Каков характер ачх и фчх согласованного фильтра

2.3. Согласованные фильтры

До сих пор на помеху n(t) не налагалось никаких ограничений, кроме стационарности в широком смысле. Рассмотрим теперь помеху в виде гауссовского белого шума. Линейный фильтр, на выходе которого получается максимально возможное пиковое значение отношения сигнал/помеха при приеме полностью известного сигнала на фоне гауссовского белого шума, называется согласованным фильтром. Найдем выражение для комплексной частотной характеристики согласованного фильтра. Для этого положим Тогда выражения (2.7) и (2.8) примут соответственно вид:

(2.9)

где k – постоянная, характеризующая коэффициент передачи фильтра; E_s – энергия сигнала:

Запишем спектр входного сигнала и комплексную частотную характеристику фильтра в виде

Здесь _s– фазовый спектр сигнала,– фазо-частотная характеристика фильтра.

Тогда выражения для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик согласованного фильтра будут иметь вид

Видно, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра пропорциональна амплитудному спектру входного сигнала (АЧХ фильтра «согласована» со спектром сигнала), а фазочастотная характеристика (ФЧХ) равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки (– t₀).

Совпадение формы АЧХ фильтра с амплитудным спектром сигнала обеспечивает наилучшее выделение наиболее интенсивных участков спектра сигнала. Фильтр ослабляет участки спектра с относительно низким уровнем спектральных составляющих; в противном случае наряду с ними проходили бы интенсивные шумы. При этом форма сигнала на выходе фильтра искажается. Однако это не имеет существенного значения, так как задача фильтра в данном случае состоит не в точном воспроизведении входного сигнала, а в формировании наибольшего пика выходного сигнала на фоне шума. Существенную роль в этом отношении играет фазочастотная характеристика фильтра  ().

Подставив в формулу (2.1) выражение (2.9), получим выражение для полезного сигнала на выходе согласованного фильтра:

Отсюда видно, что сигнал на выходе фильтра определяется только амплитудным спектром входного сигнала и не зависит от его фазового спектра. Последнее обусловлено тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала _s() компенсируются ФЧХ фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени t = t₀ и, складываясь, дают пик выходного сигнала:

Если бы ФЧХ фильтра не компенсировала фазовых сдвигов спектральных составляющих входного сигнала, то максимумы гармонических составляющих не совпадали бы по времени, что привело бы к уменьшению или раздроблению пика выходного сигнала.

Следует отметить, что согласованным фильтром (2.9) можно пользоваться и при приеме полностью известного сигнала на фоне стационарной помехи с произвольной спектральной плотностью S_n(). Для этого формально достаточно пропустить принимаемое колебание x(t) через дополнительный линейный фильтр, который преобразует помеху n(t) в белый шум. ФЧХ фильтра может быть любой, а АЧХ такого дополнительного “обеляющего” фильтра должна иметь вид

(2.10)

где – постоянная.

На выходе обеляющего фильтра помеха превратится в белый шум с постоянной спектральной плотностью а комплексный спектр сигнала будет

После этого можно воспользоваться полученными ранее формулами. В соответствии с выражением (2.9) комплексная частотная характеристика соответствующего согласованного фильтра

Оптимальный фильтр представляет собой последовательное соединение двух фильтров: обеляющего и согласованного . Его комплексная частотная характеристика естественно совпадает с соотношением (2.8).

Пользуясь допустимой свободой выбора фазовой характеристики обеляющего фильтра, можно попытаться выбрать ее так, чтобы оптимальный фильтр был физически реализуем. Если спектральную плотность помехи S_n() можно аппроксимировать рациональной функцией частоты (что на практике не ограничивает общности), то для получения физически реализуемого оптимального линейного фильтра используют разложение S_n() на комплексно-сопряженные сомножители. Рассмотрим пример.

