Что такое резонанс и антирезонанс

МЕТОД «РЕЗОНАНС-АНТИРЕЗОНАНС» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Журина Ангелина Евгеньевна, Емельянов Никита Сергеевич, Печерская Екатерина Анатольевна, Фимин Андрей Владимирович

Актуальность и цели . Пьезоэлектрические материалы являются перспективными для применения в датчиках, для контроля динамических процессов в качестве первичных преобразователей информации измерительных и управляющих систем. Пьзомодуль позволяет формализовать взаимосвязи между диэлектрическими и упругими свойствами материала, что указывает на актуальность исследования методов его определения. Материалы и методы. Исследованы электрофизические параметры образцов материалов с пьезомягкой и пьезожесткой модой методом «резонанс-антирезонанс». Результаты. Выполнен анализ применимости метода «резонанс-антирезонанс» для образцов с пьезомягкой и пьезожесткой модой, при котором в образцах возбуждаются соответствующие образцу моды колебаний. По измеренным значениям характерных частот , а также емкости образцов рассчитаны величины всех упругих пьезоэлектрических и диэлектрических констант. Выводы. Подтверждена применимость метода «резонанс-антирезонанс» для определения электрофизических параметров пьезоэлектриков как у материалов с пьезомягкими модами, так и с пьезожесткими. Показано, что полный набор констант, полученный для образца одной формы, отличается от образца из того же материала, но другой формы. Это обусловлено флуктуацией свойств при переходе от пьезоэлемента одной геометрии к пьезоэлементу с другой геометрией из-за разного уровня их поляризации, разброса степени их структурной неоднородности.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE «RESONANCE-ANTIRESONANCE» METHOD FOR DETERMINING THE ELECTROPHYSICAL PARAMETERS OF PIEZOELECTRICS

Background . Piezoelectric materials are promising for use in sensors, for monitoring dynamic processes as primary information converters of measuring and control systems. The piezomodule makes it possible to formalize the relationship between the electrical and elastic properties of the material, which indicates the relevance of the study of methods for its determination. Materials and methods . The electrophysical parameters of samples of materials with piezo-soft and piezo-hard modes are investigated by the «resonance-antiresonance» method. Results . The analysis of the applicability of the «resonance-antiresonance» method for samples with piezo-soft and piezo-hard modes, in which the oscillation modes corresponding to the sample are excited in the samples, is performed. The values of all elastic piezoelectric and dielectric constants are calculated from the measured values of the characteristic frequencies, as well as the capacitance of the samples. Conclusions . The applicability of the «resonance-antiresonance» method for determining the electrophysical parameters of piezoelectrics both in materials with piezo-soft modes and with piezo-rigid ones is confirmed. It is shown that the complete set of constants obtained for a sample of one form differs from a sample of the same material, but of a different form. This is due to the fluctuation of properties during the transition from a piezoelectric element of one geometry to a piezoelectric element with another geometry due to the different level of their polarization, the spread of the degree of their structural heterogeneity.

Текст научной работы на тему «МЕТОД «РЕЗОНАНС-АНТИРЕЗОНАНС» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ»

МЕТОД «РЕЗОНАНС-АНТИРЕЗОНАНС» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ

А. Е. Журина1, Н. С. Емельянов2, Е. А. Печерская3, А. В. Фимин4

1 2, 3, 4 Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1 gelya.zhurina@mail.ru, 2 emelianoff.nikita@gmail.com, 3 pea1@list.ru, 4 mr.l0tus@mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Пьезоэлектрические материалы являются перспективными для применения в датчиках, для контроля динамических процессов в качестве первичных преобразователей информации измерительных и управляющих систем. Пьзомодуль позволяет формализовать взаимосвязи между диэлектрическими и упругими свойствами материала, что указывает на актуальность исследования методов его определения. Материалы и методы. Исследованы электрофизические параметры образцов материалов с пьезомягкой и пье-зожесткой модой методом «резонанс-антирезонанс». Результаты. Выполнен анализ применимости метода «резонанс-антирезонанс» для образцов с пьезомягкой и пьезожесткой модой, при котором в образцах возбуждаются соответствующие образцу моды колебаний. По измеренным значениям характерных частот, а также емкости образцов рассчитаны величины всех упругих пьезоэлектрических и диэлектрических констант. Выводы. Подтверждена применимость метода «резонанс-антирезонанс» для определения электрофизических параметров пьезоэлектриков как у материалов с пьезомягкими модами, так и с пьезожесткими. Показано, что полный набор констант, полученный для образца одной формы, отличается от образца из того же материала, но другой формы. Это обусловлено флуктуацией свойств при переходе от пьезоэлемента одной геометрии к пьезоэлементу с другой геометрией из-за разного уровня их поляризации, разброса степени их структурной неоднородности.

Ключевые слова: пьезоэлектрик, метод «резонанс-антирезонанс», пьезоэлектрические константы, комплексная проводимость, частота

Для цитирования: Журина А. Е., Емельянов Н. С., Печерская Е. А., Фимин А. В. Метод «резонанс-антирезонанс» для определения электрофизических параметров пьезоэлектриков// Измерения. Мониторинг. Управление. Контроль. 2022. № 3. С. 76-82. doi:10.21685/2307-5538-2022-3-9

THE «RESONANCE-ANTIRESONANCE» METHOD FOR DETERMINING THE ELECTROPHYSICAL PARAMETERS OF PIEZOELECTRICS

А^. Zhurina1, N.S. Emelyanov2, E.A. Pecherskaya3, A.V. Fimin4

1 2 3 4 Penza State University, Penza, Russia 1 gelya.zhurina@mail.ra, 2 emelianoff.nikita@gmail.com, 3 pea1@list.ru, 4 mr.l0tus@mail.ru

Abstract. Background. Piezoelectric materials are promising for use in sensors, for monitoring dynamic processes as primary information converters of measuring and control systems. The piezomodule makes it possible to formalize the relationship between the electrical and elastic properties of the material, which indicates the relevance of the study of methods for its determination. Materials and methods. The electrophysical parameters of samples of materials with pie-zo-soft and piezo-hard modes are investigated by the «resonance-antiresonance» method. Results. The analysis of the applicability of the «resonance-antiresonance» method for samples with piezo-soft and piezo-hard modes, in which the oscillation modes corresponding to the sample are excited in the samples, is performed. The values of all elastic piezoelectric and dielectric constants are calculated from the measured values of the characteristic frequencies, as well as the capacitance of the samples. Conclusions. The applicability of the «resonance-antiresonance» method for determining the electrophysical parameters of piezoelectrics both in materials with piezo-soft modes and with piezo-rigid ones is confirmed. It is shown that the complete set of constants obtained for a sample of one form differs from a sample of the same material, but of a different form. This is due to the fluctuation of properties during the transition from a piezoelectric element of one geometry to a piezoelectric element with another geometry due to the different level of their polarization, the spread of the degree of their structural heterogeneity.

