Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом
Напряженность и потенциал – взаимосвязанные характеристики поля. Для подтверждения этого рассмотрим перемещение заряда q на бесконечно малом пути dr. Используя понятие разности потенциалов, получим:
. (6.15)
Эту же работу можно выразить и через напряженность поля:
. (6.16)
Здесь – проекция вектора напряженности на направление перемещения.
Из уравнений (6.15) и (6.16) легко получить связь потенциала и напряженности поля в данной точке:
. (6.17)
Знак минус в (6.17) показывает, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала.
Эту связь можно выразить и графически, если проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы они соответствовали одинаковым приращениям потенциала (одинаковые разности потенциалов между соседними эквипотенциальными поверхностями). В этом случае быстрота изменения потенциала в направлении силовых линий будет обратно пропорциональна расстоянию между соседними эквипотенциальными поверхностями. Это значит, что густота эквипотенциальных поверхностей пропорциональна напряженности поля: там, где больше напряженность поля, там и эквипотенциальные поверхности располагаются теснее друг к другу.
Итак, электрическое поле есть особый вид материи, передающий взаимодействие между зарядами. Электрическое поле характеризуется двумя взаимосвязанными величинами: напряженностью поля Е и потенциалом φ. Напряженность поля – силовая, а потенциал – энергетическая характеристики поля. Напряженность определяет силу, действующую на заряд, а потенциал является мерой потенциальной энергии заряда в данной точке поля. Для описания электрического поля достаточно знать одну из этих величин, так как вторая всегда может быть определена с ее помощью.
Потенциал часто бывает удобнее для описания поля, так как потенциал – скалярная величина и вполне определяется только своим численным значением, в то время как напряженность поля есть вектор и для каждой точки поля надо знать три его составляющие. Кроме того, потенциал или разность потенциалов гораздо легче измерить.
Экспериментальные исследования электростатических полей
Измерить разность потенциалов между двумя проводниками или между двумя точками проводника не трудно – для этого существуют вольтметры. Более сложная задача – измерение разности потенциалов между проводником и какой-либо точкой поля или данной точкой поля Земли.
Для исследования электростатического поля могут быть использованы электрометры. Однако, в силу трудностей экспериментов с электрометром, изучение электростатического поля системы заряженных проводников заменяют изучением поля электрического тока между той же системой проводников, если потенциалы проводников поддерживаются постоянными и проводимость среды во много раз меньше проводимости проводников.
Такой способ изучения называется моделированием, а реализуется он с помощью ванны, представляющей сосуд, в котором могут помещаться электроды различной конфигурации. В ванну заливается слабопроводящий раствор.
Таким образом, если проводники нужной формы поместить в однородную слабопроводящую среду и поддерживать постоянство потенциала с помощью внешнего источника ЭДС, то структура электрического поля между электродами совпадает со структурой электрического поля, созданного зарядами, расположенными на этих электродах (рис. 6.5).
Во избежание неудобств, связанных с электролизом и поляризацией электродов, питание установки лучше производить не постоянным, а низкочастотным переменным током.
Обычно непосредственное изучение электростатического поля осуществляется с помощью зонда, представляющего собой проводник достаточно малых размеров. На зонд с помощью потенциометра подают потенциалы различной величины относительно одного из электродов (обычно заземленного). Если потенциал данной точки поля и зонда совпадают, то ток через зонд, фиксируемый гальванометром, отсутствует. Если при перемещении зонда в электролитической ванне ток через гальванометр отсутствует, то это означает, что зонд перемещается вдоль сечения эквипотенциальной поверхности. Таким образом, можно с помощью эквипотенциальных линий представить картину электрического поля.
В нашей лаборатории разность потенциалов между электродами устанавливается с помощью источника тока с регулируемым выходом и вместо зонда с регулируемым потенциалом используется высокоомный вольтметр с внутренним сопротивлением порядка 100 кОм.
2.Связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля.
Рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E dl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = — dWп = — q dφ, где dφ — изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = — dφ или в декартовой системе координат
Ex dx + Ey dy + Ez dz = — dφ,
где Ex, Ey, Ez — проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем
.
Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала φ, т. е.
E = — grad φ
Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону уменьшения потенциала.
3.Напряжённость поля точечного заряда. Потенциал поля точечного заряда.
Закон Кулона : сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
, где k – коэффициент пропорциональности Н·м 2 /Кл 2 , где ε0 – электрическая постоянная, равная 8,85·10 -12 Кл 2 /Н·м 2 .
В соответствии с законом Кулона, напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от него, равна по модулю:
Потенциал поля точечного заряда:
4.Принцип суперпозиции для напряжённости и потенциала электрического поля.
Напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:
Потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов в каждой точке по отдельности:
Эти свойства электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции.
5.Теорема Гаусса и её применение для расчёта напряжённости электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости, двух и более плоскостей; бесконечной равномерно заряженной нити, цилиндра; равномерно заряженной сферы, объёмно заряженного шара.
Теорема Гаусса: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, поделенной на электрическую постоянную ε0.
