0 x = 0 , p = 0 ) в квантовой механике запрещено, поскольку оно противоречит соотношению неопределённостей Δ x ⋅ Δ p ≥ ℏ / 2 \Delta x\cdot\Delta p \geq \hbar/2 Δ x ⋅ Δ p ≥ ℏ/2 .

Принцип суперпозиции состояний и вероятностная интерпретация

Основное и наглядное противоречие между корпускулярной и волновой картинами квантовых явлений удалось устранить в 1926 г., после того как М. Борн предложил интерпретировать комплексную волновую функцию ψ n ( x ) = ∣ ψ n ( x ) ∣ ⋅ exp ⁡ ( i ϕ n ) \psi_n(x)=|\psi_n(x)|\cdot \exp(i \phi_n) ψ n ​ ( x ) = ∣ ψ n ​ ( x ) ∣ ⋅ exp ( i ϕ n ​ ) как амплитуду вероятности состояния n n n , а квадрат её модуля ∣ ψ n ( x ) ∣ 2 |\psi_n(x)|^2 ∣ ψ n ​ ( x ) ∣ 2 – как плотность вероятности обнаружить состояние n n n в точке x x x . Квантовая система может находиться в различных, в том числе альтернативных, состояниях, а её амплитуда вероятности равна линейной комбинации амплитуд вероятности этих состояний: ψ = ψ 1 + ψ 2 + … \psi=\psi_1+\psi_2+\dots ψ = ψ 1 ​ + ψ 2 ​ + … Плотность вероятности результирующего состояния равна квадрату суммы амплитуд вероятности, а не сумме квадратов амплитуд, как это имеет место в статистической физике : ∣ ψ ∣ 2 = ∣ ψ 1 + ψ 2 + … ∣ 2 ≠ ∣ ψ 1 ∣ 2 + ∣ ψ 2 ∣ 2 + … |\psi|^2=|\psi_1+\psi_2+\dots|^2 \neq |\psi_1|^2+|\psi_2|^2+\dots ∣ ψ ∣ 2 = ∣ ψ 1 ​ + ψ 2 ​ + … ∣ 2  = ∣ ψ 1 ​ ∣ 2 + ∣ ψ 2 ​ ∣ 2 + … Рис. 2. Рассеяние электронов на двух щелях: вместо изображения двух щелей на фотографии видна система интерференционных полос. Рис. 2. Рассеяние электронов на двух щелях: вместо изображения двух щелей на фотографии видна система интерференционных полос. Этот постулат – принцип суперпозиции состояний – один из важнейших в системе понятий квантовой механики; он имеет много наблюдаемых следствий. Одно из них, а именно прохождение электрона через две близко расположенные щели, обсуждается чаще других (рис. 2). Пучок электронов падает слева, проходит сквозь щели в перегородке и затем регистрируется на экране (или фотопластинке) справа. Если поочерёдно закрывать каждую из щелей, то на экране справа мы увидим изображение открытой щели. Но если открыть обе щели одновременно, то вместо двух щелей мы увидим систему интерференционных полос, интенсивность которых описывается выражением: ∣ ψ ∣ 2 = ∣ ψ 1 + ψ 2 ∣ 2 = ( ψ 1 ∗ + ψ 2 ∗ ) ( ψ 1 + ψ 2 ) = ∣ ψ 1 ∣ 2 + ∣ ψ 2 ∣ 2 + ( ψ 1 ∗ ψ 2 + ψ 1 ψ 2 ∗ ) = ∣ ψ 1 ∣ 2 + ∣ ψ 2 ∣ 2 + 2 ∣ ψ 1 ∣ ∣ ψ 2 ∣ cos ⁡ ( ϕ 1 − ϕ 2 ) |\psi|^2=|\psi_1+\psi_2|^2=(\psi_1^*+\psi_2^*)(\psi_1+\psi_2)=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+(\psi_1^*\psi_2+\psi_1\psi_2^*)=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+2|\psi_1||\psi_2|\cos(\phi_1-\phi_2) ∣ ψ ∣ 2 = ∣ ψ 1 ​ + ψ 2 ​ ∣ 2 = ( ψ 1 ∗ ​ + ψ 2 ∗ ​ ) ( ψ 1 ​ + ψ 2 ​ ) = ∣ ψ 1 ​ ∣ 2 + ∣ ψ 2 ​ ∣ 2 + ( ψ 1 ∗ ​ ψ 2 ​ + ψ 1 ​ ψ 2 ∗ ​ ) = ∣ ψ 1 ​ ∣ 2 + ∣ ψ 2 ​ ∣ 2 + 2∣ ψ 1 ​ ∣∣ ψ 2 ​ ∣ cos ( ϕ 1 ​ − ϕ 2 ​ ) . Последний член в этой сумме представляет интерференцию двух волн вероятности, пришедших в данную точку экрана из разных щелей в перегородке, и зависит от разности фаз волновых функций Δ ϕ = ϕ 1 − ϕ 2 \Delta\phi=\phi_1-\phi_2 Δ ϕ = ϕ 1 ​ − ϕ 2 ​ . В случае равных амплитуд ∣ ψ 1 ∣ = ∣ ψ 2 ∣ |\psi_1|=|\psi_2| ∣ ψ 1 ​ ∣ = ∣ ψ 2 ​ ∣ : ∣ ψ ∣ 2 = 4 ∣ ψ 1 ∣ 2 sin ⁡ 2 Δ ϕ 2 |\psi|^2=4|\psi_1|^2\sin^2 \frac ∣ ψ ∣ 2 = 4∣ ψ 1 ​ ∣ 2 sin 2 2 Δ ϕ ​ , т. е. интенсивность изображения щелей в разных точках экрана меняется от 0 до 4 ∣ ψ 1 ∣ 2 4|\psi_1|^2 4∣ ψ 1 ​ ∣ 2 – в соответствии с изменением разности фаз Δ ϕ \Delta \phi Δ ϕ от 0 до π / 2 \pi/2 π /2 . В частности, при этом может оказаться, что при двух открытых щелях на месте изображения одиночной щели мы не обнаружим никакого сигнала, что с корпускулярной точки зрения абсурдно. Существенно, что эта картина