Keywords: piezoelectric, the method of «resonance-antiresonance», piezoelectric constants, complex conductivity, frequency

© Журина А. Е., Емельянов Н. С., Печерская Е. А., Фимин А. В. , 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

For citation: Zhurina A.E., Emelyanov N.S., Pecherskaya E.A., Fimin A.V. The «resonance-antiresonance» method for determining the electrophysical parameters of piezoelectrics. Izmereniya. Monitoring. Upravlenie. Kontrol’ = Measurements. Monitoring. Management. Control. 2022;(з):76-82. (In Russ.). doi:10.21685/2307-5538-2022-3-9

Перспективные пьезоэлектрические материалы находят широкое применение в пьезоэлектрических преобразователях и датчиках, для контроля динамических процессов в качестве первичных преобразователей информации измерительных и управляющих систем [1]. Для применения пьезоэлектрических материалов в измерительной технике важно сочетание высокой эффективности со стабильностью характеристик при внешних воздействиях [2]. Свойства пьезоэлектрических кристаллов и пьезоэлектриков на основе различных химических соединений зависят от большого набора взаимосвязанных параметров, к которым относится температура Кюри, величины пьезоэлектрических, упругих и диэлектрических констант, стабильность от температуры, давления и других влияющих факторов [3]. Это указывает на необходимость системного выбора пьезоэлектрического материала, наилучшим образом подходящего для использования в измерительной технике. Поэтому актуальна задача изучения методов исследования электрофизических параметров пьезоэлектриков.

В электрическом поле диэлектрикам присущи различные электромеханические эффекты, так как при деформации кристалла в нем возникают упругие напряжения. Физической причиной электромеханических эффектов являются микроскопические смещения электрических зарядов в приложенном электрическом поле, поскольку электромеханические эффекты сопровождают электрическую поляризацию. Анизотропия пьезоэлектрических материалов приводит к тому, что для описания их электромеханических свойств необходимо использовать несколько компонент пьезомодулей [4]. Пьзомодуль является важным электрофизическим параметром пьезоматериала, с помощью которого описывается взаимосвязь между диэлектрическими и упругими свойствами материала. Помимо пьезомодуля существует ряд других, не менее важных параметров. Наиболее распространен следующий набор параметров пьезомате-риала [5]:

d (d33, d31) — пьезомодули (по направлению рабочих деформаций);

Кэм (k33, k31) — коэффициенты электромеханической связи характеризуют эффективность преобразования электрической энергии, подводимой к материалу, в механическую;

Yjj — модуль Юнга определяет упругие и резонансные свойства материала;

Q„ — характеризует потери энергии в материале на внутреннее трение, определяет эффективную ширину полосы пропускания, влияет на степень затухания колебательных процессов;

8r — относительная диэлектрическая проницаемость определяет полное сопротивление пьезоэлемента, характеризует диэлектрические и в конечном итоге емкостные свойства пьезо-элемента;

tgS и tgo — тангенсы углов диэлектрических и механических потерь характеризуют диэлектрические и механические потери в материале;

Известны различные методы определения констант упругости пьезоматериалов, которые целесообразно разделить на следующие группы: динамические методы, статические и квазистатистические [б].

Статистическими и квазистатическими методами обычно определяют только пьезомо-дули d31 , d31 . Отличие этих методов от динамических методов заключается в том, что у первых частота статического и квазистатического нагружения испытуемых образцов ограничена сверху единицами Герц. Динамические методы позволяют определить ряд констант пьезо-электрика с достаточно высокой точностью. В частности, к ним относится метод резонансных спектров, с помощью которого можно определить ряд упругих резонансов пьезоматериалов в сегнето- или парафазе в температурном диапазоне, включающем в себя температуру, близкую к температуре фазового перехода. Наибольшее распространение для сегнетоэлектриков и пье-зоактивных материалов получил метод резонанса-антирезонанса [б]. Данный метод позволяет определить полный набор констант пьезоэлектрического материала. При использовании метода «резонанса-антирезонанса» (Р-А) в образцах возбуждают соответствующие образцу моды колебаний. По измеренным значениям характерных частот, а также емкости образцов рассчитывают величины всех упругих пьезоэлектрических и диэлектрических констант. В работе [7] из-

Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. 2022. № 3

ложены сведения о методах и средствах измерения констант пьезокерамики и параметров пье-зорезонатора. Подробно рассмотрен метод «резонанс — антирезонанс», на нескольких модах:

• низкочастотные пьезомягкие моды:

— колебания пьезокерамических колец с аксиальной поляризацией;

— сферически симметричные колебания тонкой сферической пьезокерамической оболочки;

— продольные колебания стержня в поле, перпендикулярном его длине;

— диски с радиальными колебаниями.

• высокочастотные пьезомягкие моды:

— толщинные колебания пластин в электрическом поле, перпендикулярном толщине.

• низкочастотные пьезожесткие моды:

— продольные колебания стержня в поле параллельном его длине.

• высокочастотные пьезожесткие моды:

— тонкая пластинка с продольными колебаниями по толщине;

— пластинка со сдвиговыми колебаниями по толщине.

Моды в образце можно определить резонансным методом, в котором возбуждаются определенные акустические моды собственных колебаний образца [8]. В работе [9] при заданной нагрузке рассмотрена задача о вынужденных колебаниях для различных значений частоты. Переход через собственную частоту обнаруживается по изменению фазы всех характеристик. Таким образом, обычно фиксируется широким интервал, содержащий собственную частоту. Последующее дробление этого интервала позволяет найти с высокой точностью, как саму собственную частоту, так и характеристики соответствующей формы колебаний.

Математической моделью, используемой в методе, служат выражения для комплексной проводимости или сопротивления, полученные из решения электромеханической задачи для случаев одномерных колебаний пьезоэлемента. Основным допущением модели является пренебрежение всеми видами потерь энергии [7]. Экспериментально метод основан на измерении частот, по которым рассчитываются упругие константы и коэффициент электромеханической связи. Для расчета пьезоконстант проводятся измерения низко- или высокочастотной емкости, определяющей диэлектрические свойства материала. Последние наряду с величинами модуля комплексной проводимости на резонансе используются для определения механической добротности.

В сегнетоэлектриках типа смещения ангармоническое взаимодействие между фононами является слабым, что подтверждается малостью констант затухания для мягких мод и расчетами ангармонических поправок к частотам мягких фононных мод пьезоматериалов [10]. Выбор независимых механических переменных определяется механическими условиями в направлениях, поперечных колебательному движению. В случае низкочастотных мод элементарный объем считается свободным в поперечном направлении. На высокочастотных модах элементарный объем зажат в поперечном направлении одномерного линейного или планарно-го колебательного движения. Электрические граничные условия определяются расположением поверхностей пьезоэлектриков и их формой. Для пьезоэлектрических мягких (пьезомягких) мод поверхности электродов параллельны направлению колебаний.

Удобным способом описания метода «резонанс — антирезонанс» представляется использование классификации, которая выполнена в соответствии с электрическими и механическими граничными условиями. Можно определить пьезоконстанты, исходя из комплексной проводимости У для пьезомягких мод:

где 1д(ф) — функция, определяющая динамические свойства пьезоматерила; к — коэффициент связи, или из комплексного сопротивления Z для пьеэзожестких мод [7] согласно следующему выражению:

У = М1 + т ту I д (ф)], 1 — к

Для определения констант на пьезомягких модах используется условие антирезонанса при Y = 0, для определения констант на пьезожестких модах применено условие Z ^ œ.

