скорость
СКОРОСТЬ — одна из основных кинематич. характеристик движения точки: v = dr/dt, где dr — элементарное перемещение (или приращение радиуса-нектора r)точки в данной системе отсчёта за время dt. Направлен вектор v по касательной к траектории в сторону движения точки. По модулю v = ds/dt, где ds— элементарный путь точки за время dt.
Измеряют С. обычно в м/с (СИ), см/с (СГС) или в км/ч.
В проекциях на оси координат компоненты С. имеют следующий вид (см. рис.):
а) в декартовых координатах х, у, z
б) в цилиндрич. координатах
в) в сферич. координатах
Модуль С. в этих случаях равен квадратному корню из суммы квадратов соответствующих компонент.
Когда говорят о С. произвольно движущегося тела или системы тел, то имеют в виду С. их центра масс. Это естеств. обобщение С. материальной точки.
В ньютоновской (нерелятивистской) механике С. точки при переходе от одной инерциальной системы отсчёта К’ к др. системе К преобразуется по закону
где v0 — скорость K’-системы относительно K-системы. Это т.н. классический закон сложения (преобразования) С., являющийся следствием преобразований Галилея (см. Галилея принцип относительности).
В более сложном случае, когда K’-система совершает произвольное движение относительно K-системы, С. точки преобразуется по ф-ле
где v0 — скорость начала отсчёта K-системы, w — её угл. скорость, r’-радиус-вектор данной точки относительно начала отсчёта K’-системы.
В относительности теории установлен фундам. факт: в природе существует предельная С. распространения взаимодействий и сигналов (а значит. и тел). Она равна С. света в вакууме с = 2,99792458*10 8 м/с. Наличие такой С. существенно меняет закон преобразования С. В соответствии с Лоренца преобразованиями при переходе от K’- к K-системе отсчёта ф-лы преобразования компонент С. приобретают более сложный вид:
где , v0 — скорость K’-системы отсчёта относительно Я-системы. Классич. закон сложения С. (1) оказывается несправедливым при релятивистских С. При переходе к нерелятивистскпм С. преобразования (2) переходят в (1).
Из преобразований (2) следует, что, напр., фотон, движущийся со скоростью с в K’-системе отсчёта, будет двигаться и относительно K-системы с той же скоростью с — в полном соответствии со 2-м постулатом теории относительности. Дальнейшими обобщениями понятия С. являются обобщённая скорость (см. Обобщённые координаты)и скорость четырёхмерная.
Скорость как производная
Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин ε и х было придумано специальное обозначение: ε обозначается как Δt, а х — как Δs. Величина Δt означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок Δ ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sin Θ не означает sin*Θ. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок Δ напоминает нам о его особом характере. Ну, а если Δ не множитель, то его нельзя сократить в отношении Δs/Δt. Это все равно, что в выражении sinΘ/sin2Θ сократить все буквы и получить 1/2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Δs/Δt при Δt, стремящемся к нулю, т. е.
 |
Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.
Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. Δs = vΔt. Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала Δt, а это, вообще говоря, происходит, только когда Δt достаточно мало. В таких случаях обычно пишут ds =vdt, где под dt подразумевают интервал времени Δt при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Δt достаточно велик, то скорость на это время может измениться и выражение Δs = vΔt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds=vdt точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид
 |
Величина ds/dt называется «производной s no t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того, дифференцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t 2 , или просто производную от 5t 2 . Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение s=At 3 + Bt + C, которое может описывать движение точки. Буквы А, В, С, так же как ив обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t + Δt, причем к s прибавится некоторая добавка Δs, и найдем, как выражается Δs через Δt. Поскольку
s + Δs = A (t + Δt) 3 + В (t + Δt) +C = At 3 +Bt + C + 3At 2 Δt + BΔt + 3At (Δt) 2 + A (Δt) 3 ,
а s = At 3 + Bt + C,
то Δs = 3At 2 Δt+BΔt + 3At(Δt) 2 + A(Δt) 3 .