явления не зависит от интенсивности пучка электронов, т. е. это не результат их взаимодействия между собой. Интерференционная картина возникает даже в пределе, когда электроны проходят через щели в перегородке поодиночке, т. е. каждый электрон интерферирует сам с собой. Такое невозможно для частицы, но вполне естественно для волны, например при её отражении или дифракции на препятствии, размеры которого сравнимы с её длиной. В этом опыте дуализм волна – частица проявляется в том, что один и тот же электрон регистрируется как частица, но распространяется как волна особой природы: это волна вероятности обнаружить электрон в какой-либо точке пространства. В такой картине процесса рассеяния вопрос «Через какую из щелей прошёл электрон-частица?» теряет смысл, поскольку соответствующая ему волна вероятности проходит через обе щели сразу. Другой пример, иллюстрирующий вероятностный характер явлений квантовой механики, – прохождение света через полупрозрачную пластинку. По определению, коэффициент отражения света равен отношению числа фотонов, отражённых от пластинки, к числу падающих. Однако это есть не результат усреднения большого числа событий, а характеристика, изначально присущая каждому фотону. Принцип суперпозиции и концепция вероятности позволили осуществить непротиворечивый синтез понятий «волна» и «частица»: каждое из квантовых событий и его регистрация дискретны, но их распределение диктуется законом распространения непрерывных волн вероятности.

Туннельный эффект и резонансное рассеяние

Туннельный эффект – едва ли не самое известное явление квантовой физики. Он обусловлен волновыми свойствами квантовых объектов и только в рамках квантовой механики получил адекватное объяснение. Пример туннельного эффекта – распад ядра радия на ядро радона и α \alpha α -частицу: R a − > R n + α Rn + \alpha> R a − > R n + α . На рисунке 3 приведена схема потенциала α \alpha α -распада V ( r ) V(r) V ( r ) : α \alpha α -частица колеблется с частотой v v v в «потенциальной яме» ядра с зарядом Z 0 Z_0 Z 0 ​ , а покинув её, движется в отталкивающем кулоновском потенциале 2 Z e 2 / r 2Ze^2/r 2 Z e 2 / r , где Z = Z 0 − 2 Z=Z_0-2 Z = Z 0 ​ − 2 . Рис. 3. Схема туннельного эффекта при альфа-распаде ядра с зарядом ��₀. Рис. 3. Схема туннельного эффекта при альфа-распаде ядра с зарядом ��₀. В классической механике частица не может покинуть потенциальную яму, если её энергия E E E меньше, чем высота потенциального барьера V макс V_ V макс ​ . В квантовой механике вследствие соотношения неопределённостей частица с конечной вероятностью W W W проникает в подбарьерную область r 0 < r < r 1 r_0 \lt r \lt r_1 r 0 ​ < r < r 1 ​ и может «просочиться» из области r < r 0 r \lt r_0 r < r 0 ​ в область r >r 1 r \gt r_1 r > r 1 ​ аналогично тому, как свет проникает в область геометрической тени на расстояния, сравнимые с длиной световой волны. Используя уравнение Шрёдингера, можно вычислить коэффициент D D D прохождения α \alpha α -частицы через барьер, который в квазиклассическом приближении равен: D ≈ exp ⁡ < − ∫ r 0 r 1 2 m ( V ( r ) − E ) d r >≈ exp ⁡ < − 4 π Z e 2 ℏ v >D \approx \exp \left\<-\displaystyle\int^_ \sqrt dr \right\> \approx \exp \left\<\hbar v>\right \> D ≈ exp < − ∫ r 0 ​ r 1 ​ 2 m ( V ( r ) − E ) ​ d r >≈ exp < − ℏ v 4 π Z e 2 ​ >. Со временем число ядер радия N ( t ) N(t) N ( t ) убывает по закону: N ( t ) = N 0 exp ⁡ < − t / τ >N(t)=N_0 \exp\ N ( t ) = N 0 ​ exp < − t / τ >, где τ \tau τ – среднее время жизни ядра, N 0 N_0 N 0 ​ – начальное число ядер при t = 0 t=0 t = 0 . Вероятность α \alpha α -распада W = v D W=vD W = v D связана с временем жизни соотношением W = 1 / τ W=1/\tau W = 1/ τ , откуда следует закон Гейгера – Неттола : ln ⁡ τ = 4 π Z e 2 ℏ v + const \ln\tau=\frac<4\pi