Для примера рассмотрим образец в форме таблетки, имеющей природу низкочастотных мод. Тогда комплексная проводимость будет определяться согласно выражению (l). В условии антирезонанса Y = О, отсюда следует

При определении коэффициента связи воспользуемся заменой [7]

где / — частота динамического (последовательного) резонанса, / — частота параллельного резонанса (антирезонансная частота), А/ = / — / . Тогда коэффициент связи будет равен

пьезомодуль можно определить из коэффициента связи

где — упругая константа материала; £^3 — диэлектрическая константа; о — коэффициент Пуассона.

В образце в форме таблетки, имеющего пьезожесткую моду, комплексная проводимость будет определяться по формуле (2). В условии антирезонанса X ^ да, отсюда следует

При определении коэффициента связи воспользуемся заменой [7], тогда коэффициент связи будет равен

Пьезоэлектрическая константа будет равна

Антирезонанс — Antiresonance

В физике связанных осцилляторов, антирезонанс, по аналогии с резонанс, является ярко выраженным минимумом в амплитуде генератора на определенной частоте, сопровождаемый большим резким сдвигом его колебаний фаза. Такие частоты известны как антирезонансные частоты системы системы, и на этих частотах амплитуда колебаний может упасть почти до нуля. Антирезонансы вызваны деструктивным интерференцией, например, между внешней движущей силой и взаимодействием с другим осциллятором.

Антирезонансы могут возникать во всех типах систем связанных генераторов, включая механические, акустические, электромагнитные и квантовые системы. У них есть важные приложения для определения характеристик сложных связанных систем.

Термин антирезонанс используется в электротехнике для обозначения формы резонанса в одиночном генераторе с аналогичными эффектами.

1 Антирезонанс в электротехнике
2 Антирезонанс в связанных генераторах
3 Интерпретация как деструктивная интерференция
4 Сложные связанные системы
5 Приложения
6 См. Также
7 Ссылки

Антирезонанс в электротехнике

В электротехнике антирезонанс — это условие, при котором реактивное сопротивление исчезает, а импеданс электрическая цепь находится очень высоко, приближаясь к бесконечности.

В электрической цепи, состоящей из конденсатора и катушки индуктивности, соединенных параллельно, антирезонанс возникает, когда переменный ток линия напряжение и результирующий ток находятся в фазе. В этих условиях линейный ток очень мал из-за высокого электрического импеданса параллельной цепи при антирезонансе. Токи ответвлений почти равны по величине и противоположны по фазе.

Антирезонанс в связанных генераторах

Установившаяся амплитуда и фаза двух связанных гармонических генераторов в зависимости от частоты.

Простейшая система в возникает антирезонанс, представляет собой систему связанных гармонических осцилляторов, например маятниковых или цепей RLC.

. Рассмотрим два гармонических осциллятора, соединенных вместе с силой g и с одним генератором, управляемым осциллирующая внешняя сила F. Ситуация описывается связанными обыкновенными дифференциальными уравнениями

x ¨ 1 + 2 γ 1 x ˙ 1 — 2 g ω 1 x 2 + ω 1 2 x 1 = 2 F cos ⁡ ω TX ¨ 2 + 2 γ 2 Икс ˙ 2-2 г ω 2 Икс 1 + ω 2 2 Икс 2 знак равно 0 > _ +2 \ gamma _ > _ -2g \ omega _ x_ + \ omega _ ^ x_ = 2F \ cos \ omega t \\ > _ +2 \ gamma _ > _ -2g \ omega _ x_ + \ omega _ ^ x_ = 0 \ end >>

где ω i представляют резонансные частоты o f два осциллятора и γ i их коэффициенты затухания. Замена переменных на комплексные параметры:

α 1 = ω 1 x 1 + ip 1 m 1 α 2 = ω 2 x 2 + ip 2 m 1 \ альфа _ = \ omega _ x_ + i <\ frac > \\\ alpha _ = \ omega _ x_ + i <\ frac > \ end >>

позволяет нам записать их как уравнения первого порядка:

α ˙ 1 = i ω 1 α 1 — γ 1 (α 1 — α 1 ∗) — ig ω 1 ω 2 (α 2 + α 2 ∗) + i F (ei ω t + e — i ω t) α ˙ 2 = i ω 2 α 2 — γ 2 (α 2 — α 2 ∗) — ig ω 2 ω 1 (α 1 + α 1 ∗) > _ = i \ omega _ \ alpha _ — \ gamma _ (\ alpha _ — \ alpha _ ^ ) — ig <\ tfrac <\ omega _ > >> (\ alpha _ + \ alpha _ ^ ) + iF (e ^ + e ^ ) \\ > _ = i \ omega _ \ alpha _ — \ gamma _ (\ alpha _ — \ alpha _ ^ ) — ig <\ tfrac > <\ omega _ >> (\ alpha _ + \ alpha _ ^ ) \ end >>

Мы преобразуем в кадр, вращающийся с частотой возбуждения

α ˙ 1 = i Δ 1 α 1 — γ 1 (α 1 — α 1 ∗ e 2 i ω t) — ig ω 1 ω 2 (α 2 + α 2 ∗ e 2 i ω t) + i F (1 + e 2 i ω t) α ˙ 2 = i Δ 2 α 2 — γ 2 (α 2 — α 2 ∗ e 2 я ω T) — ig ω 2 ω 1 (α 1 + α 1 ∗ e 2 я ω T) > _ = я \ Delta _ \ alpha _ — \ gamma _ (\ alpha _ — \ alpha _ ^ e ^ ) — ig <\ tfrac < \ omega _ > >> (\ alpha _ + \ alpha _ ^ e ^ ) + iF (1 + e ^ ) \\ > _ = i \ Delta _ \ alpha _ — \ gamma _ (\ alpha _ — \ alpha _ ^ e ^ ) — ig <\ tfrac > <\ omega _ >> (\ alpha _ + \ alpha _ ^ e ^ ) \ end >>

где мы ввели отстройки Δ i = ω — ω i между резонансными частотами привода и генераторов. Наконец, мы делаем приближение вращающейся волны , пренебрегая быстро вращающимися в противоположных направлениях членами, пропорциональными e, которые в среднем равны нулю в интересующих нас временных масштабах (это приближение предполагает, что ω + ω i ≫ ω — ω i, что разумно для малых диапазонов частот вокруг резонансов). Таким образом, получаем:

α ˙ 1 = i (Δ 1 + i γ 1) α 1 — ig ω 1 ω 2 α 2 + i F α ˙ 2 = i (Δ 2 + i γ 2) α 2 — ig ω 2 ω 1 α 1 > _ = i (\ Delta _ + i \ gamma _ ) \ alpha _ < 1>-ig <\ tfrac <\ omega _ > >> \ alpha _ + iF \\ > _ = i ( \ Delta _ + i \ gamma _ ) \ alpha _ -ig <\ tfrac > <\ omega _ >> \ alpha _ \ end >>

Без демпфирования, движения или сцепления решения этих уравнений:

, которые представляют вращение в комплексной плоскости α с угловой частотой Δ.

