Как определить полосу пропускания контура

Полоса пропускания сервопривода. Почему это важно.

Сервопривод может включать в себя любую комбинацию трех типов контуров управления — контура положения, контура скорости и контура тока. Хотя цель каждого контура состоит в том, чтобы управлять различными аспектами работы двигателя, все они характеризуются общим параметром: пропускной способностью. Пропускная способность или время отклика системы является мерой того, насколько быстро она реагирует на изменяющуюся команду ввода. Другими словами, ширина полосы контура управления определяет, насколько быстро сервосистема реагирует на изменения контролируемого параметра — положения, скорости или крутящего момента.

Сервоприводы часто имеют структуру с несколькими контурами, при этом текущий контур вложен внутри контура скорости, который вложен внутри контура положения. Во вложенных системах ответ внутреннего цикла должен быть быстрее, чем ответ внешнего цикла, в противном случае внутренний цикл будет иметь незначительное влияние на внешний цикл или вообще не влиять на него. Для контуров сервоуправления внутренний контур должен иметь полосу пропускания в 5-10 раз быстрее, чем внешний контур. В этом сценарии полоса пропускания контура тока должна быть в 5-10 раз больше, чем у контура скорости, а полоса пропускания контура скорости должна быть в 5-10 раз больше, чем у контура положения.Изображение предоставлено: nctu.edu

В сервоприводах полоса пропускания контура управления определяется как частота, на которой амплитудная характеристика замкнутого контура достигает -3 дБ. В этот момент выходное усиление (отношение выходной мощности к входной) составляет примерно 70,7% от его максимального значения, а выходная мощность (мощность, подаваемая на нагрузку) равна 50% входной мощности. (В этой статье дополнительно объясняется взаимосвязь между амплитудной характеристикой, значением выходного усиления и выходной мощностью в зависимости от входной мощности.)

Полоса пропускания этой системы составляет примерно 60 Гц. Изображение предоставлено: Rockwell Automation

В то время как более высокая полоса пропускания обычно обеспечивает более жесткую работу двигателя, уменьшает ошибку и улучшает время отклика в переходных процессах, в сервосистемах также есть недостатки высокой пропускной способности. В частности, чем выше полоса пропускания, тем выше частота, на которой двигатель реагирует на помехи, что обычно требует более высоких ускорений и усилий.

Рассеивание мощности имеет квадратное отношение к силе, поэтому любое увеличение полосы пропускания значительно увеличивает рассеиваемую мощность (то есть тепло) и, следовательно, повышение температуры двигателя. И поскольку температура является ограничивающим фактором при работе двигателя, характеристики двигателя могут фактически ограничивать допустимую полосу пропускания сервопривода.

Примечание. Другие компоненты системы, в том числе разрешение устройства обратной связи, частота обновления привода, коэффициент инерции двигатель-нагрузка и жесткость соединения двигатель-нагрузка, также влияют на максимально достижимую полосу пропускания привода.

Сервоприводы часто имеют структуру с несколькими контурами, при этом текущий контур вложен внутри контура скорости, который вложен внутри контура положения. Во вложенных системах ответ внутреннего цикла должен быть быстрее, чем ответ внешнего цикла, в противном случае внутренний цикл будет иметь незначительное влияние на внешний цикл или вообще не влиять на него. Для контуров сервоуправления внутренний контур должен иметь полосу пропускания в 5-10 раз быстрее, чем внешний контур. В этом сценарии полоса пропускания контура тока должна быть в 5-10 раз больше, чем у контура скорости, а полоса пропускания контура скорости должна быть в 5-10 раз больше, чем у контура положения.Изображение предоставлено: nctu.edu —>

3.2.5. Полоса пропускания

Амплитудно-частотная характеристика последовательного контура характеризуется тем, что на резонансной частоте она имеет максимальное значение. На частотах, отстоящих значительно от резонансной частоты, значения амплитудно-частотной характеристики близки к нулю. Если к контуру прикладывать сигналы одинаковой амплитуды, но с разными частотами, то сигналы с частотой, равной резонансной частоте, будут создавать большой ток в контуре и большие напряжения на реактивных элементах. В этом случае говорят, что контур пропускает этот сигнал. Если частота сигнала значительно отличается от ₀, то в контуре практически отсутствуют электрические колебания. В этом случае говорят, что контур такой сигнал подавляет. Для оценки этих свойств контура вводится понятие его полосы пропускания.

