Как определить количество независимых контуров в схеме

Определение числа независимых узлов и контуров

Для определения числа независимых узлов и независимых контуров электрической цепи и, следовательно, числа независимых уравнений, составляемых на основании законов Кирхгофа, воспользуемся тем обстоятельством, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из входящих в систему уравнений отличалось от остальных хотя бы одной переменной.

Общее число линейно независимых уравнений, которые можно составить для произвольной цепи на основании законов Кирхгофа, оказывается равным числу ветвей рассматриваемой цепи:

m+n=(q-1)+(p+q-1)=p.

1.5. Уравнение электрического равновесия цепей Основные задачи теории цепей

Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами.

Рис. 1.34

В зависимости от исходных данных и конечной цели исследования в теории цепей различают две группы задач: задачи анализа и задачи синтеза.

Задача анализа цепи состоит в определении реакции цепи s(t) на заданное внешнее воздействие x(t).

Задача синтеза цепи заключается в нахождении цепи по заданной реакции цепи s(t) на некоторое внешнее воздействие x(t).

В частном случае задача анализа может сводиться к нахождению соотношений между реакциями цепи на отдельных выходах sj(t) и воздействиями xi(t), приложенным к определенным входам. Такие соотношения называются характеристическими (системными функциями, функциями) цепи. В зависимости от того, какая величина — частота или время — является аргументом в выражениях, описывающих соотношения между откликом и внешним воздействием, различают частотные и временные характеристики цепи.

Понятие об уравнениях электрического равновесия

Математически задача анализа электрической цепи сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений, в которых в качестве неизвестных фигурируют токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Уравнения, решение которых, позволяет определить токи и напряжения ветвей электрической цепи, называются уравнениями электрического равновесия цепи. Число уравнений электрического равновесия должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений.

На практике для анализа цепей используют различные методы составления уравнений электрического равновесия, в частности методы токов ветвей, напряжений ветвей, контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния.

При анализе цепей из рассмотрения исключаются случаи, когда использование топологических уравнений приводит к результатам, противоречащим компонентным уравнениям. Задача анализа цепи в этом случае считается поставленной некорректно. Ранее отмечались два случая возникновения подобных противоречий: применение источника напряжения в режиме короткого замыкания и источника тока в режиме холостого хода. Аналогичные противоречия возникают при параллельном включении источников напряжения с различными задающими напряжениями, при последовательном включении источников тока с различными задающими токами, при использовании контуров, составленных только из источников напряжений, и сечений, образованных только из источников тока, при подключении источника постоянного напряжения к индуктивности или источника постоянного тока к емкости. Все задачи, рассмотренные на рисунках, становятся корректными при учете внутренних сопротивлений источников энергии.

Как было показано ранее, топологические уравнения являются алгебраическими, а компонентные уравнения идеализированных пассивных элементов могут быть как алгебраическими, так и дифференциальными или интегральными. Вследствие этого уравнение электрического равновесия цепи, составленные любым методом, представляют собой в общем случае систему интегродифференциальных уравнений.

Пример. Составим основную систему уравнений электрического равновесия цепи.

Для этой цепи p=6, q=4, pит=1, pин=1.

Общее число неизвестных токов и напряжений ветвей 2p-p_ит-p_ин=10. Используя законы Кирхгофа, можно составить m=q-1=3 уравнений балланса токов:

-i₁+i₂=0; -i₂+i₃+i₄=0; -i₄+i₅-i₆=0 и n=p-q+1=3 уравнений баланса напряжений: U₂+U₃=e(t); -U₃+U₄-U₆=0; U₅+U₆=0, где i₅=I, U₅=-U_J — ток и напряжение ветви с источником тока.

В сочетании с p-p_ит-p_ин=4 компонентными уравнениями невырожденных ветвей

;;;

получаем систему из 10 линейно независимых уравнений для определения 10 неизвестных токов и напряжений: i₁, U₂, i₂, U₃, i₃, U₄, i₄, U₅, U₆, i₅, i₆.

Система уравнений электрического равновесия цепи, составленная любым методом, может быть путем дифференцирования и последовательного исключений неизвестных сведена к одному дифференциальному уравнению для любого из неизвестных токов и напряжений, называемому дифференциальным уравнением цепи. Дифференциальное уравнение цепи содержит информацию о характере имеющих место в цепи электрических процессов и является основой для классификации электрических цепей.

Количество независимых контуров в представленной схеме равно …

Контуром называют замкнутый путь, проходящий по ветвям и узлам цепи. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь. В приведенной схеме три независимых контура: I, II, III.

ответ тест i-exam

Топологии цепи — основные понятия

Электрическая цепь — это совокупность устройств (элементов) и соединяющих их проводников, по которым может протекать электрический ток. Все элементы электрических цепей делят на пассивные и активные.

Активные элементы преобразуют различные виды энергии (механическую, химическую, световую и т.д.) в электрическую. На пассивных элементах электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии. Активные элементы называют источниками, пассивные — потребителями или приемниками.