устойчивое решение можно найти, установив α̇ 1 = α̇ 2 = 0, что дает:

α 1, ss = — F (Δ 2 + i γ 2) (Δ 1 + i γ 1) (Δ 2 + i γ 2) — g 2 α 2, ss = ω 2 ω 1 — F g (Δ 1 + i γ 1) (Δ 2 + я γ 2) — г 2 \ alpha _ = + i \ gamma _ )> <(\ Delta _ + i \ gamma _ ) (\ Delta _ + i \ gamma _ ) - g ^ >> \\\ альфа _ = <\ frac <\ omega _ > <\ omega _ >> <(\ Delta _ + i \ gamma _ ) (\ Delta _ + i \ gamma _ ) - g ^ >> \ end >>

Рассматривая эти решения для установившегося режима как функцию частоты возбуждения, очевидно, что оба генератора демонстрируют резонансы (пики амплитуды, сопровождаемые положительными фазовыми сдвигами) на двух частотах нормальной моды. Кроме того, управляемый генератор демонстрирует выраженный провал амплитуды между нормальными модами, который сопровождается отрицательным фазовым сдвигом. Это антирезонанс. Обратите внимание на отсутствие антирезонанса в спектре неуправляемого генератора ; хотя его амплитуда имеет минимум между нормальными модами, нет явного провала или отрицательного фазового сдвига.

Интерпретация как деструктивная интерференция

Анимация, показывающая эволюцию во времени до антирезонансного стационарного состояния двух связанных маятников. Красная стрелка представляет движущую силу, действующую на левый маятник.

Уменьшение амплитуды колебаний при антирезонансе можно рассматривать как следствие деструктивной интерференции или отмены сил, действующих на осциллятор.

В приведенном выше примере на частоте антирезонанса внешняя движущая сила F, действующая на осциллятор 1, нейтрализует силу, действующую через связь с осциллятором 2, заставляя осциллятор 1 оставаться почти неподвижным.

Сложные связанные системы

Пример частотной характеристики динамической системы с несколькими степенями свободы, демонстрирующий отчетливое резонансно-антирезонансное поведение как по амплитуде, так и по фазе.

функция частотной характеристики (FRF) любой линейной динамической системы, состоящей из многих связанных компонентов, в целом будет демонстрировать характерное резонансно-антирезонансное поведение при возбуждении.

Как правило, можно констатировать, что с увеличением расстояния между ведомым и измеряемым компонентами количество антирезонансов в АЧХ уменьшается. Например, в описанной выше ситуации с двумя осцилляторами АЧХ неприведенного осциллятора не показывала антирезонанса. Резонансы и антирезонансы непрерывно чередуются только в АЧХ самого ведомого компонента.

Приложения

Важным результатом теории антирезонансов является то, что их можно интерпретировать как резонансы системы, закрепленной в точке возбуждения. Это можно увидеть на приведенной выше анимации маятника: установившаяся антирезонансная ситуация такая же, как если бы левый маятник был неподвижен и не мог колебаться. Важным следствием этого результата является то, что антирезонансы системы не зависят от свойств возбуждаемого генератора; то есть они не изменяются при изменении резонансной частоты или коэффициента затухания ведомого генератора.

Этот результат делает антирезонансы полезными для характеристики сложных связанных систем, которые не могут быть легко разделены на составляющие их компоненты. Резонансные частоты системы зависят от свойств всех компонентов и их соединений и не зависят от того, какой из них приводится в действие. С другой стороны, антирезонансы зависят от управляемого компонента, таким образом предоставляя информацию о том, как он влияет на всю систему. Управляя каждым компонентом по очереди, можно получить информацию обо всех отдельных подсистемах, несмотря на связи между ними. Этот метод находит применение в машиностроении, структурном анализе и разработке интегральных квантовых схем.

В электротехнике антирезонанс используется в волновых ловушках, которые иногда вставляются последовательно с антеннами радиоприемников, чтобы блокировать поток переменного тока на частоте мешающей станции, позволяя проходить другим частотам.

См. Также

Резонанс
Осциллятор
Резонанс (цепи переменного тока)
Настроенный демпфер

О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Для исследования резонансных и околорезонансных явлений использован символический (комплексный) метод, позволяющий существенно повысить продуктивность, упростить и формализовать математические преобразования. Рассмотрены параллельное и последовательное соединения элементов механической системы с источником силы либо источником скорости в качестве источника внешнего механического гармонического воздействия. Описаны четыре режима — резонансы и антирезонансы сил и скоростей. Использование символического (комплексного) метода существенно упростило исследование резонансных и околорезонансных явлений, в частности позволило глубоко унифицировать и формализовать рассмотрение различных механических систем. Громоздкие и трудоемкие операции, связанные с составлением и решением дифференциальных уравнений, заменены простыми алгебраическими преобразованиями. В основе метода лежит механический аналог закона Ома в комплексном представлении и понятие о механических реактансе , резистансе , импедансе , сассептансе , кондактансе и адмитансе .

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ON MECHANICAL RESONANCES AND ANTI-RESONANCES

To study resonance and near-resonance phenomena, a symbolic (complex) method was used, which makes it possible to significantly increase productivity, simplify and formalize mathematical transformations. Parallel and sequential connections of elements of a mechanical system with a source of force or a source of speed as a source of external mechanical harmonic action are considered. Four modes are described — resonances and antiresonances of forces and velocities. The use of the symbolic (complex) method has significantly simplified the study of resonance and near-resonance phenomena, in particular, it has made it possible to deeply unify and formalize the consideration of various mechanical systems. The cumbersome and time-consuming operations associated with the preparation and solution of differential equations have been replaced by simple algebraic transformations. The method is based on the mechanical analogue of Ohm’s law in a complex representation and the concept of mechanical reactance, resistance, impedance, susceptance, conductance and admittance.

Текст научной работы на тему «О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ»

О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ

Поступила в редакцию 28.01.2021 г.

Рецензия от 26.02.2021 г.

Для исследования резонансных и околорезонансных явлений использован символический (комплексный) метод, позволяющий существенно повысить продуктивность, упростить и формализовать математические преобразования. Рассмотрены параллельное и последовательное соединения элементов механической системы с источником силы либо источником скорости в качестве источника внешнего механического гармонического воздействия. Описаны четыре режима — резонансы и антирезонансы сил и скоростей. Использование символического (комплексного) метода существенно упростило исследование резонансных и околорезонансных явлений, в частности позволило глубоко унифицировать и формализовать рассмотрение различных механических систем. Громоздкие и трудоемкие операции, связанные с составлением и решением дифференциальных уравнений, заменены простыми алгебраическими преобразованиями. В основе метода лежит механический аналог закона Ома в комплексном представлении и понятие о механических реактансе, резистансе, импедансе, сассептансе, кондактансе и адмитансе.