Полосой пропускания называется интервал частот, включающий резонансную частоту контура, на границах которого значение тока контура меньше значения тока на резонансной частоте в заданное число раз.

Как правило, за исключением особой аппаратуры, требуется, чтобы на границе полосы пропускания ток контура был меньше тока на резонансной частоте враз.

На рис.3.10 показано определение полосы пропускания с помощью АЧХ. В соответствии с заданным уровнем подавления на границе полосы пропускания должно выполняться условие:

. (3.31)

Значит на границах полосы пропускания АЧХ должна иметь значение:

. (3.32) Исходя из этого, на рис.3.10 найдена полоса пропускания, границы которой обозначаются частотами ₁ и ₂. Полоса пропускания обозначается как  и измеряется в единицах измерения частоты. Тогда полоса пропускания будет равна:

. (3.33)

В зоне полосы пропускания АЧХ практически симметрична относительно резонансной частоты. Поэтому интервалы между резонансной частотой и границами полосы пропускания обозначим как ∆.

, .

С учетом этого выражение для полосы пропускания (3.33) принимает вид:

. (3.34)

Рассмотренный способ определения полосы пропускания возможен только при наличии графика АЧХ. Это не всегда удобно.

Найдем аналитическое выражение для определения полосы пропускания. Для этого воспользуемся формулой (3.29) определения АЧХ.

. (3.35)

Найдем, какой имеет вид (3.35) для границ полосы пропускания. Для этого предварительно найдем выражение в круглых скобках формулы (3.35) для ₁ и ₂.

В контурах радиоаппаратуры полоса пропускания узкая и составляет единицы килогерц, а резонансная частота высокая и составляет сотни килогерц. Это позволяет пренебречь величиной ∆ в числителе и знаменателе. Тогда рассматриваемое соотношение принимает вид:

Для =₂, с учетом сказанного получаем:

Из приведенного анализа видно, что рассматриваемая часть формулы (3.35) на граничных частотах ₁ и ₂ имеет одинаковые выражения, отличающиеся только знаком. Но так как рассмотренное соотношение в формуле (3.35) находится в квадрате, то эта формула для обеих границ полосы пропускания имеет один и тот же вид:

(3.36)

При решении задачи о полосе пропускания в общем виде вводится понятие коэффициента неравномерности . Он показывает, какую часть от резонансного тока принимает ток контура на границах полосы пропускания и имеет разные значения в зависимости от вида аппаратуры (0.707; 0.1; 0.01 и т. д.) Тогда, в соответствии с понятием полосы пропускания, приравняем (3.36) к коэффициенту неравномерности:

Решаем это уравнение относительно 2∆ и с учетом (3.34) находим:

.

При коэффициенте неравномерности полоса пропускания одиночного последовательного контура определяется формулой:

(3.37)

На границах полосы пропускания последовательный одиночный колебательный контур обладает рядом свойств, которые полезно знать при расчете схем с его применением.

1. Мощность, потребляемая контуром на границах полосы пропускания, в 2 раза меньше мощности, потребляемой контуром на резонансной частоте.

Действительно, на резонансной частоте мощность, потребляемая контуром, выражается через действующее значение тока контура известным соотношением:

Обозначим действующее значение тока на границе полосы пропускания через I. Тогда, с учетом (3.31), мощность, потребляемая контуром на каждой из границ полосы пропускания, равна:

2. На границах полосы пропускания сопротивление резистора контура R равно модулю суммы его реактивных элементов:

На резонансной частоте ток в контуре равен:

На границах полосы пропускания ток контура в общем виде (для =₁ и =₂) определяется формулой:

С учетом (3.31) приравняем эти токи:

После несложных преобразований находим:

(3.38)

3. На границах полосы пропускания фаза тока контура относительно входного сигнала равна 45.

Комплексное значение тока контура равно:

.