Пусть помехой является гауссовский шум, имеющий спектральную плотность S_n() = 2D/( 2 + 2 ), где D – дисперсия шума. Тогда согласно формуле (2.10) имеем

Таким образом, получаем два равноценных варианта обеляющих фильтров:

Найдем импульсную характеристику согласованного фильтра:

Учитывая выражение для входного сигнала

,

. (2.11)

Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала («согласована» с сигналом). На рис. 2.1 изображен импульсный сигнал s(t) длительностью t_и, появившийся в момент времени t = t₀ .

Очевидно, что функция s(t₀+t) появляется на время t₀ раньше, чем сигнал s(t). Функция же s(t₀–t) является зеркальным отображением функции s(t₀+t) относительно оси ординат. Умножив функцию s(t₀–t) на коэффициент k , получаем импульсную характеристику согласованного фильтра.

Согласованный фильтр его импульсная и частотная характеристики

В предыдущей статье рассмотрели оптимальный прием сигналов и ансамбль сигнала. В этой статье поговорим о согласованном фильтре, его свойствах и АЧХ и ФЧХ характеристиках.

p, blockquote 1,0,0,0,0 —>

Согласованный фильтр

Согласованный фильтр — линейный оптимальный фильтр, позволяющий получить максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра для сигналов известной формы.

p, blockquote 2,0,0,0,0 —>

Линейный фильтр вносит линейные искажения. Если на нелинейное устройство подать моногармонический сигнал (обычную синусоиду) с одной частотой, то на выходе устройства, посмотрев на спектр, увидим новые спектральные составляющие, гармоники. У линейного устройства новые спектральные составляющие не появляются. На выходе любого линейного устройства, те же самые спектральные составляющие, что и на его входе, без добавления новых гармоник, у этих устройств изменяются только амплитуда и фаза.

p, blockquote 3,0,0,0,0 —>

Оптимальный фильтр, оптимальный это значит, что он достигает какого-то наилучшего качества. Если мы говорим про оптимальность, то мы должны говорить и про критерий оптимальности, т.е. что у нас достигается наилучшим способом. В данном случае критерием оптимальности является отношение сигнал/шум.

p, blockquote 4,0,0,0,0 —>

Для каждого сигнала существует свой согласованный фильтр. Сигнал на выходе любого линейного фильтра, в том числе и согласованного, определяется выражением:

p, blockquote 5,0,0,0,0 —>

p, blockquote 6,0,0,0,0 —>

Свойства согласованного фильтра

Для любого линейного фильтра сигнал на выходе определяется через свертку сигнала на входе и его импульсной характеристики.

p, blockquote 7,0,0,0,0 —>

Импульсная характеристика фильтра это реакция фильтра (т.е. то что мы получим на выходе фильтра), на дельта импульс.

p, blockquote 8,0,0,0,0 —>

Если на вход фильтра подадим дельта импульс, то на выходе получим отклик, этот отклик и есть импульсная характеристика.

p, blockquote 9,0,1,0,0 —>

p, blockquote 10,0,0,0,0 —>

Дельта импульс это математическая абстракция, это импульс, который имеет бесконечно большую амплитуду, бесконечно малую длительность и площадь этого импульса равна единице. На практике, такой дельта импульс можно заменить коротким импульсом. Спектр дельта импульса равномерен и бесконечен.

p, blockquote 11,0,0,0,0 —>

Импульсная характеристика согласованного фильтра

Импульсная характеристика СФ имеет отзеркаленную форму сигнала, для которого фильтр согласован:

p, blockquote 12,0,0,0,0 —>

• где Ts – длительность сигнала;
• s – сигнал;
• k – константа, сигнал можно умножать на любую константу.
• В формуле t со знаком минус, сигнал отзеркалили по времени.