Ключевые слова: реактанс, резистанс, импеданс, сассептанс, кондактанс, адмитанс

Keywords: reactance, resistivity, impedance, susceptance, conductance, admittance

В установившемся режиме при гармонических воздействиях удобно использовать комплексное представление величин [1 — 3]. При этом символический (комплексный) метод существенно упрощает исследо-

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2021. № 2. С. 79—94.

вание резонансных и околорезонансных явлений [4—11]. В отличие от классического метода здесь не возникает необходимости в составлении и решении дифференциальных уравнений [12].

По аналогии с электротехникой гармоническую величину можно представить в виде

a = Asrn(roi + ф) = Im [Ae'(т’+ф) ] ,

где Ae — вращающийся в комплексной плоскости вектор, w — циклическая частота, ф — начальная фаза.

Векторы в комплексной плоскости принято изображать для нулевого момента времени. При этом величина Ae’ (т0+ф) = Ae’p = A называется комплексной амплитудой.

В основе исследования механических систем лежит дуально-инверсный аналог закона Ома для участка электрической цепи

где V и F — комплексные амплитуды скорости и силы, z и y — механические импеданс (impedance) и адмитанс (admittance) в комплексном представлении [1 — 3].

Над комплексными величинами, не являющимися изображениями синусоиды, точка не ставится, такие величины подчеркиваются.

Далее рассматриваются параллельное (рис. 1) и последовательное (рис. 2) соединения элементов механической системы [1; 2].

Рис. 1. Параллельное соединение

Рис. 2. Последовательное соединение

Аналитические описания резонанса в курсах теоретической механики соответствуют параллельному соединению.

Источниками внешнего механического гармонического воздействия на систему выступают либо источник силы, либо источник скорости.

Существуют устройства, в удовлетворительном приближении способные выполнять функции источников силы и источников скорости. Источником гармонической скорости может выступать привод с криво-шипно-кулисным механизмом и маховиком с большим моментом инерции. Источником гармонической силы может выступать шток пневмо-цилиндра, полость которого сообщается с полостью другого пневмоци-линдра, диаметр которого неизмеримо выше, чем у первого, а поршень совершает гармонические колебания.

Источник силы характеризуется комплексной амплитудой силы

Источник скорости характеризуется комплексной амплитудой скорости

Механические гармонические воздействия, описываемые в курсах теоретической механики, соответствуют источнику силы.

Параллельное соединение характеризуется следующими величинами [1; 2].

Инертный реактанс (reactance) —

xт = юте1″!2 = xme1″‘2, (4)

xk = e = xke , (5) ю

где k — коэффициент упругости.

Механический резистанс (resistance) —

где г — коэффициент вязкого сопротивления. Механический импеданс —

% = Ъе’р, где Ъ = ^г2 + (хт — хк )2 , р = arctg ——— . (6)

Последовательное соединение характеризуется следующими величинами [1; 2].

Инертный сассептанс (susceptance) —

L, =— e»»‘2 = bme «‘/2 ют т

k = kei^2 = bkei/2. (8)

Механический кондактанс (conductance) —

Для элемента (инертного, упругого, резистивного), рассматриваемого вне связи с другими механическими элементами, bm = 1/xm , bk = Vx , g = 1/r . В системе, включающей несколько элементов, соотношения

y = Yeip, где Y = Jg2 +(bk — bm )2 , p = arctg ^^. (9)

1. Параллельное соединение и источник силы. Резонанс сил.

Комплексная амплитуда скорости (см. (1)) —

V = — =—e-ip = Ve-ip . (10)

Комплексная амплитуда инертной силы —

Fm = x^V = xmVei(71/1 -p) = Fmei(‘/2-p). (11)

Комплексная амплитуда упругой силы —

Fk = xkV = xkVe-i(72+p) = Fke-i(//2+p). (12)

Комплексная амплитуда резистивной силы —

Fr = r_V = rVe-ip= Fre-ip. (13)

Fm + Fk + Fr = F . (14)

Из закона Гука, (12) и (5) следует выражение для комплексной амплитуды отклонения

F г Ve-i(/2+р) kVe-i(/2+p) V . ,

X = £L = xkVe_= kVe_= —e-i(‘/2+p) = Xe-i(/2+P) (15)

Из второго закона Ньютона, (11) и (4) следует выражение для комплексной амплитуды ускорения

• Р х УР (ж!2-Р) атУр(ж!2-Р) , ,

А = = ХтУр-= -= У Ч2-р) = АеР2-р . (16)

Разумеется, А = аУ = а2X .

Из (10) — (16) и (4) —(6) следуют амплитудно-частотные характеристики

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

W r2 + (ют — k/ ю) ю r2 +(ют — k/ю)2

Jr2 + (ют — k/ю) Jr2 +(ют — k/a)

Jr2 +(ют — ^ю) Jr2 +(ют — ^ю)

Графики функций Х(а), У (а), А(а) ведут себя качественно так же, как соответственно Рк(а), Рг(а), Рт(а).

Частота ак, на которой функции Х(а) и Рк(а) имеют максимум, определяется из условия

Решение этого уравнения: k

= J= ю^1 -r7(2×2) =ю^1 -d72 ,

где xw =4km — волновое сопротивление (системах), d = r/xw — затухание (системы) (по аналогии с электротехникой).

Fk max = Fk (ю. ) = , Q , F , = Х(ю. ) = = , X0 ,

71 — d 74 k ,/1 — d 74

где Q = 1/й — добротность (системах) (по аналогии с электротехникой), Х0 = Х(0) = рк — статическое отклонение.

Частота аг, на которой функции У (а) и / (а) имеют максимум, очевидным образом равна аг = ^к/т = а0.

^ = £ (а) = £ , Утах = У(а) = — . (20)

Частота ат, на которой функции А(а) и £т (а) имеют максимум, определяется из условия

Решение этого уравнения:

am = , II . 1 = =, (21)

—Vm^/1 — r 7(2 km) — d2/2

Fm max = Fm (am ) = F , A^ = A(a„, ) = ~Л= » = «3=== A , (H)

— d ¡4 ^/1 — d ¡4 m — d2/4

где A0 = A(0) = F/m — постоянное ускорение (при нулевой частоте).

При d2/2 > 1 функции X(a), A(a), Fk(a), Fm(a) не имеют максимумов в вещественном диапазоне частот. Примечательно, что

Amax =®02 Xmax, (25)

max max — = akXmax = -¡=П= . (26)

Другие характерные точки:

Fk (am) = 0^ F, X(am) = X,, (28)

Fm a) = QF , A(a0) = QA0, Fk (a0) = QF , Xfo) = QX0, (29)

Fr (ak) = Fr (am) = V ‘ F,

V (ak) = V (am) = V F = V, V (a0). (30)

,/1 — d 74 r д/1 — d /4

Рк а) = Р, (а,) = Рк а) = Р, а) = Х(ак) = А(ат) = 1 Р, а) Рк (ат) Рк а) Р, а) Х(ат) А(ак) 1 — й1 ¡2′

На рисунке 3 представлены подлинные резонансные кривые для системы с параметрами Р=100 Н, т = 10 кг, к=40 кг-с-2, г = 10 кг-с-1.