Фаза тока равна:

. (3.39)

Исходя из (3.38), модуль аргумента (3.39) на границах полосы пропускания равен 1. Исходя из свойств ФЧХ, на частотах 0 контур имеет емкостные свойства (Х<0) и, следовательно:

.

На частотах >₀ контур имеет индуктивные свойства (Х > 0), следовательно:

4. На границах полосы пропускания обобщенная расстройка .

Из (3.36) видно, что обобщенная расстройка, с учетом ранее выполненного анализа для ₁ и ₂ имеет вид:

,

где «плюс» имеет место для ₂, а «минус» — для ₁.

Тогда, учитывая (3.34) и (3.37), получаем:

.

5. На границе полосы пропускания модуль полного сопротивления контура равен:

.

Это легко проверить, учитывая второе из рассмотренных свойств (3.38). Из выражения модуля полного сопротивления контура находим:

.

1. Параллельный контур без диссипаций в реактивных ветвях – полное сопротивление, резонанс в контуре, напряжение на контуре и токи в ветвях, векторная диаграмма.

Параллельные колебательные контура Параллельные одиночные колебательные контура характеризуются тем, что основные элементы их — конденсатор и индуктивность соединены между собой параллельно. Резисторы могут быть включены как параллельно с реактивными элементами, так и последовательно. В первом случае диссипация энергии в параллельных ветвях, содержащих реактивные элементы, отсутствует. Во втором случае в этих ветвях имеют место диссипативные процессы. Рассмотрим каждый из названных видов параллельных контуров. 3.3.1. Параллельный колебательный контур без диссипации в реактивных ветвях Общие соотношения. В параллельном колебательном контуре без диссипации в реактивных ветвях резистор включен параллельно с конденсатором и индуктивностью, которые здесь считаются идеальными (рис.3.18). Их диссипации могут быть учтены в резисторе по параллельной схеме замещения (рис.1.4). Сопротивление контура. Для рассмотрения свойств контура определим его полное сопротивление _K (рис.3.18,в). Представим контур в виде параллельно соединенных реактивных и резистивного сопротивлений (рис.3.18,б). Воспользуемся проводимостями этих элементов: ; ; ; . Как известно, эквивалентная проводимость параллельно соединенных элементов равна сумме проводимостей этих элементов. Тогда эквивалентная проводимость контура имеет вид: . Отсюда находим величину эквивалентного сопротивления контура, выделяя в нем вещественную и мнимую составляющие: (3.50) Представим сопротивление контура в показательной форме: , (3.51) где ;. Напряжение на контуре. В отличие от последовательного контура, в параллельном контуре входным параметром является ток контура i_К(t), а выходным — напряжение на контуре u_К(t). Это связано с особенностью функционирования параллельных контуров в радиотехнических устройствах, таких как резонансные усилители, резонансные фильтры и др. В связи с этим задаем ток с определенной амплитудой и нулевой фазой, который в гармонической форме записи и в комплексной форме имеет виды: ; . Напряжение на контуре определяется в соответствии с законом Ома: , (3.52) где , . Токи в контуре. Определим токи во всех ветвях контура. Напряжение на контуре, а, значит, напряжение, приложенное к каждой из ветвей, имеет вид: . (3.53) Токи в ветвях определяются по закону Ома: ,где. , где (3.54) ,где Резонанс в контуре. Условие резонанса и резонансная частота. Как отмечалось, признаком резонанса являются максимальные значения тока и напряжения в схеме при определенной частоте сигнала. При этом в полном сопротивлении цепи мнимая составляющая равна нулю. Это мы видели в последовательном одиночном колебательном контуре. Воспользуемся этим условием. Тогда из выражения (3.50) видно, что условием резонанса в контуре является выполнение следующего равенства: . (3.55) Это значит, что при резонансе сопротивления конденсатора и катушки индуктивности равны: . Решая (3.55) относительно частоты, находим выражение для резонансной частоты контура: . (3.56) Определим сопротивление контура, напряжение на контуре и токи в ветвях на резонансной частоте. Сопротивление контура на резонансной частоте можно определить из (3.51). С учётом условия резонанса (3.55) видно, что на резонансной частоте модуль и фаза сопротивления контура принимают значения: , . Напряжение на контуре при резонансе определяется из (3.53) с учётом равенства нулю фазы сопротивления контура на резонансной частоте где , (3.57) . Токи в ветвях контура при резонансе определяются из (3.54) с учётом (3.55) и (3.57): , где ; , где ; (3.58) , где. В силу равенства видно, что токи в ветвях с индуктивностью и конденсатором равны по величине, а по фазе отличаются друг от друга на 180. Это хорошо видно на векторной диаграмме (рис.3.19). Совершенно очевидно, что в соответствии с первым законом Кирхгофа контурный ток равен сумме токов ветвей контура: . Однако, как видно из векторной диаграммы, токи и при суммировании уничтожают друг друга и контурный ток определяется током, протекающим через резистор: . (3.59) В силу рассмотренных свойств параллельного контура, резонанс в параллельном контуре еще называют резонансом токов. Мощности в контуре. Мгновенная мощность контура определяется как произведение мгновенного тока контура на мгновенное напряжение: На резонансной частоте , тогда . Средняя мощность, потребляемая контуром, равна: . С учетом (3.58) выражение для средней мощности контура принимает вид: . В полученном выражении мгновенной мощности контура на резонансной частоте отсутствует реактивная составляющая мощности. Однако под действием контурного напряжения через конденсатор и индуктивность протекают токи. Определим мгновенные мощности на этих элементах так, как это делали при анализе идеальных емкостного и индуктивного двухполюсников. Для емкостной ветви и индуктивной ветви получим: , . (3.60) При резонансе . Из (3.60) следует, что мгновенные мощности на конденсаторе и индуктивности