Ф = ∫ Еп ds = 1/ ε0 Σ qi
1.Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 1) заряжена с постоянной поверхностной плотностью +σ (σ = dQ/dS — заряд, который приходится на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны данной плоскости и направлены от нее в каждую из сторон. Возьмем в качестве замкнутой поверхности цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности поля (соsα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Еn совпадает с Е), т. е. равен 2ES. Заряд, который заключен внутри построенной цилиндрической поверхности, равен σ∙S. Согласно теореме Гаусса, 2E∙S= σ ∙S/ε0, откуда (1)
2.Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 2). Пусть плоскости заряжены равномерно разными по знаку зарядами с поверхностными плотностями +σ и –σ. Поле таких плоскостей будем искать как суперпозицию полей, которые создаются каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательно заряженной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (поскольку линии напряженности направлены навстречу друг другу), значит здесь напряженность поля E=0. В области между плоскостями E = E+ + E- (E+ и E- находятся по формуле (1)), поэтому результирующая напряженность
(2)
3.Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 6) равномерно заряжен с линейной плотностью τ (τ = –dQ/dt заряд, который приходится на единицу длины). Из соображений симметрии мы видим, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. Мысленно построим в качестве замкнутой поверхности коаксиальный цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы и линии напряженности параллельны), а сквозь боковую поверхность равен 2πrlЕ. Используя теорему Гаусса, при r>R 2πrlЕ = τl/ε0, откуда (5) Если r
4.Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +σ. Т.к. заряд распределен равномерно по поверхности то поле, которое создается им, обладает сферической симметрией. Значит линии напряженности направлены радиально (рис. 3). Проведем мысленно сферу радиуса r, которая имеет общий центр с заряженной сферой. Если r>R,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, который создает рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr 2 E = Q/ε0 , откуда (3) При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 4. Если r’
5. Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью ρ (ρ = dQ/dV – заряд, который приходится на единицу объема). Учитывая соображения симметрии, аналогичные п.3, можно доказать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в случае (3). Внутри же шара напряженность поля будет иная. Сфера радиуса r’0=(4/3)πr’ 3 ρ/ε0 . Т.к. ρ=Q/(4/3πR 3 )) получаем (4) Значит, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r’ согласно зависимости (4). График зависимости Е от r для рассмотренного случая показан на рис. 5.
как связана разность потенциалов с напряженностью электрического поля?
«Напряженность электрического поля» — это СИЛОВАЯ характеристика поля. Она измеряется СИЛОЙ. с которой поле действует на электрический заряд помещённый в какую-либо точку этого поля.
Математически это записывают при помощи такого соотношения:
E=F/g, где: Е — напряженность, F -сила, g — заряд. Отсюда находим и силу, действующую на заряд: F=E*g.
«Разность потенциалов» — это ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ характеристика поля. Она измеряется РАБОТОЙ, совершаемой полем при перемещении электрического заряда из одной точки поля в другую её точку.
Математически это записывают при помощи следующего соотношения:
A=((y1) — (y2))*g, где: А — работа, (y1) — потенциал первой точки поля, (y2) — потенциал второй точки поля, g — электрический заряд, перемещаемый от первой точки ко второй.
Разность потенциалов обозначают буквой U, поэтому выведенное нами соотношение запишется так:
A=((y1)-(y2))*g=U*g.
Теперь найдём связь между напряженностью электрического поля и разностью потенциалов. Для этого вспомним определение работы из механики: А=F*S, здесь: А — работа, F — сила, S — расстояние.
Считаем, что расстоянием является путь, который электрический заряд проходит, передвигаясь от точки к точке, вдоль силовой линии поля, а сила, действующая на заряд нами уже была найдена ранее из определения напряженности поля: F=E*g, отсюда следует, что: A=F*S=E*g*S.
По разности потенциалов работа равна: A=U*g, отсюда: A=U*g=E*g*S, или: U*g=E*g*S, сокращаем обе чсти равенства на «g» и, окончательно: E=U/S=((y1)-(y2)) / S.
Словами это можно выразить так: «Напряженность электрического поля численно равна изменению потенциала на единицу длины силовой линии».
Словосочетание: «изменение потенциала на единицу длины силовой линии», назвали «градиентом потенциала».
Остальные ответы
Разность потенциалов — это интеграл от напряжённости по произвольной траектории. Хоть по прямой, соединяющей две точки (только при интегрировании нужно брать компоненту напряжённости, направленную вдоль прямой)
A. Связь потенциал-напряженность
Пользуясь картиной эквипотенциальных поверхностей, можно найти напряженность поля в любой точке. Рассчитаем работу, совершаемую силами электростатического поля при перемещении электрического заряда с одной эквипотенциальной поверхности φ1 на другую φ2 по нормали к этой поверхности. Перемещение положительного заряда q0 под действием сил поля из точки 1 в точку 2 равно Δl (рис. 4).
Работа сил поля \(~A = q_0 (\varphi_1 — \varphi_2)\). Если расстояние Δl между поверхностями по нормали мало, то на этом участке поле можно считать однородным. Поэтому можно воспользоваться формулой для расчета работы по перемещению заряда q0 в однородном электростатическом поле\[~A = F \Delta l = q_0E \Delta l\]. Приравнивая два выражения для работы, получим:
\(~q_0(\varphi_1 — \varphi_2) = q_0E \cdot \Delta l \Rightarrow E = \frac .\)
Модуль напряженности в любой точке поля численно равен разности потенциалов, приходящейся на единицу длины линии напряженности. Чем меньше Δl, тем теснее расположены эквипотенциальные поверхности, тем больше в этом месте напряженность поля.
В однородном поле Δl может быть любое. Если Δl = d, то
Эта формула выражает связь между напряженностью и разностью потенциалов однородного электростатического поля. На основании этой формулы можно установить единицу напряженности в СИ: вольт на метр (В/м).
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 233.