Не важно какую амплитуду имеет сигнал, если по форме сигнал повторяет импульсную характеристику, то фильтр будет согласован для этого сигнала. На картинке ниже представлено два примера. Есть треугольный сигнал, осциллограмма в виде треугольного импульса.

p, blockquote 14,0,0,0,0 —>

p, blockquote 15,0,0,0,0 —>

Какой фильтр будет для него согласован? Тот который имеет импульсную характеристику повторяющую форму сигнала, но отзеркаленную.

p, blockquote 16,0,0,0,0 —>

Другой пример, выше, затухающая синусоида сигнала. Чтобы спроектировать согласованный фильтр для такого сигнала, нужно взять форму сигнала и отзеркалить ее и получится импульсная характеристика.

p, blockquote 17,0,0,0,0 —>

Если у сигнала меняется амплитуда, становится больше или меньше, импульсная характеристика не меняется, фильтр всё равно будет согласован.

p, blockquote 18,0,0,0,0 —>

Частотные характеристики согласованного фильтра

Комплексная частотная передаточная характеристика СФ комплексно сопряжена с Фурье-образом сигнала.

p, blockquote 19,1,0,0,0 —>

• где H(f) – частотная передаточная характеристика фильтра;
• S(f) – Фурье-образ сигнала;
• T – длительность сигнала;
• k – константа.

Комплексная экспонента е^-i2πTf говорит о сдвиге фаз, возникшем в результате задержки сигнала в фильтре на время T. Откуда взялась комплексная экспонента? Любой фильтр вносит задержку, а комплексная экспонента поворачивает фазу сигнала.

p, blockquote 21,0,0,0,0 —>

Эта функция H(f) комплексная, у нее есть мнимая и реальная части. Формула с точностью до постоянного множителя (константы) повторяет Фурье-образ сигнала S(f). Единственное, нужно взять Фурье-образ и сделать над ним комплексное сопряжение. Фурье-образ сигнала это результат преобразования Фурье. Это комплексный спектр сигнала.

p, blockquote 22,0,0,0,0 —>

Комплексная частотная передаточная характеристика СФ комплексно сопряжена с Фурье-образом сигнала с точностью до какого-то постоянного коэффициента. Импульсная характеристика повторяет форму сигнала, частотная характеристика повторяет спектр сигнала, только комплексно сопряжена.

p, blockquote 23,0,0,0,0 —>

Комплексное сопряжение. Если есть комплексное число в котором есть реальная и мнимая часть, то комплексное число сопряженное, это число у которого меняется знак мнимой части. c=a+jb и c=a-jb.

p, blockquote 24,0,0,0,0 —>

АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра

Из передаточной характеристики H(f) получаем АЧХ и ФЧХ. Чтобы получить АЧХ нужно у этой функции взять модуль. АЧХ согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента k повторяет амплитудный спектр сигнала:

p, blockquote 25,0,0,0,0 —>

p, blockquote 26,0,0,0,0 —>

ФЧХ согласованного фильтра повторяет фазовый спектр сигнала с обратным знаком и с учетом задержки:

p, blockquote 27,0,0,0,0 —>

p, blockquote 28,0,0,0,0 —>

где ψs(f) — фазовый спектр сигнала.

p, blockquote 29,0,0,1,0 —>

p, blockquote 30,0,0,0,0 —>

На картинке выше есть амплитудный и фазовый спектр. Чтобы получить согласованный фильтр, нужно взять фильтр, который имеет АЧХ повторяющий амплитудный спектр сигнала и ФЧХ повторяющий фазовый спектр сигнала, но с обратным знаком. Наклон, который появился на графике “ФЧХ согласованного фильтра” появился из-за задержки сигнала.

p, blockquote 31,0,0,0,0 —>

Отклик согласованного фильтра

Предположим, есть сигнал, который имеет прямоугольную форму, для него спроектирован согласованный фильтр, который будет иметь импульсную характеристику в виде прямоугольного импульса.

p, blockquote 32,0,0,0,0 —>

Если на вход согласованного фильтра подать прямоугольный импульс, то на выходе получится сигнал, который определяется через свёртку.