равны по величине и противоположны по фазе. Добротность контура. Добротность контура, как и прежде, найдем из отношения амплитуды реактивной мощности контура к средней мощности. Для этого воспользуемся амплитудными значениями мощностей на конденсаторе и индуктивности (3.60). После очевидных преобразований имеем: . (3.61) Из (3.61) видно, что добротность контура без диссипации в параллельных ветвях (рис.3.18) тем выше, чем больше величина R, и тем меньше затухают колебания в контуре. С учетом полученного выражения для добротности полное сопротивление контура (3.50) примет вид: (3.62) Последнее выражение для сопротивления контура позволяет рассмотреть зависимость от частоты его модуля и фазы: ,. (3.63) На рис.3.20 представлены эти зависимости. Модуль сопротивления контура имеет наибольшее значение на резонансной частоте. Если R имеет конечное значение (присутствует в контуре), то Z_К0=R (график 1). Если R стремится к бесконечности (резистор отсутствует), то Z_К0 также стремится к бесконечности (график 2). Фазовая характеристика сопротивления контура позволяет установить его свойства на различных частотах. Если воспользоваться треугольником сопротивления, то видно, что на низких частотах (слева от резонансной частоты) контур должен иметь свойства реального индуктивного двухполюсника, а на высоких частотах (справа от резонансной частоты) контур должен иметь свойства реального емкостного двухполюсника. Сравним амплитуды токов I_L и I_C с амплитудой тока I_R. Используя соотношения (3.58), находим: ; . Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) параллельного контура называется зависимость от частоты модуля напряжения на контуре. Как и для последовательного контура, удобно АЧХ для параллельного контура рассматривать в приведенном виде. Для этого необходимо найти модуль отношения напряжения на контуре в комплексной форме при произвольной частоте к напряжению на контуре при резонансной частоте. Напряжение на контуре при произвольной частот и на резонансной частоте находятся по закону Ома: ; . Для удобства рассмотрения АЧХ здесь напряжение на контуре и сопротивление контура на резонансной частоте обозначены, соответственно как и. Берем отношение этих напряжений и, с учетом (3.58) и что, получаем: . (3.64) Модуль полученного выражения (3.60) является амплитудно-частотной характеристикой параллельного контура. . (3.65) На рис.3.21 представлены графики АЧХ параллельного контура для двух значений добротности. Увеличение добротности делает график АЧХ более крутым. Фазо-частотной характеристикой параллельного контура называется зависимость от частоты фазы напряжения на контуре. Как видно из (3.52), фаза напряжения на контуре равна фазе комплексного сопротивления контура. Учитывая (3.63), фазо-частотная характеристика параллельного контура принимает вид: . (3.66) На рис.3.22 представлен график ФЧХ параллельного контура. Так как фаза контурного тока равна нулю, то ФЧХ контура показывает, в каком фазовом соотношении (опережает, совпадает, отстает) находится напряжение по отношению к току. Эта информация позволяет судить о свойствах контура. Так, на резонансной частоте фаза контурного напряжения равна нулю. Значит на резонансной частоте напряжение контура и ток совпадают по фазе. Исходя из теории двухполюсников, этим свойством обладает резистивный двухполюсник. Следовательно, на резонансной частоте контур может быть заменен резистором. Об этом свойстве контура уже говорилось. На низких частотах (слева от резонансной частоты) фаза контурного напряжения положительная. Значит, в этом интервале частот напряжение опережает ток контура. Из теории двухполюсников известно, что этим свойством обладает реальный индуктивный двухполюсник. Следовательно, на низких частотах параллельный контур может быть заменен последовательно соединенными резистором и индуктивностью. На высоких частотах (справа от резонансной частоты) фаза контурного напряжения отрицательная. Значит, в этом интервале частот контурное напряжение отстает от контурного тока. Следовательно, на этом интервале частот контур обладает свойствами реального емкостного двухполюсника, и может быть заменен последовательно соединенными резистором и конденсатором. Необходимо отметить, что величины индуктивности и емкости в схемах замещения контура индуктивным и емкостным двухполюсниками не равны значениям индуктивности и ёмкости контура и на различных частотах будут иметь различные значения. Полоса пропускания. Физический смысл полосы пропускания резонансных контуров рассматривался для последовательного одиночного колебательного контура. Для параллельного контура физический смысл полосы пропускания совершенно аналогичен. Отличительная особенность параллельного контура состоит в том, что выходным сигналом является контурное напряжение, и АЧХ отображает его зависимость от частоты. Полосой пропускания параллельного одиночного колебательного контура называется интервал частот, включающий резонансную частоту контура, на границах которого значение напряжения контура меньше значения напряжения на резонансной частоте в раз. Это требование для значения напряжения на границе полосы пропускания можно выразить так: ; . Последнее соотношение позволяет определить границы полосы пропускания и ее величину по АЧХ контура (рис.3.23): . Пользуясь полученными соотношениями для последовательного колебательного контура, АЧХ для параллельного контура на границах полосы пропускания примет вид, аналогичный (3.36): . (3.67) Приравнивая (3.67) к коэффициенту неравномерности  и решая полученное уравнение относительно 2∆ω, находим: ; . Как отмечалось, для широкого круга приемно-передающих устройств коэффициент неравномерности берется равным: . С учетом этого находим выражение для полосы пропускания одиночного параллельного резонансного контура: . (3.68)