Ze^2><\hbar v>+ \text ln τ = ℏ v 4 π Z e 2 ​ + const , где v v v – скорость α \alpha α -частицы, Z Z Z – заряд образовавшегося ядра. Экспериментально эта зависимость была обнаружена ещё в 1909 г., но только в 1928 г. Г. А. Гамов (и независимо английский физик Р. Гёрни и американский физик Э. Кондон ) впервые объяснил её на языке квантовой механики. Тем самым было показано, что квантовая механика описывает не только процессы излучения и другие явления атомной физики, но также явления ядерной физики. В атомной физике туннельный эффект объясняет явление автоэлектронной эмиссии . В однородном электрическом поле напряжённостью E \boldsymbol E E кулоновский потенциал V ( r ) = − e 2 / r V(r)=-e^2/r V ( r ) = − e 2 / r притяжения между ядром и электроном искажается: V ( r ) = e 2 / r − e E r V(r)=e^2/r-e \boldsymbol E r V ( r ) = e 2 / r − e E r , уровни энергии атома E n l m E_ E n l m ​ при этом смещаются, что приводит к изменению частот ν n k \nu_ ν nk ​ переходов между ними ( эффект Штарка ). Кроме того, качественно этот потенциал становится подобным потенциалу α \alpha α -распада, вследствие чего возникает конечная вероятность туннелирования электрона через потенциальный барьер ( Р. Оппенгеймер , 1928). При достижении критических значений E \boldsymbol E E барьер понижается настолько, что электрон покидает атом (т. н. лавинная ионизация). Альфа-распад есть частный случай распада квазистационарного состояния, который тесно связан с понятием квантовомеханического резонанса и позволяет понять дополнительные аспекты нестационарных процессов в квантовой механике. Из уравнения Шрёдингера следует зависимость его решений от времени: ψ ( x , t ) = exp ⁡ < − i ℏ E t >ψ ( x ) \psi(x,t)=\exp \left\< -\frac<\hbar>Et \right\>\psi(x) ψ ( x , t ) = exp < − ℏ i ​ Et >ψ ( x ) , где E E E – собственное значение гамильтониана H ^ \hat H H ^ , которое для эрмитовых операторов квантовой механики действительно, а соответствующая ему наблюдаемая (полная энергия E E E ) не зависит от времени. Однако энергия нестационарных систем от времени зависит, и этот факт можно формально учесть, если энергию такой системы представить в комплексном виде: E = E 0 − i Г / 2 E=E_0-iГ/2 E = E 0 ​ − i Г /2 . В этом случае зависимость волновой функции от времени имеет вид ψ ( x , t ) = exp ⁡ < − i ℏ ( E 0 − i Г 2 ) t >ψ ( x ) \psi(x,t)=\exp \left\<- \frac <\hbar>\left(E_0-i \frac\right )t \right\>\psi(x) ψ ( x , t ) = exp < − ℏ i ​ ( E 0 ​ − i 2 Г ​ ) t >ψ ( x ) , а вероятность обнаружить соответствующее состояние убывает по экспоненциальному закону: ∣ ψ ( x , t ) ∣ 2 ∼ exp ⁡ < − Г ℏ t >= exp ⁡ < − t τ >|\psi(x,t)|^2 \sim \exp \left \<- \frac<\hbar>t \right \>=\exp \left \ \right \> ∣ ψ ( x , t ) ∣ 2 ∼ exp < − ℏ Г ​ t >= exp < − τ t ​ >, который совпадает по форме с законом α \alpha α -распада с постоянной распада τ = ℏ / Г \tau= \hbar/Г τ = ℏ/ Г . В обратном процессе, например при столкновении ядер дейтерия и трития , в результате которого образуются гелий и нейтрон ( реакция термоядерного синтеза ), используется понятие сечения реакции σ \sigma σ , которое определяется как мера вероятности реакции при единичном потоке сталкивающихся частиц. Для классических частиц сечение рассеяния на шарике радиусом r 0 r_0 r 0 ​ совпадает с его геометрическим сечением и равно σ = π r 0 2 \sigma=\pi r^2_0 σ = π r 0 2 ​ . В квантовой механике оно может быть представлено через фазы рассеяния δ l ( k ) \delta_l(k) δ l ​ ( k ) : σ ( E ) = 4 π k 2 ∑ l ( 2 l + 1 ) sin ⁡ 2 δ l ( k ) \sigma(E)=\frac<4\pi>\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l(k) σ ( E ) = k 2 4 π ​ ∑ l ​ ( 2 l + 1 ) sin 2 δ l ​ ( k ) , где k = p / ℏ = 2 m E / ℏ k=p/\hbar=\sqrt/\hbar k = p /ℏ = 2 m E ​ /ℏ – волновое число, l l l – орбитальный момент