Рис. 3. Резонанс сил

На том основании, что амплитуда отклонения Х имеет максимум на частоте ак (ак <а0), она (ак, а не а0) считается резонансной частотой

Это было бы сильным решением, если бы Х был единственным значимым кинематическим параметром. Однако не менее значимыми па-

раметрами являются амплитуды скорости V и ускорения А. При этом первая имеет максимум на частоте а0, а вторая — на частоте ат (ат > а0). Таким образом, ак ничем не лучше, чем а0 и ат . Единственным аргументом при выборе резонансной частоты остается соображение симметрии (усиленное выражением (23)), в соответствии с которым резонансная частота — а0.

Этот выбор становится еще более очевидным, если обратиться к силам.

Амплитуда упругой силы Рк имеет максимум на частоте ак, амплитуда инертной силы Ет — на частоте ат . Отдать предпочтение той или другой частоте невозможно. Однако именно на частоте ю0 имеет место резонанс сил, при котором реактивные силы ¥к и Рт равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю [14; 15].

С другой стороны, величина импеданса механической системы

Ъ = ^г2 + (хт — хк )2 , характеризующего ее свойство оказывать сопротивление приводу, понуждающему ее совершать колебания, имеет минимальное значение на частоте а0. Другими словами, именно на частоте а0 система оказывает приводу минимальное сопротивление.

Таким образом, резонансной частотой является исключительно а0.

2. Параллельное соединение и источник скорости. Антирезонанс сил.

Комплексная амплитуда инертной силы —

Комплексная амплитуда упругой силы —

Комплексная амплитуда резистивной силы —

Разумеется, Рт + Рк + Рг = £ . Комплексная амплитуда отклонения —

Р х Ve-i»‘2 к\/е-1″‘2 V , ,

X = рк_ = ЧУ!-= ^-= —е-«2 = Хе-«2. (34)

Комплексная амплитуда ускорения —

Комплексная амплитуда силы (см. (1)) — Р = V х = VzelV = Рещ

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

При ю ^ 0 и ю ^ да кривая Р(а) устремляется в бесконечность. При сверхмалых частотах условие (3) порождает чрезмерные деформации упругого элемента (34), сопровождаемые, соответственно, чрезмерными силами упругости. При сверхвысоких частотах условие (3) порождает чрезмерные ускорения (35) и чрезмерные инерционные силы.

При ю0 график проходит через минимум Ртп = Р(ю0) = Ут = Рт. Имеет место антирезонанс сил, при котором реактивные силы Рк и Рш равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю.

Для антирезонанса разночтений со смещением антирезонансной частоты (она же резонансная) не возникает.

На рисунке 4 представлена подлинная антирезонансная кривая для системы, отличающейся от первой тем, что У =10 м-с-1.

Рис. 4. Антирезонанс сил

3. Последовательное соединение и источник скорости. Резонанс скоростей.

Порядок рассуждений такой же, как в п. 1. Комплексная амплитуда силы (см. (1)) —

Р = — = — е-*= Ре-ир. (36)

Комплексная амплитуда скорости инертного элемента —

Vm = ЬтР = ЬтРе(ж’2+9) = Vme-l(*’2+9). (37)

Комплексная амплитуда скорости изменения длины упругого элемента —

Vk = ЬкР = ЬкРе'(«‘2-р) = Vkeг(«‘2-р). (38)

Комплексная амплитуда скорости изменения длины резистивного элемента —

V, = £Р = %Ре-1*= Ке-г* . (39)

Из (37) следует выражение для комплексной амплитуды импульса —

Р = mVm = тЬтРе-‘(«‘2+р) = т—Ре-1(«2+р) = —е-1(«2+р) = Ре-1(«2+р). (41) т т ат а

Из (38) следует выражение для комплексной амплитуды производной силы (специального названия не имеет, приводится здесь как дуальный аналог преобразования (16)) —

В = Щ = кЬкРе1(«‘2-9) = к—Ре'»2-9) = аРе'»2-9) = Ве'(«2-р) . (42)

Это соответствует преобразованию

к„ = к^Х = ^ = а = В . (43)

Из (36) — (42) и (7), (8), (9) следуют амплитудно-частотные характеристики

Vm(а) =-. V 2 , Р(а) = —,(45)

ату/1/ г2 +[а/к — 1/(ат)] а—1/ X2 +[а/к — 1/(ат)]

^1/т2 + [ю/к- 1/(юш)]2 ‘ У ‘ ^1/т2 + [-1/(юш)]2 ‘

Ц1/ т2 + [ю/к — 1/(юш)]] ^1/ т2 +[ю/к- 1(юш)]2

Графики функций Р(ю), Р(ю), В(ю) ведут себя качественно так же, как соответственно Уш (ю), Ут (ю), Ук(ю).

Частота юш, на которой функции Р(ю) и Уш (ю) имеют максимум, определяется из условия

Решение этого уравнения:

1- шк/(2т2) =ю^1- хЦ(2т2) = ю^1- 02/2 . (49)

где Р0 = Р(0) = Уш — постоянный импульс (при нулевой частоте).

Частота ют, на которой функции Р(ю) и Ут(ю) имеют максимум, очевидным образом равна

Ут тах = Ут ю) = У , ^тах = Р(ю„) = У .

Частота юк, на которой функции В(ю) и Ук(ю) имеют максимум, определяется из условия

Решение этого уравнения:

ш V1 -кш/(2т2) 71-072

Vkmax = Vk (—к) = , й 2/ V, Втах = В—к) = й Vk = й В0 ,(53)

71-074 71-074 71-074

где В0 = В(0) = Vk — постоянная производная силы (при нулевой частоте).

При 0 72 > 1 функции Р(а), В(а), Vm (а), Vk (а) не имеют максимумов в вещественном диапазоне частот. Примечательно, что

Втах =—02 Рпах, (56)

Другие характерные точки:

Vm (—к) = V, Р(—к) = -й=Щ* Р0, (58)

Vk (—т ) =*-Щ= V , В(—т ) В0, (59)

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Vm (а0) = й • V, Р(а0) = й • Р0, Vk (а0) = й -V , В(а0) = й • В0, (60)

Р( ) Р( ) 71 — 072 V 71 — 072 Р( )

Р(ак ) = Р(—т ) = П—^— = I , , Р(а0)

Vk (—к ) = Vm (—т ) = Vk (—к ) = Vm От ) = Р(—т ) = В— ) = 1

Vm (—к ) Vk К ) Vk (—т ) V (—к ) Р— ) В— ) 1 — й

Vr (—к ) V, (—т ) 7Т-072′

Амплитуда скорости инертного элемента Уш имеет максимум на частоте юш, амплитуда скорости изменения длины упругого элемента Ук — на частоте юк.

На частоте ю0 имеет место резонанс скоростей, при котором (реактивные) скорости и Ук равны и противоположны, а их сумма соответственно равна нулю [14; 15].

Величина адмитанса механической системы У = ^я2 + (Ьк -Ьш )2 ,

характеризующего ее свойство не оказывать сопротивление приводу, понуждающему ее совершать колебания, имеет минимальное значение на частоте ю0. Другими словами, именно на частоте ю0 система оказывает приводу максимальное сопротивление.