В теории цепей рассматриваются идеализированные модели электрических элементов. Это позволяет сделать описание элементов максимально простым. Более сложные, реальные элементы моделируются совокупностью идеализированных элементов.

Основными пассивными элементами электрических цепей являются резистор (резистивный элемент), катушка индуктивности (индуктивный элемент) и конденсатор (емкостный элемент). Элементы устанавливаются в электрическую цепь для формирования напряжения и тока заданной величины и формы (смотрите — Электрическая цепть и ее элементы).

Электрическая цепь состоит из ветвей и узлов. Ветвь — это участок электрической цепи (схемы), по которому течет один и тот же ток. Узел — соединение трех и более ветвей. На электрической схеме узел обозначается точкой (рис. 1).

Рис. 1. Обозначение узла на схеме

При необходимости на схеме узлы нумеруются слева направо сверху вниз.

На рис. 2 изображена резистивно-емкостная ветвь, в которой протекает ток i_С.

Рис. 2. Резистивно-емкостная ветвь

Можно дать еще одно определение ветви — это участок цепи между двумя смежными узлами (узлы (1) и (2) на рис. 2).

Контур — это любой замкнутый путь на электрической схеме. Контур может замыкаться через любые ветви, включая условные ветви, сопротивление которых равно бесконечности.

На рис. 3 изображена разветвленная электрическая цепь, которая состоит из трех ветвей.

Рис. 3. Двухконтурная электрическая цепь

На схеме обозначены три контура, причем контур I замыкается через ветвь с бесконечным сопротивлением. Это ветвь обозначена как напряжение u_LC .

Для схемы на рис. 3 можно составить множество контуров, замыкающихся через реальные или условные ветви, однако для расчета электрических испей используют понятие «независимый контур». Число независимых контуров схемы всегда определено как минимально необходимое для расчета.

Независимые контуры всегда замыкаются но ветвям, имеющим сопротивление, не равное бесконечности и каждый независимый контур включает в себя хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры. Для сложных электрических цепей определить число независимых контуров можно, использую граф схемы.

Графом электрической цепи называется условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии. Элементы в ветвях не изображаются. Например, на рис. 4 изображены разветвленная электрическая цепь и ее граф.

Рис. 4. Разветвленная электрическая цепь: а — схема цепи, б — граф схемы

Для составления графа схемы нужно соединить узлы линиями ветвей без указания на них элементов. Ветви нумеруются, а направления токов на них указываются стрелками. Сам граф не имеет никакого физического смысла, однако с его помощью можно определить число и вид независимых контуров. Для этого составляется «дерево графа».

Дерево графа — это граф схемы, на котором узлы соединены ветвями таким образом, чтобы не получилось ни одного замкнутою контура. Вариантов изображения дерева графа может быть несколько. На рис. 5 изображены два возможных вариантадля схемы рис. 4.

Рис. 5. Дерево графа схемы

Число отсутствующих ветвей на дереве графа равно числу независимых контуров схемы. В примере — это три ветви, три независимых контура. Конфигурацию независимых контуров можно получить, последовательно соединяя узлы дерева графа ветвями, не обозначенными на дереве графа. Например, для дерева графа рис. 5, а независимые контуры изображены на рис. 6.

Рис. 6. Определение независимых контуров по дереву графа

Выбор варианта конфигурации независимых контуров для расчета цепи осуществляется при анализе схемы. Выбрать нужно такие контуры, чтобы расчет получился максимально простым, т.е. число зависимых уравнений в системе было минимальным.

Топологические уравнения устанавливают связь между напряжениями и токами цепи, причем число и вид уравнений не зависит от того, какие элементы входят в состав ветвей. К топологическим уравнениям относятся уравнения, составленные по законам Кирхгофа.

Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Определение числа независимых узлов и контуров.

Для определения числа независимых узлов и независимых контуров электрической цепи и, следовательно, числа независимых уравнений, составляемых на основании законов Кирхгофа, воспользуемся тем обстоятельством, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из входящих в систему уравнений отличалось от остальных уравнений хотя бы одной переменной. Действительно, если любое из входящих в систему уравнений содержит хотя бы одну переменную, отсутствующую в других

Рис. 135. Главные сечения графа (рис. 1.27), соответствующие деревьям, приведенным:

а — на рис. 1.32, а б — на рис. 1.32, б в — на рис. 1.32, в

уравнениях, то данное уравнение не может быть получено ив других входящих в систему уравнений и, следовательно, система уравнений является линейно независимой. Таким образом, для линейной независимости уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, достаточно, чтобы каждое из уравнений баланса токов отличалось от других уравнений хотя бы одним током или, что то же самое, чтобы каждый из узлов или каждое из сечений, для которых составляется уравнение баланса токов, отличались бы от других узлов или сечений хотя бы одной ветвыо. Этому условию удовлетворяет система главных сечений графа, так как каждое из главных сечений, соответствующих выбранному дереву, отличается от других главных сечений, по крайней мере, одной ветвью, а именно ветвыо дерева, входящей в данное главное сечение. Каждому дереву графа можно поставить в соответствие т= q — 1 главных сечений и, следовательно, m = q- 1 линейно независимое уравнение баланса токов. Более строгое рассмотрение этого вопроса показывает, что число линейно независимых уравнений баланса токов не изменится, если эти уравнения составлять не для главных сечений графа, а для узлов электрической цепи (напомним, что совокупность ветвей, инцидентных какому-либо узлу графа, представляет собой каноническое сечение графа). Следовательно, любые q — 1 узлов электрической цепи образуют систему независимых узлов. Обычно в качестве независимых узлов, для которых составляется система независимых уравнений баланса токов, выбирают узлы с номерами от 1 до q — 1. Для узла с номером 0, который будем называть базисным, уравнений баланса токов не составляют.