системы. В пределе очень малых энергий столкновения [ k → 0 , l = 0 и δ 0 ( k ) ≈ k r 0 ] [k \to 0, l=0 \quad\text \quad \delta_0(k) \approx kr_0] [ k → 0 , l = 0 и δ 0 ​ ( k ) ≈ k r 0 ​ ] сечение квантового рассеяния в 4 раза превышает геометрическое сечение шарика. (Этот эффект – одно из следствий волновой природы квантовых явлений.) В окрестности резонанса при E ≈ E 0 E \approx E_0 E ≈ E 0 ​ фаза рассеяния ведёт себя как δ 0 ( k ) ≈ arctgГ / 2 ( E − E 0 ) → E → E 0 π / 2 \delta_0(k) \approx \text Г/2(E-E_0) \xrightarrow[E \to E_0]<> \pi/2 δ 0 ​ ( k ) ≈ arctg Г /2 ( E − E 0 ​ ) E → E 0 ​ ​ π /2 , а сечение рассеяния равно σ ( E ) ≈ 4 π λ ˉ 2 W ( E ) ( 2 l + 1 ) \sigma(E)\approx 4 \pi \bar \lambda^2W(E)(2l+1) σ ( E ) ≈ 4 π λ ˉ 2 W ( E ) ( 2 l + 1 ) , где λ ˉ = 1 / k \bar\lambda=1/k λ ˉ = 1/ k , W ( E ) W(E) W ( E ) – функция Брейта – Вигнера: W ( E ) = Г 2 4 [ ( E − E 0 ) 2 + Г 2 4 ] − 1 W(E)= \frac \left[(E-E_0)^2+ \frac \right]^ W ( E ) = 4 Г 2 ​ [ ( E − E 0 ​ ) 2 + 4 Г 2 ​ ] − 1 . При малых энергиях рассеяния l 0 ≈ 0 l_0 \approx 0 l 0 ​ ≈ 0 , а длина волны де Бройля λ ˉ \bar\lambda λ ˉ значительно больше размеров ядер, поэтому при E = E 0 E=E_0 E = E 0 ​ резонансные сечения ядер σ рез ≈ 4 π λ ˉ 0 2 \sigma_ \approx 4 \pi \bar\lambda^2_0 σ рез ​ ≈ 4 π λ ˉ 0 2 ​ могут в тысячи и миллионы раз превышать их геометрические сечения π r 0 2 \pi r^2_0 π r 0 2 ​ . В ядерной физике именно от этих сечений зависит работа ядерного и термоядерного реакторов. В атомной физике это явление впервые наблюдали Дж. Франк и Г. Герц (1913) в опытах по резонансному поглощению электронов атомами ртути. В противоположном случае ( δ 0 = 0 \delta_0=0 δ 0 ​ = 0 ) сечение рассеяния аномально мало ( эффект Рамзауэра , 1921). Функция W ( E ) W(E) W ( E ) известна в оптике как лоренцевский профиль линии излучения и имеет вид типичной резонансной кривой с максимумом при E = E 0 E=E_0 E = E 0 ​ , а ширина резонанса Г = 2 Δ E = 2 ( E − E 0 ) Г=2\Delta E=2(E-E_0) Г = 2Δ E = 2 ( E − E 0 ​ ) определяется из соотношения W ( E 0 ± Δ E ) = W ( E 0 ) / 2 W(E_0 \pm \Delta E)=W(E_0)/2 W ( E 0 ​ ± Δ E ) = W ( E 0 ​ ) /2 . Функция носит универсальный характер и описывает как распад квазистационарного состояния, так и резонансную зависимость сечения рассеяния от энергии столкновения E E E , а в явлениях излучения определяет естественную ширину Γ Γ Γ спектральной линии, которая связана с временем жизни τ \tau τ излучателя соотношением τ = ℏ / Г \tau=\hbar/Г τ = ℏ/ Г . Это соотношение определяет также время жизни элементарных частиц. Из определения τ = ℏ / Г \tau=\hbar/Г τ = ℏ/ Г с учётом равенства Г = 2 Δ E Г=2\Delta E Г = 2Δ E следует соотношение неопределённостей для энергии и времени: Δ E ⋅ Δ t ≥ ℏ / 2 \Delta E \cdot \Delta t \geq\hbar/2 Δ E ⋅ Δ t ≥ ℏ/2 , где Δ t ≥ τ \Delta t \geq \tau Δ t ≥ τ . По форме оно аналогично соотношению Δ x ⋅ Δ p ≥ ℏ / 2 \Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2 Δ x ⋅ Δ p ≥ ℏ/2 , однако онтологический статус этого неравенства другой, поскольку в квантовой механике время t t t не является динамической переменной. Поэтому соотношение Δ E ⋅ Δ t ≥ ℏ / 2 \Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2 Δ E ⋅ Δ t ≥ ℏ/2 не следует непосредственно из основных постулатов стационарной квантовой механики и, строго говоря, имеет смысл только для систем, энергия которых меняется во времени. Его физический смысл состоит в том, что за время Δ t \Delta t Δ t энергия системы не может быть измерена точнее, чем величина Δ E \Delta E Δ E , определяемая соотношением Δ E ⋅ Δ t ≥ ℏ / 2 \Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2 Δ E ⋅ Δ t ≥ ℏ/2 . Стационарное состояние ( Δ E → 0 \Delta E \to 0 Δ E → 0 ) существует бесконечно долго ( Δ t → ∞ \Delta t \to \infty Δ t → ∞ ).