p, blockquote 33,0,0,0,0 —>

Отклик СФ на сигнал определяется свёрткой импульсной характеристики h(t) и сигналом s(t) .

p, blockquote 34,0,0,0,0 —>

Свёртка это перемножение двух функций в различный момент сдвига друг относительно друга и затем функции нужно их проинтегрировать.

p, blockquote 35,0,0,0,0 —>

p, blockquote 36,0,0,0,0 —>

На картинке, зафиксировали положение импульсов. Есть один импульс s(t) на входе и вторая импульсная характеристика согласованного фильтра h(t). В конкретный момент времени нужно вычислить площадь, которая образуется пересечением и эта площадь — значение сигнала на выходе в какой-то конкретный момент времени. И нужно постепенно смещать этот импульс и снова вычислять площадь и так далее. В итоге получим функцию, это и есть свертка.

p, blockquote 37,0,0,0,0 —>

Сигнал проходя через согласованный фильтр не сохраняет свою форму.

p, blockquote 38,0,0,0,0 —> p, blockquote 39,0,0,0,1 —>

С точки зрения приема сигнала важна не его форма, а значение сигнала. В следующей статье расскажем про приемники.

4.6.3 Спектральные характеристики оптимального фильтра

Известно, что импульсная характеристика линейной цепи и её частотная передаточная характеристика связаны парой преобразований Фурье:

Подставляя в требуемое выражение для , имеем

С другой стороны, спектральная плотность сигнала равна

Следовательно, должно выполняться равенство

Модуль передаточной характеристики фильтра пропорционален модулю спектральной характеристики сигнала:

В качестве примера покажем АЧХ и ФЧХ оптимального фильтра для видеоимпульса прямоугольной формы длительностью , спектральная плотность которого изображена на рис. 4, а , АЧХ оптимального фильтра с точностью до постоянного множителя повторяет форму АЧХ сигнала, а его ФЧХ повторяет ФЧХ сигнала с обратным знаком с учетом задержки (см. рис. 4, б).

Пусть на выходе оптимального фильтра действует сумма сигнала с белым шумом:

сигнал характеризуется спектральной плотностью , а шум – спектральной плотностью мощности Тогда на выходе фильтра имеем:

а спектральная плотность мощности шума на выходе будет равна

Отсюда следует, что шум имеет на выходе спектральную плотность мощности, подобную спектральной плотности амплитуд самого сигнала.

На рис.5 показаны спектральная плотность сигнала (а) и спектральная плотность шума (б) на выходе оптимального фильтра для видеоимпульса длительностью .

Ослабление по краям выражается для шума сильнее, чем для сигнала. В результате шум ослабляется в целом сильнее, чем сигнал, Кроме того, благодаря ФЧХ фильтра, все спектральные составляющие сигнала на выходе фильтра в момент имеют одну и ту же нулевую фазу, т.к. полная фаза

обращается в нуль независимо от частоты. Складываясь в фазе, спектральные составляющие сигнала образуют пиковый выброс временной функции выходного сигнала. Так как фазы составляющих шума случайны, то результирующие их фазы на выходе также будут случайны, поэтому шумовой выброс на выходе фильтра маловероятен.

Оптимальный фильтр часто называют согласованным, т.к. его передаточная характеристика согласована с частотной характеристикой сигнала.

Временная функция сигнала на выходе фильтра (АКФ) имеет спектральную плотность , поэтому

Таким образом, выходной сигнал здесь определяется только амплитудным спектром входного сигнала и не зависит от его фазового спектра, так как оптимальный фильтр компенсирует все фазовые сдвиги между составляющими. Выходное напряжение, обусловленное белым шумом на выходе фильтра, равно

Сравнивая полученное выражение с , имеем

таким образом, дисперсия выходного шума в раз больше пикового значения выходного сигнала. Схема оптимального обнаружителя для полностью известного сигнала представляет собой оптимальный фильтр с пороговым устройством. Для сигналов со случайной начальной фазой приемник должен содержать устройство, устраняющее зависимость выходного напряжения от случайной начальной фазы. Таким устройством может служить амплитудный детектор, сигнал на выходе которого пропорционален амплитуде и не зависит от случайной начальной фазы. Таким образом, схема обнаружителя сигнала со случайной фазой имеет вид (рис.6).