Но нам нужна не сама величина Δs, а отношение Δs/Δt. После деления на Δt получим выражение
Δs/Δt = 3At 2 + B + 3At(Δt) + A(Δt) 3 ,
которое после устремления Δt к нулю превратится в
ds/dt = 3At 2 + B.
В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (Δt) 2 или (Δt) 3 или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем Δt устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3.
 |
Что такое dt в физике
Гидродинамика Молекулярная физика
Teрмодинамика
Молекулярно-Кинетическая Теория
Термодинамика
Изменение агрегатного
состояния вещества Электродинамика
Электростатика точечных зарядов
Проводники и диэлектрики в электрическом поле
Электроёмкость
Постоянный электрический ток
Работа и мощность тока
Электрический ток в различных средах
Электромагнитная индукция Колебания и волны
Механические колебания
Электромагнитные волны Геометрическая и волновая оптика
Геометрическая оптика
Волновая оптика Элементы специальной теории относительности Квантовая физика
Световые кванты
Кинематика. Основные понятия кинематики
Закон движения определяет положение материальной точки в любой момент времени:
, или x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Радиус-вектор — вектор, проведённый из начала координат в ту точку, где находится тело.
Проекции радиус вектора на оси координат совпадают с координатами точки:
Модуль радиуса-вектора :
Вектор , проведённый из точки, где в начальный момент времени находилось тело, в точку, где оно находится в момент времени t, называется перемещением тела:.
Проекции вектора перемещения s на оси координат:
| sx = Δx = x — x0 | sy = Δy = y — y 0 | sz = Δz = z — z0 |
Модуль вектора перемещения :
Пройденный путь l — Длинна дуги траектории, пройденной телом за время t.
Вектор средней скорости за интервал времени Δt:
Средняя путевая скорость за интервал времени Δt: vc = l / Δt.
Мгновенная путевая скорость определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt, т.е. производная вектора перемещения по времени:
Проекции вектора мгновенной скорости v на оси координат:
| vx = dx / dt | vy = dy / dt | vz = dz / dt |
Модуль вектора мгновенной скорости :
Единица измерения скорости [v]си = м/сек
Вектор среднего ускорения равен отношению изменения скорости к интервалу времени Δt, за который это изменение произошло:
Мгновенным ускорением (или просто ускорением ) тела называют предел отношения изменения скорости к малому промежутку времени Δt, в течение которого происходило это изменение:
Проекции вектора ускорения на оси координат:
| ax = dvx / dt | ay = dvy / dt | az = dvz / dt |
Модуль вектора ускорения :.
Единица измерения ускорения [a]си = м/сек 2 .
Равномерное прямолинейное движение
Равномерным прямолинейным называют движение, при котором траектория — прямая линия, а тело за любые равные промежутки проходит равные пути.
Кинематические уравнения равномерно-прямолинейного движения:
| ā = const = 0 |
(Здесь в момент времени t0 = 0, радиус-вектор равен , а скорость тела равна
Проекции кинематических уравнений на ось OX:
| ax = const = 0 | sx = Δx = x — x 0 = vxt |
| vx = v0x = const | x = x0 + vxt |
При прямолинейном движении пройденный путь l равен модулю вектора перемещения s:
l = s = |x — x0| = |vx|t =vt
Равнопеременное прямолинейное движение
Равнопеременным прямолинейным называют движение по прямолинейной траектории с постоянным по модулю и направлению ускорением.
Кинематические уравнения равнопеременного прямолинейного движения:
(Здесь в момент времени t0 = 0, радиус-вектор равен , а вектор скорости тела равен и направлен параллельно вектору ускорения ā).
Проекции кинематических уравнений на ось OX:
| ax = const | sx = (vx 2 — v0x 2 ) / 2ax |
| sx = Δx = x — x0 = vxt + axt 2 / 2 | |
| vx = v0x + axt | x = x0 + vxt+ axt 2 / 2 |
Движение тела вблизи поверхности Земли
Свободным падением называют движение тела под действием притяжения Земли в отсутствие сопротивления воздуха.