Спин, тождественность частиц и обменное взаимодействие

Понятие «спин» утвердилось в физике трудами В. Паули, нидерландского физика Р. Кронига , С. Гаудсмита и Дж. Уленбека (1924–27), хотя экспериментальные свидетельства о его существовании были получены задолго до создания квантовой механики в опытах А. Эйнштейна и В. Й. де Хааза (1915), а также О. Штерна и немецкого физика В. Герлаха (1922). Спин (собственный механический момент частицы) для электрона равен S = ℏ / 2 S=\hbar/2 S = ℏ/2 . Это такая же важная характеристика квантовой частицы, как и заряд и масса, которая, однако, не имеет классических аналогов. Оператор спина S ^ = ℏ σ ^ / 2 \hat S=\hbar \hat\sigma/2 S ^ = ℏ σ ^ /2 , где σ ^ = ( σ ^ x , σ ^ y , σ ^ z ) \hat\sigma=(\hat\sigma_x, \hat\sigma_y,\hat\sigma_z) σ ^ = ( σ ^ x ​ , σ ^ y ​ , σ ^ z ​ ) – двумерные матрицы Паули, определён в пространстве двухкомпонентных собственных функций u = ( u + , u − ) u=(u_+, u_-) u = ( u + ​ , u − ​ ) оператора S ^ z \hat S_z S ^ z ​ проекции спина на ось z z z : σ ^ z u = σ u , σ = ± 1 / 2 \hat\sigma_zu=\sigma u, \sigma=\pm 1/2 σ ^ z ​ u = σ u , σ = ± 1/2 . Собственный магнитный момент μ \boldsymbol \mu μ частицы с массой m m m и спином S S S равен μ = 2 μ 0 S \boldsymbol \mu=2 \mu_0 \boldsymbol S μ = 2 μ 0 ​ S , где μ 0 = e ℏ / 2 m c \mu_0=e \hbar/2mc μ 0 ​ = e ℏ/2 m c – магнетон Бора . Операторы S ^ 2 \hat S^2 S ^ 2 и S ^ z \hat S_z S ^ z ​ коммутируют с набором H ^ 0 \hat H_0 H ^ 0 ​ , L ^ 2 \hat L^2 L ^ 2 и L ^ z \hat L_z L ^ z ​ операторов атома водорода, и вместе они формируют гамильтониан уравнения Паули (1927), решения которого нумеруются набором i = ( n l m σ ) i=(nlm\sigma) i = ( n l mσ ) квантовых чисел собственных значений совокупности коммутирующих операторов H ^ 0 \hat H_0 H ^ 0 ​ , L ^ 2 \hat L^2 L ^ 2 , L ^ z \hat L_z L ^ z ​ , S ^ 2 \hat S^2 S ^ 2 , S ^ z \hat S_z S ^ z ​ . Эти решения описывают самые тонкие особенности наблюдаемых спектров атомов, в частности расщепление спектральных линий в магнитном поле (нормальный и аномальный эффект Зеемана ), а также их мультиплетную структуру в результате взаимодействия спина электрона с орбитальным моментом атома (тонкая структура) и спином ядра (сверхтонкая структура). В 1924 г., ещё до создания квантовой механики, В. Паули сформулировал принцип запрета: в атоме не может быть двух электронов с одним и тем же набором квантовых чисел i = ( n l m σ ) i=(nlm\sigma) i = ( n l mσ ) . Этот принцип позволил понять структуру периодической системы химических элементов и объяснить периодичность изменения их химических свойств при монотонном увеличении заряда их ядер. Принцип запрета есть частный случай более общего принципа, который устанавливает связь между спином частицы и симметрией её волновой функции. В зависимости от значения спина все элементарные частицы разделяются на два класса: фермионы – частицы с полуцелым спином (электрон, протон, μ \mu μ -мезон и т. д.) и бозоны – частицы с нулевым или целым спином (фотон, π \pi π -мезон, K K K -мезон и т. д.). В 1940 г. Паули доказал общую теорему о связи спина со статистикой, из которой следует, что