Таким образом, резонансной частотой является исключительно ю0.

Для системы с параметрами, отличающимися от параметров второй тем, что т=40 кг-с-1, подлинные резонансные кривые полностью совпадают с изображенными на рисунке 3 при заменах — ^ Уш, —ш ^ Ук, —т ^ Ут, юк ^ юш , юш ^ юк .

4. Последовательное соединение и источник силы. Антирезонанс скоростей.

Порядок рассуждений такой же, как в п. 2.

Комплексная амплитуда скорости инертного элемента —

Уш = Ьш — = Ьш—е-‘*’2 = Уше-‘*’2.

Комплексная амплитуда скорости изменения длины упругого элемента —

Ук = к — = Ьк—е*2 = Уке-*2.

Комплексная амплитуда скорости изменения длины резистивного элемента —

Разумеется, Уш + Ук + Ут = У.

Комплексная амплитуда импульса —

Р = шУш = шЬ—-‘*’2 = ш——е-‘*2 = —в-42 = Ре42. (65)

Комплексная амплитуда производной силы —

В = кУк = кЬ—е*2 = кв*2 = ю—е’*2 = Ве’*2. (66)

Комплексная амплитуда скорости (см. (1)) — У = —у = —уещ = Уещ.

При ю —> 0 и ю — да кривая У(ю) устремляется в бесконечность. При сверхмалых частотах условие (2) порождает чрезмерный импульс (65), сопровождаемый, соответственно, чрезмерной скоростью инертного элемента. При сверхвысоких частотах условие (2) порождает чрезмерную производную силы (66) и чрезмерную скорость изменения длины упругого элемента. При ю0 график проходит через минимум Ущт = У(ю0) = —Я = Ут. Имеет место антирезонанс скоростей, при котором (реактивные) скорости Уш и Ук равны и противоположны, а их сумма, соответственно, равна нулю.

Для системы, отличающейся от третьей тем, что —=100 Н, подлинная антирезонансная кривая полностью совпадает с изображенной на рисунке 4 при замене — — У.

Использование символического (комплексного) метода существенно упростило исследование резонансных и околорезонансных явлений, в частности позволило глубоко унифицировать и формализовать рассмотрение различных механических систем (п. 1 и 3, 2 и 4 являются дуально инверсными). Громоздкие и трудоемкие операции, связанные с составлением и решением дифференциальных уравнений, заменены простыми алгебраическими преобразованиями.

В основе метода лежит механический аналог закона Ома в комплексном представлении (1) и понятие о механических реактансе, резистансе, импедансе, сассептансе, кондактансе и адмитансе. С помощью этого метода получены новые результаты, в том числе (14), (17) — (33), (40) — (64).

В дополнение к классическому методу рассмотрены последовательное соединение механических элементов и источник скоростей.

Классическое рассмотрение доставляет одну амплитудно-частотную характеристику, символический (комплексный) метод — восемь при значительно большем числе характерных точек и характерных отношений.

Установлено, что вопреки классическому подходу резонансной частотой является исключительно ю0 (а не юк). Другими словами, резонансная частота не сдвигается от частоты свободных колебаний. Это обусловлено тем, что при классическом рассмотрении не установлена симметрия частот (23), (54), а при символическом она очевидна.

Определены резонанс и антирезонанс сил, резонанс и антирезонанс скоростей, которые не были определены классическим методом. Резо-нансы возникают при сочетаниях параллельного соединения элемен-

тов и источника силы либо последовательного соединения и источника скорости. Антирезонансы возникают при сочетаниях параллельного соединения и источника скорости либо последовательного соединения и источника силы.

Для всех описанных случаев фазо-частотные характеристики особой оригинальностью не отличаются и поэтому не рассматриваются.

1. Попов И. П. Применение символического (комплексного) метода для расчета сложных механических систем при гармонических воздействиях // Прикладная физика и математика. 2019. № 4. С. 14 — 24. doi: 10.25791/pfim.04.2019. 828.

2. Попов И. П. Импедансы и адмитансы механических систем // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2020. № 5 (343). С. 3 — 11. doi: 10.33979/2073-7408-2020-343-5-3-11.

3. Попов И. П. Алгебраические методы расчета разветвленных механических систем при вынужденных колебаниях // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2020. № 5 (343). С. 12 — 20. doi: 10.33979/ 2073- 7408-2020-343-5-12-20.

4. Кужелев А. А., Пониматкин В. Е., Шпилевая С. Г., Попов А. А. К вопросу об увеличении диапазонных свойств несимметричного вибратора // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2020. № 2. С. 95 — 103.

5. Шабловский О. Н. Колебания, резонансы и волны в нелокальной среде с источниками // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2018. № 4. С. 5—14.

6. Великанов Н.Л., Наумов В. А., Корягин С. И. Внутреннее трение при продольных колебаниях троса // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 3. С. 84—92.

7. Пониматкин В. Е., Шпилевой А. А., Кужелев А. А. К вопросу об увеличении диапазонных свойств несимметричного вибратора // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 2. С. 69 — 77.

8. Popov I. P. Free harmonie oscillations in systems with homogeneous elements / / Journal of Applied Mathematies and Mechanics. 2012. Vol. 76, iss. 4. P. 393 — 395. doi: 10.1016/j. jappmathmech.2012.09.005.

9. Popov I. P. Theory of a Multi-Inert Oscillator // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2020. Vol. 49, iss. 8. P. 16—20. doi: 10.3103/S105261882 0080105.

10. Попов И. П. Теоретические предпосылки создания мультиинертного осциллятора // Оборонный комплекс — научно-техническому прогрессу России. 2020. № 1 (145). С. 15—19.

11. Попов И. П., Родионов С. С., Мошкин В. И. Повышение энергоэффективности приводов решетных сортировальных вибромашин. Курган, 2019.

12. Попов И. П. Дифференциальные уравнения двух механических резонан-сов // Прикладная физика и математика. 2019. № 2. С. 37—40. doi: 10.25791/ pfim.02.2019.599.

13. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. М., 1980.

14. Попов И. П. Антирезонанс — резонанс скоростей // Мехатроника, автоматизация, управление. 2019. Т. 20, №6. С. 362 — 366. https://doi.org/10. 17587/таи.20.362-366.

15. Попов И. П. Разновидности резонансов в механике // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 2019. Т. 51, № 1. С. 88—85. doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-1-88-95.

Игорь Павлович Попов — канд. техн. наук, ст. преп., Курганский государственный университет, Россия.

Dr Igor P. Popov, Assistant Professor, Kurgan State University, Russia. E-mail: ip.popow@yandex.ru

Резонанс — друг и враг

Image. Легендарна полуторка із саньми-волокушами на льоду Ладозького озера

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний системы, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к определенным значениям (резонансных частот), обусловленным свойствами системы. Таким образом, причиной резонанса является совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы.

Резонанс встречается в механике, электронике, оптике, акустике, астрофизике.

Явление резонанса лежит в основе проектирования музыкальных инструментов: рояля, скрипки, флейты .