Для линейной независимости уравнений, составляемых на основании второго закона Кирхгофа, достаточно, чтобы каждое из этих уравнений отличалось от остальных хотя бы одним напряжением. Следовательно, для того чтобы выделенная совокупность контуров была независимой, достаточно, чтобы каждый контур отличался от остальных хотя бы одной ветвью. Этому требованию удовлетворяет система главных контуров, соответствующих какому-либо дереву графа, так как каждый из главных контуров отличается от других, по крайней мере, соответствующей ему главной ветвыо. Так как число главных контуров, соответствующих любому дереву графа, п = р — q + 1, то в каждой цепи можно выделить п независимых контуров и составить для них п линейно независимых уравнений баланса напряжений.

Таким образом, общее число линейно независимых уравнений, которые можно составить для произвольной цепи на основании законов Кирхгофа, оказывается равным числу ветвей рассматриваемой цепи:

Пример 1.7. Составим систему линейно независимых уравнений баланса токов и напряжений для цепи, схема которой приведена на рис. 1.25, а (граф цепи изображен на рис. 1.27). При выбранном топологическом описании число ветвей цепи р = 7, узлов q = 4.

Следовательно, для нее можно составить т = q — 1=3 независимых уравнения баланса токов ип= р — q + 1 = 4 независимых уравнения баланса напряжений. Разумеется, вид системы уравнений будет зависеть от выбора системы независимых узлов (сечений) и системы независимых контуров.

Для дерева графа цени, изображенного на рис. 1.32, в, и соответствующих ему главных сечений (см. рис. 1.35, в) и главных контуров (см. рис. 1.33) система линейно независимых уравнений баланса токов и напряжений имеет следующий вид:

где i₇ =j, щ = -Uj— ток и напряжение ветви с источником тока.

Три линейно независимых уравнения баланса токов, составленных для главных сечений графа рассматриваемой цепи, можно заменить уравнениями баланса токов, составленными для любых трех узлов цепи. После выбора в качестве независимых узлов с номерами 1, 2 и 3 система независимых уравнений баланса токов примет вид

В связи с гем, что использованное достаточное условие линейной независимости систем уравнений не является необходимым, для каждой электрической цепи можно найти и другие системы независимых контуров и сечений, не совпадающие ни с одной из систем главных контуров и главных сечений графа рассматриваемой цепи. В частности, ячейки плоского графа, число которых оказывается равным п = р — q + 1, представляют собой систему независимых контуров (будем называть эти контуры основными), которые могут не совпадать ни с одной из систем главных контуров графа данной планарной цепи.

Пример 1.8. Составим систему уравнений баланса напряжений для основных контуров цепи, граф которой приведен на рис. 1.36 (направление обхода всех контуров выбрано одинаковым — по часовой стрелке):

Рис. 1.36. К примеру 1.8

Таким образом, основные контуры рассматриваемой цепи образуют систему независимых контуров, не совпадающих ни с одной из возможных для данной цепи систем главных контуров. В других случаях, например для графа, изображенного на рис. 1.27, система основных контуров может совпадать с одной из систем главных контуров.

Следует подчеркнуть, что понятие ячейки (окна) графа было введено ранее только для плоских графов и что только для них возможен выбор ячеек графа в качестве независимых контуров.

Вопросы для самопроверки

• 1. Что такое узел? Каков порядок нумерации узлов?
• 2. Что такое ветвь? Как обозначаются токи ветвей на схеме цепи?

• 3. Почему выражение «найти токи схемы» является просторечием?
• 4. При каком топологическом описании (сокращенном или расширенном) схема цепи имеет меньше узлов?
• 5. Что называют контурами электрической цепи?
• 6. Как выбирается направление обхода контура?
• 7. Что такое дерево графа и главный контур?
• 8. Как определяется ориентация главных сечений графа?
• 9. Как изменяется число контуров при переходе от расширенного топологического описания к сокращенному?
• 10. Какие соединения элементов цепей называют последовательным, параллельным и смешанным?
• 11. Выполняются ли законы Кирхгофа в нелинейных цепях?
• 12. Что называют независимыми узлами и контурами цепи?
• 13. Как связаны между собой число главных контуров цепи и число ветвей дерева графа той же цепи?
• 14. Относится ли к независимым базисный узел цепи?
• 15. Какие уравнения цепи относят к компонентным, а какие к топологическим?
• 16. Чем отличается сумма токов от алгебраической суммы токов?