волновые функции любой системы фермионов обладают отрицательной чётностью (меняют знак при их попарной перестановке), а чётность волновой функции системы бозонов всегда положительна. В соответствии с этим существуют два типа распределений частиц по энергиям: распределение Ферми – Дирака и распределение Бозе – Эйнштейна, частным случаем которого является распределение Планка для системы фотонов. Одно из следствий принципа Паули – существование т. н. обменного взаимодействия , которое проявляется уже в системе двух электронов. В частности, именно это взаимодействие обеспечивает ковалентную химическую связь атомов в молекулах Н₂, N₂, О₂ и т. п. Обменное взаимодействие – исключительно квантовый эффект, аналога такого взаимодействия в классической физике нет. Его специфика объясняется тем, что плотность вероятности волновой функции системы двух электронов ∣ ψ ( r 1 , r 2 ) 2 ∣ |\psi(r_1,r_2)^2| ∣ ψ ( r 1 ​ , r 2 ​ ) 2 ∣ содержит не только члены ∣ ψ n ( r 1 ) ∣ 2 ∣ ψ m ( r 2 ) ∣ 2 |\psi_n(r_1)|^2|\psi_m(r_2)|^2 ∣ ψ n ​ ( r 1 ​ ) ∣ 2 ∣ ψ m ​ ( r 2 ​ ) ∣ 2 , где n n n и m m m – квантовые состояния электронов обоих атомов, но также «обменные члены» ψ n ∗ ( r 1 ) ψ m ∗ ( r 1 ) ψ n ( r 2 ) ψ m ( r 2 ) \psi_n^*(r_1)\psi_m^*(r_1)\psi_n(r_2)\psi_m(r_2) ψ n ∗ ​ ( r 1 ​ ) ψ m ∗ ​ ( r 1 ​ ) ψ n ​ ( r 2 ​ ) ψ m ​ ( r 2 ​ ) , возникающие как следствие принципа суперпозиции, который позволяет каждому электрону находиться одновременно в различных квантовых состояниях n n n и m m m обоих атомов. Кроме того, в силу принципа Паули, спиновая часть волновой функции молекулы должна быть антисимметричной по отношению к перестановке электронов, т. е. химическая связь атомов в молекуле осуществляется парой электронов с противоположно направленными спинами. Волновая функция сложных молекул может быть представлена как суперпозиция волновых функций, соответствующих различным возможным конфигурациям молекулы ( теория резонанса , Л. Полинг , 1931–1933). Развитые в квантовой механике методы расчёта (метод Хартри – Фока, метод молекулярных орбиталей и др.) позволяют вычислить на современных компьютерах все характеристики устойчивых конфигураций сложных молекул: порядок заполнения электронных оболочек в атоме, равновесные расстояния между атомами в молекулах, энергию и направление химических связей, расположение атомов в пространстве, а также построить потенциальные поверхности, которые определяют направление химических реакций. Такой подход позволяет также вычислить потенциалы межатомных и межмолекулярных взаимодействий, в частности силы Ван дер Ваальса , оценить прочность водородных связей и др. Тем самым проблема химической связи сводится к задаче расчёта квантовых характеристик системы частиц с кулоновским взаимодействием, и с этой точки зрения структурную химию можно рассматривать как один из разделов квантовой механики. Обменное взаимодействие существенно зависит от вида потенциального взаимодействия между частицами. В частности, в некоторых металлах именно благодаря ему более устойчивым является состояние пар электронов с параллельными спинами, что объясняет явление ферромагнетизма .