Используется явление резонанса и в электронике. Колебательный контур, состоящий из емкости и индуктивности, используется в элементах настройки и электрических фильтрах. Однако резонанс может быть и вредным, если он вызывает искажение сигнала или паразитные шумы.

Наблюдается резонанс и в космосе, когда два небесных тела, которые имеют периоды обращения, относящихся друг с другом как небольшие целые числа, делают регулярное гравитационное воздействие друг на друга, которое может стабилизировать их орбиты (орбитальный резонанс в небесной механике).

Однако наиболее часто резонанс бывает в классической и строительной механике, а также гидро- и аэромеханике. И, к сожалению, во многих случаях именно тогда, когда он совершенно нежелателен.

. Известно, что военным подразделениям при прохождении мостов приписывается «сбивать ногу» и идти не строевым, а свободным шагом. Горький опыт некоторых катастроф научил военнослужащих в подобных ситуациях отходить от многовековых традиций.

Так, 12 апреля 1831 разрушился Бротонский подвесной мост через реку Ирвелл в Англии, когда по нему шел военный отряд. Частота шагов воинов, шагавших в ногу, совпала с частотой собственных колебаний моста, через которые амплитуда резко возросла, цепи оборвались, и мост рухнул в реку. Именно этот случай, в результате которого два десятка человек были травмированы, способствовал принятию в британской армии правила «идти не в ногу» при прохождении войсками мостов. По той же причине в 1850 году неподалеку от французского города Анже был разрушен подвесной цепной мост над рекой Мин длиной более ста метров, что привело к многочисленным жертвам. Также существует версия, что 1905 году в результате прохождения кавалерийского эскадрона через резонанс разрушился и Египетский мост через реку Фонтанку в Петербурге. Однако эта версия, скорее всего, безосновательна, поскольку не существует методов дрессировки значительного количества лошадей для их движения «в ногу».

Причиной разрушения мостов из-за резонанса могут стать не только пешеходы, но и железнодорожные поезда. Для исключения резонанса моста поезд может двигаться или медленно, или на максимальной скорости (вспомните, как замедляют ход поезда метрополитена во время их движения через мост Метро в Киеве). Это обычно делается для исключения совпадения частоты ударов колес по стыкам рельсов с собственной частотой колебаний моста (по этой же причине участок рельсов на мосту часто выполняют сплошной, т.е. без стыков).

Катастрофические последствия для мостов могут послужить также и от воздействия ветра. Так, 7 ноября 1940 через игнорирование действия ветровой нагрузки на мост при его проектировании и вследствие возникновения резонанса разрушился Такомский подвесной мост общей длиной 1800 м и длиной центрального пролета 850 м (США).

С резонансом можно столкнуться не только на суше, но и на море и в воздухе. Так, при некоторых частотах вращения гребного вала в резонанс входили даже корабли. А на заре развития авиации некоторые авиационные двигатели вызывали столь сильные резонансные колебания элементов самолета, что он полностью разрушался в воздухе.

Причиной резонанса элементов летательных аппаратов и их разрушение может стать и флаттер — сочетание самовозбуждающиеся незатухающих изгибающих и крутильных автоколебаний элементов конструкции (главным образом крыла самолета или несущего винта вертолета). Одним из путей борьбы с этим явлением является использование так называемых протифлатерных грузов.

Интересно, что крепления двигателей на пилонах крыльев самолетов — это не прихоть конструкторов и дизайнеров, а насущная необходимость, поскольку двигатели демпфирующие колебания крыла в полете воздушного судна, будучи при этом своеобразным протифлатерним грузом.

Также известны случаи, когда во время выступлений знаменитого русского певца Федора Ивановича Шаляпина часто лопались плафоны в люстрах. И происходило это опять же через резонанс, когда частота собственных колебаний стекла совпадала с частотой акустических волн, воспроизводимых певцом.

Еще более интересным фактом является то, что во время Великой Отечественной войны все тот же резонанс едва не поставил под угрозу существование единой ниточки, проходившей по льду Ладожского озера и связывала блокадный Ленинград с «большой землей».

. Во время наведения участка Дороги жизни по Ладожскому озеру защитники Ленинграда неожиданно столкнулись с необычным явлением, когда после нормального прохождения по льду тяжелого грузовика, легкая машина, которая шла по тому же пути, нередко проваливалась под лед.

Перед учеными была поставлена задача срочно разобраться с ситуацией, сложившейся и предоставить рекомендации по преодоления автомобилями ледяного покрова. В южной части Ладожского озера, под артиллерийским и минометным огнем врага гидрограф и гидротехники проводили эксперименты по определению предельных нагрузок на лед. Все выводы ученых поступали в Ледовую службу Морской обсерватории. Было изучено деформационную устойчивость льда под статической нагрузкой и данные про упругие деформации льда при распространении по льду взрывной волны. При проведении автоколонн по Ладоге наблюдались и неизвестные ранее колебания ледяного покрова: водяной волна, образовавшаяся под льдом проседала, двигалась с постоянной для определенной толщины льда и глубины водоема скоростью. Она могла опережать приложенную нагрузку или отставать от нее, но опасным было совпадения этих скоростей — тогда вода прекращала поддержку ледяного покрова, и поддержка обеспечивалась только упругими свойствами льда. При этом наступал резонанс, что приводило к разрушению льда. Это проявление резонанса было названо изгибно-гравитационной волной.

По результатам исследований для автомобилей, которые двигались по льду, были установлены определенные скорости и дистанции. Ежедневно по ледяному покрову в обе стороны перевозилось около 6 тыс. Тонн грузов, а общее количество доставленных в Ленинград по Дороге жизни грузов за весь период ее существования составила более 1 млн 615 тыс. Тонн. Также за это же время с осажденного города было эвакуировано около 1 млн 376 тыс. Его жителей.

С учетом приобретенного опыта позже был разработан резонансный метод разрушения льда, энергоемкость которого в несколько раз меньше энергоемкости традиционного разрушения ледяного покрова с помощью ледоколов и ледокольного навесного оборудования.

Как видим, резонанс может быть достаточно коварным, но укротить его и вернуть на пользу человеку вполне по силам!

Полезная и интересная информация
Суспільство і наука

Что такое резонанс и антирезонанс

МЕТОД «РЕЗОНАНС-АНТИРЕЗОНАНС» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

THE «RESONANCE-ANTIRESONANCE» METHOD FOR DETERMINING THE ELECTROPHYSICAL PARAMETERS OF PIEZOELECTRICS

Текст научной работы на тему «МЕТОД «РЕЗОНАНС-АНТИРЕЗОНАНС» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКОВ»

Антирезонанс — Antiresonance

Антирезонанс в электротехнике

Антирезонанс в связанных генераторах

Интерпретация как деструктивная интерференция

Сложные связанные системы

Приложения

См. Также

О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Попов Игорь Павлович

ON MECHANICAL RESONANCES AND ANTI-RESONANCES

Текст научной работы на тему «О МЕХАНИЧЕСКИХ РЕЗОНАНСАХ И АНТИРЕЗОНАНСАХ»

Резонанс — друг и враг

Добавить комментарий Отменить ответ