Полоса пропускания.

Полосу пропускания контура обычно оценивают как диапазон частот, в пределах которого резонансная кривая (например, входная проводимость Х(со)) превышает уровень 1 /Л = 0,707 максимального значения. Используя нормированную характеристику (5.16), можно получить выражение для определения граничных значений ?_>1 и фактора расстройки:

откуда

Граничные частоты оз! и оз₂ можно определить из выражения (5.20):

Физический смысл имеют только положительные корни уравнения (5.21), т.е.:

Полоса пропускания ДГ2 определяется как разность граничных частот:

На рис. 5.23 дана резонансная характеристика контура и обозначена полоса пропускания. Чем выше добротность контура, тем эже полоса пропускания. Для расширения полосы пропускания требуется, следовательно, уменьшать добротность контура. Из соотношений (5.22) видно, что полоса пропускания несимметрична относительно резонансной частоты контура, так как резонансная частота равна среднему геометрическому граничных частот:

Следовательно, частота со, расположена ближе к резонансной частоте, чем со₂ . Для высокодобротных контуров можно пренебречь несимметричностью резонансной кривой контура и считать, что

Относительной полосой пропускания называют отношение Учитывая, что можно определить относительную полосу пропускания по резонансной характеристике контура, построенной в функции фактора расстройки 4 (см. рис. 5.16).