Приложения квантовой механики

Квантовая механика – теоретический базис квантовой физики. Она позволила понять строение электронных оболочек атомов и закономерности в их спектрах излучения, структуру ядер и законы их радиоактивного распада , происхождение химических элементов и эволюцию звёзд , включая взрывы новых и сверхновых звёзд, а также источник энергии Солнца. Квантовая механика объяснила смысл периодической системы элементов, природу химической связи и строение кристаллов, теплоёмкость и магнитные свойства веществ, явления сверхпроводимости и сверхтекучести и др. Квантовая механика – физическая основа многочисленных технических приложений: спектрального анализа , лазера , транзистора и компьютера , ядерного реактора и атомной бомбы и т. д. Свойства металлов , диэлектриков , полупроводников и других веществ в рамках квантовой механики также получают естественное объяснение. В кристаллах атомы совершают около положений равновесия малые колебания с частотой ω \omega ω , которым сопоставляются кванты колебаний кристаллической решётки и соответствующие им квазичастицы – фононы с энергией E = ℏ ω E=\hbar \omega E = ℏ ω . Теплоёмкость кристалла в значительной степени определяется теплоёмкостью газа его фононов, а его теплопроводность можно трактовать как теплопроводность фононного газа. В металлах электроны проводимости представляют собой газ фермионов, а их рассеяние на фононах является основной причиной электрического сопротивления проводников, а также объясняет подобие тепловых и электрических свойств металлов (см. Закон Видемана – Франца ). В магнитоупорядоченных структурах возникают квазичастицы – магноны , которым соответствуют спиновые волны , в квантовых жидкостях возникают кванты вращательного возбуждения – ротоны , а магнитные свойства веществ определяются спинами электронов и ядер (см. Магнетизм ). Взаимодействие спинов электронов и ядер с магнитным полем – основа практических приложений явлений электронного парамагнитного и ядерного магнитного резонансов, в частности в медицинских томографах . Упорядоченная структура кристаллов порождает дополнительную симметрию гамильтониана по отношению к сдвигу x → x + a x \to x+a x → x + a , где a a a – период кристаллической решётки. Учёт периодической структуры квантовой системы приводит к расщеплению её энергетического спектра на разрешённые и запрещённые зоны. Такая структура уровней энергии лежит в основе работы транзисторов и всей базирующейся на них электроники (телевизор, компьютер, сотовый телефон и др.). В начале 21 в. достигнуты существенные успехи в создании кристаллов с заданными свойствами и структурой энергетических зон ( сверхрешётки , фотонные кристаллы и гетероструктуры : квантовые точки , квантовые нити , нанотрубки и др.). При понижении температуры некоторые вещества переходят в состояние квантовой жидкости , энергия которой при температуре T → 0 T \to 0 T → 0 приближается к энергии нулевых колебаний системы. В некоторых металлах при низких температурах образуются куперовские пары – системы из двух электронов с противоположными спинами и импульсами. При этом электронный газ фермионов трансформируется в газ бозонов, что влечёт за собой бозе-конденсацию , которая объясняет явление сверхпроводимости . При низких температурах длина волны де Бройля тепловых движений атомов становится сравнимой с межатомными расстояниями и возникает корреляция фаз волновых функций множества частиц, что приводит к макроскопическим квантовым эффектам ( эффект Джозефсона , квантование магнитного потока , дробный квантовый эффект Холла , андреевское отражение ). На основе квантовых явлений созданы наиболее точные квантовые эталоны различных физических величин: частоты (гелий – неоновый лазер), электрического напряжения (эффект Джозефсона), сопротивления (квантовый эффект Холла) и т. д., а также приборы для различных прецизионных измерений: сквиды , квантовые часы , квантовый гироскоп и т. д. Квантовая механика возникла как теория для объяснения специфических явлений атомной физики (её вначале так и называли: атомная динамика), но постепенно стало ясно, что квантовая механика образует также основу всей субатомной физики и все её основные понятия применимы для описания явлений физики ядра и элементарных частиц. Первоначальная квантовая механика была нерелятивистской, т. е. описывала движение систем со скоростями много меньшими скорости света. Взаимодействие частиц в этой теории по-прежнему описывалось в классических терминах. В 1928 г. П. Дирак нашёл релятивистское уравнение квантовой механики (уравнение Дирака), которое при сохранении всех её понятий учитывало требования теории относительности . Кроме того, был развит формализм вторичного квантования , который описывает рождение и уничтожение частиц, в частности рождение и поглощение фотонов в процессах излучения. На этой основе возникла квантовая электродинамика , которая позволила с большой точностью рассчитывать все свойства систем с электромагнитным взаимодействием. В дальнейшем она развилась в квантовую теорию поля , объединяющую в едином формализме частицы и поля, посредством которых они взаимодействуют. Для описания элементарных частиц и их взаимодействий используются все основные понятия квантовой механики: остаётся справедливым дуализм волна – частица, сохраняется язык операторов и квантовых чисел, вероятностная трактовка наблюдаемых явлений и т. д. В частности, для объяснения взаимопревращения трёх типов нейтрино : ν e \nu_e ν e ​ , ν μ \nu_\mu ν μ ​ и ν τ \nu_\tau ν τ ​ ( осцилляции нейтрино ), а также нейтральных K K K -мезонов используется принцип суперпозиции состояний.