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004

Основы радиолокации

В телекоммуникации под термином «согласованный фильтр» понимают оптимальный линейный фильтр, предназначенный для максимизации отношения сигнал-шум (signal to noise ratio, SNR) для известного полезного сигнала в присутствии мешающего аддитивного случайного шума. Согласованные фильтры часто используются при обнаружении сигналов путем сравнения (определения корреляции) известного сигнала или шаблона с принимаемым сигналом. В данном случае целью является принятие решения о присутствии или отсутствии в принимаемом сигнале искомого сигнала.

схема
«наибольший из»

Рисунок 1. Параллельное подключение n согласованных фильтров

Одной из проблем построения согласованных фильтров для радиолокационных применений является то, что на практике принимаемый сигнал и шаблон априори являются неизвестными. Во многих ситуациях отраженные сигналы настолько изменяются вследствие эффекта Допплера, что перестают быть просто отражением соответствующих зондирующих сигналов. Так, например, в спектре эхо-сигнала могут присутствовать сразу несколько (иногда достаточно много) допплеровсских частот. Для распознавания вертолета важны как доплеровская частота, вызванная отражением зондирующего сигнала от вращающихся лопастей, так и допплеровская частота, соответствующая отражению от фюзеляжа, то есть определяемая радиальной скоростью всего вертолета. На практике, для каждого возможного отдельного частотного диапазона спектра отраженного сигнала должен быть построен отдельный согласованный фильтр.

Цепь сжатия импульсов представляет собой типовую форму согласованного фильтра, применяемого в радиолокации. Такой фильтр является оптимальным, когда форма принятого сигнала идентична форме зондирующего сигнала. Однако именно такую форму будут иметь, в том числе, и сигналы отраженные от неподвижных объектов, таких как местные предметы. Такие отражения называют пассивными помехами и их отображение в большинстве случаев не желательно. Если в спектре эхо-сигнала появляются допплеровские составляющие, то фильтр перестает быть оптимальным. Все частотные составляющие смещаются в определенном направлении на частотной оси, в зависимости от направления движения цели по отношению к радиолокатору. Очевидно, что в таком случае либо самые высокочастотные, либо самые низкочастотные составляющие спектра будут режектированы и не будут попадать в обработку.

Аппаратные и программные средства современных современных радиолокаторов обеспечивают компенсацию такого эффекта. Простейший вариант заключается в том, что для дальнейшей обработки не обязательно наличие обеих (верхней и нижней) частотных составляющих, а сигнал цели может быть сформирован даже когда одна из них отсутствует. Также возможно решение, при котором фильтр строится с учетом дополнительных частотных составляющих спектра искомого сигнала. В более совершенных системах используются несколько фильтров одновременно (параллельно), каждый из которых настроен на определенную допплеровскую частоту (Рисунок 1). Сигналы после этих фильтров попадают на схему (или в программную процедуру), реализующую логику «наибольший из», на выход которой проходит сигнал с наилучшим отношением сигнал-шум. Если количество фильтров велико, то лучше всего они могут быть реализованы в цифровом виде. Поэтому часть схемы (Рисунок 2), расположенная в левой части рисунка, часто реализуется программным способом.

Для каждого из возможных допплеровских спектров будет использоваться свой приемник, полоса частот которого, в данном случае будет оптимальной. Далее определение согласованной фильтрации применяют уже ко всему приемнику и уже весь приемник считают согласованным. Может использоваться параллельно несколько цифровых приемников с оптимизированными полосами частот и и оптимизированными фильтрами для каждого допплеровского спектра. Для каждой цели используется только один выход приемника, который обеспечивает наилучшее отношение сигнал-шум.