Для оценки избирательности контуров различных видов вводят величину, называемую коэффициентом прямоугольнос- ти. Она характеризует крутизну спада резонансной характеристики контура: где ,

размеры полос пропускания по уровням соответственно 0,707 и 0,1 максимального значения. Для рассматриваемого контура

определится из выражения

откуда Следовательно, /е_п = 0,1.

Этот коэффициент очень мал, т.е. избирательность одиночного последовательного контура плохая.

Наилучшая избирательность при к_П * 1 , т.е. когда резонансная характеристика прямоугольна, однако такая характеристика нереализуема. Но имеется возможность в несколько раз повысить коэффициент прямоугольное™, в частности применением связанных контуров, описанных в гл. 7.

3.6. Расширение полосы пропускания контура

На практике часто возникает необходимость расширения полосы пропускания контура. Обычно такую задачу приходится решать в радиолокационных и телевизионных приемниках, так как спектр частот, занимаемый радиоимпульсом или телевизионным сигналом, имеет ширину до нескольких мегагерц. Выше было показано, что полоса пропускания зависит от добротности контура и для последовательного контура равна

.

Этой же формулой определяется полоса пропускания параллельного контура по току при питании его от генератора с внутренним сопротивлением, равным нулю.

Полоса пропускания контура без учета внутреннего сопротивления генератора тем шире, чем ниже добротность контура, поэтому для расширения полосы пропускания следует уменьшать добротность контура. При неизменных L и С добротность контура зависит от его активного сопротивления R, т. е. от потерь энергии в контуре. Уменьшить добротность контура и расширить полосу пропускания можно, включив в контур последовательно дополнительное сопротивление . Эквивалентная добротность контура в этом случае равна

.

Соответственно расширится полоса пропускания контура. Без учета влияния генератора полоса пропускания контура в этом случае равна

.

Чем больше сопротивление, тем меньше эквивалентная добротность контура и тем шире его полоса пропускания. Необходимоучитывать, что сопротивление уменьшает резонансное сопротивление параллельного контура и увеличивает резонансное сопротивление последовательного контура.

Если равно собственному активному сопротивлениюR контура, добротность контурауменьшается вдвое. Полоса пропускания последовательного контура без учета влияния генератора расширяется также вдвое. Полоса пропускания параллельного контура по току при этом расширяется в 1,4 раза, а понапряжению – в 2 раза.

Сопротивление должно быть чисто активным, иначе его включение изменит собственную частоту контура. Величина сопротивлениясоизмерима с величиной собственного активного сопротивленияR контура, т. е. составляет единицы или десятки ом. Непроволочное сопротивление такой величины выполнить затруднительно, а проволочное нельзя сделать безреактивным. Поэтому способ расширения полосы пропускания контура за счет последовательного включения в контур сопротивления неудобен.

Уменьшить добротность контура и расширить полосу его пропускания можно, подключив параллельно контуру активное сопротивление .При этом увеличиваются потери энергии и уменьшается добротность контура, а следовательно, расширяется его полоса пропускания.

Сопротивления ив равной степени уменьшают добротность контура в том случае, если мощность, расходуемая в них, одинакова. Соотношение между величинамии, вызывающими одинаковое расширение полосы пропускания контура:

.

Для параллельного включения сопротивления не требуется разрыва цепи контура, поэтому такой способ расширения полосы пропускания удобнее, чем последовательное включение сопротивления в контур. Величина сопротивления , соизмерима с резонансным сопротивлением параллельного контура (несколько десятков или сотен килоом). Непроволочные сопротивления такой величины, выпускаемые промышленностью, практически безреактивны (за исключением диапазона УКВ).

Полное сопротивление контура с учетом уменьшается и приводит к изменению режима схемы, в которой работает контур. Еслиравно резонансному сопротивлениюпараллельного контура, то добротность контура уменьшается, а полоса пропускания увеличивается в два раза.Резонансное сопротивление контура при этом уменьшается вдвое.