Интерпретация квантовой механики

Справедливость уравнений и заключений квантовой механики многократно подтверждена многочисленными опытами. Система её понятий, созданная трудами Н. Бора, его учеников и последователей, известная как «копенгагенская интерпретация», является ныне общепринятой, хотя ряд создателей квантовой механики (М. Планк, А. Эйнштейн, Э. Шрёдингер и др.) до конца жизни остались в убеждении, что квантовая механика – незавершённая теория. Специфическая трудность восприятия квантовой механики обусловлена, в частности, тем обстоятельством, что бóльшая часть её основных понятий (волна, частица, наблюдение и т. д.) взяты из классической физики. В квантовой механике их смысл и область применимости ограничены в силу конечности кванта действия h h h , а это, в свою очередь, потребовало ревизии устоявшихся положений философии познания . Прежде всего в квантовой механике изменился смысл понятия «наблюдение» . В классической физике предполагали, что возмущения изучаемой системы, вызванные процессом измерения, могут быть корректно учтены, после чего можно восстановить исходное состояние системы, независимое от средств наблюдения. В квантовой механике соотношение неопределённостей ставит на этом пути принципиальный предел, который никак не связан с искусством экспериментатора и тонкостью используемых методов наблюдения. Квант действия h h h определяет границы квантовой механики, подобно скорости света в теории электромагнитных явлений или абсолютному нулю температур в термодинамике . Причину неприятия соотношения неопределённостей и способ преодоления трудностей восприятия его логических следствий предложил Н. Бор в концепции дополнительности . Согласно Бору, для полного и адекватного описания квантовых явлений необходима пара дополнительных понятий и соответствующая им пара наблюдаемых. Для измерения этих наблюдаемых необходимы два разных типа приборов с несовместимыми свойствами. Например, для точного измерения координаты нужен стабильный, массивный прибор, а для измерения импульса, наоборот, лёгкий и чувствительный. Оба эти прибора несовместимы, но они дополнительны в том смысле, что обе величины, измеряемые ими, равно необходимы для полной характеристики квантового объекта или явления. Бор объяснил, что «явление» и «наблюдение» – дополнительные понятия и не могут быть определены порознь: процесс наблюдения уже есть некое явление, а без наблюдения явление есть «вещь в себе» . В действительности мы всегда имеем дело не с явлением самим по себе, а с результатом наблюдения явления, и результат этот зависит в том числе от выбора типа прибора, используемого для измерения характеристик квантового объекта. Результаты таких наблюдений квантовая механика объясняет и предсказывает без всякого произвола. Важное отличие квантовых уравнений от классических состоит также в том, что волновая функция квантовой системы сама не наблюдаема, а все величины, вычисленные с её помощью, имеют вероятностный смысл. Кроме того, понятие вероятности в квантовой механике в корне отличается от привычного понимания вероятности как меры нашего незнания деталей процессов. Вероятность в квантовой механике – это внутреннее свойство индивидуального квантового явления, присущее ему изначально и независимо от измерений, а не способ представления результатов измерений. В соответствии с этим принцип суперпозиции в квантовой механике относится не к вероятностям, а к амплитудам вероятности. Кроме того, в силу вероятностного характера событий суперпозиция квантовых состояний может включать в себя состояния, несовместимые с классической точки зрения, например состояния отражённого и прошедшего фотонов на границе полупрозрачного экрана или альтернативные состояния электрона, проходящего через любую из щелей в знаменитом интерференционном опыте. Неприятие вероятностной трактовки квантовой механики породило массу попыток модифицировать основные положения квантовой механики. Одна из таких попыток – введение в квантовую механику скрытых параметров , которые изменяются в соответствии со строгими законами причинности, а вероятностный характер описания в квантовой механике возникает как результат усреднения по этим параметрам. Доказательство невозможности введения в квантовую механику скрытых параметров без нарушения системы её постулатов было дано Дж. фон Нейманом ещё в 1929 г. Более детальный анализ системы постулатов квантовой механики был предпринят Дж. Беллом в 1965 г. Экспериментальная проверка т. н. неравенств Белла (1972) ещё раз подтвердила общепринятую схему квантовой механики. Ныне квантовая механика представляет собой законченную теорию, которая всегда даёт правильные предсказания в границах её применимости. Все известные попытки её модификации (их известно около 10) не изменили её структуры, но положили начало новым отраслям наук о квантовых явлениях: квантовой электродинамике , квантовой теории поля , теории электрослабого взаимодействия , квантовой хромодинамике , квантовой теории гравитации , теории суперструн и др. Квантовая механика стоит в ряду таких достижений науки, как классическая механика , учение об электричестве , теория относительности и кинетическая теория . Ни одна физическая теория не объяснила такого широкого круга физических явлений природы: из 94 Нобелевских премий по физике, присуждённых в 20 в., только 12 не связаны напрямую с квантовой физикой. Значение квантовой механики во всей системе знаний об окружающей природе выходит далеко за рамки учения о квантовых явлениях: она создала язык общения в современной физике, химии и даже биологии, привела к пересмотру философии науки и теории познания , а её технологические следствия до сих пор определяют направление развития современной цивилизации. Пономарёв Леонид Иванович

Опубликовано 4 августа 2023 г. в 11:27 (GMT+3). Последнее обновление 23 ноября 2023 г. в 17:55 (GMT+3). Связаться с редакцией