Ускорение свободного падения — постоянное по модулю и направлению ускорение, с которым тело движется вблизи поверхности земли. В любой точке вблизи поверхности Земли вектор направлен к центру; = ||= 9,81 м/сек 2
Траектория движения материальной точки с момента времени t0 = 0, когда радиус-вектор равен , вектор скорости тела равен и направлен под углом α к горизонту.
| Вектор мгновенной скорости |
| Радиус-вектор в произвольный момент времени t |
| Вектор перемещения материальной точки за время t |
Движение тел, брошенных под углом к горизонту можно рассматривать как результат наложения двух одновременных движений по горизонтальной и вертикальной осям (OX и OY) произвольной неподвижной системы координат.
Проекции вектора ускорения и вектора начальной скорости на оси координат:
| gx = 0 |
| gy = -g |
| v0x = v0 cos α |
| v0y = v0 sin α |
Уравнения движения в проекциях на оси координат:
| vx = v0x + gx xt 2 / 2 = v0t cos α |
| v y = v0 y + gyt =v0 sin α — gt |
| y = v0y + v0y + gyt 2 / 2 = v0t sin α — g t 2 / 2 |
Время подъёма tп на максимальную высоту:
tп = v0 sin α / g
Максимальная высота подъёма hmax:
hmax = v0 2 sin 2 α / 2g
Время движения tд: tд = 2 v0 sin α / g = 2tп
Максимальная дальность полёта smax: smax = v0tдcos α = v0 2 sin2α / g
Модуль вектора скорости в произвольный момент времени равен:
Направление вектора скорости в произвольный момент времени определяется через угол наклона β к горизонту:
tg β = (v0 sin α — gt) / v0 cos α
Модуль вектора перемещения за произвольный интеграл времени равен:
Направление вектора перемещения в произвольный интеграл времени определяется через угол наклона γ к горизонту:
tg γ = (v0t sin α — gt 2 / 2) / v0t cos α
Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью
Теория турбулентного нагрева токовой DT-плазмы Текст научной статьи по специальности «Физика»
Для плазмы с равными концентрациями ионов дейтерия и трития развита теория турбулентного нагрева в режиме горячих ионов дейтерия и холодных ионов трития. Показана возможность нагрева электронов и ионов дейтерия в тысячи раз.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Попов В.Ю., Силин В.П.
Режим турбулентного нагрева плазмы с горячими и холодными ионами
О турбулентном нагреве ионов
Миф об ошибке А. А. Власова и о его книге 1945 года
Интеграл столкновений для ионов плазмы с ионно-звуковой турбулентностью
Кинетические уравнения для ионов плазмы с ионно-звуковой турбулентностью в случае двух сортов ионов
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Текст научной работы на тему «Теория турбулентного нагрева токовой DT-плазмы»
ТЕОРИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО НАГРЕВА ТОКОВОЙ DT-ПЛАЗМЫ
В.Ю. Попов1, В. П. Силин2
Для плазмы с равными концентрациями ионов дейтерия и трития развита теория турбулентного нагрева в режиме горячих ионов дейтерия и холодных ионов трития. Показана возможность нагрева электронов и ионов дейтерия в тысячи раз.
Ключевые слова: незатухающие волны, ионно-звуковые волны, ионно-звуковая турбулентность.
1. Введение. Настоящее сообщение посвящено теоретическому поиску оптимальных условий турбулентного нагрева токовой плазмы. Экспериментальные исследования в этой области привели, как известно, к открытию № 112: Явление турбулентного нагрева и аномального сопротивления плазмы, авторами которого являются М. В. Бабыкин, Е. Д. Волков, П. П. Гаврин, В. А. Демидов, Е. К. Завойский, Л. И. Рудаков, В. А. Ско-рюпин, В. А. Супруненко, Е. А. Сухомлин, Я. Б. Файнберг, С. Д. Фанченко (см. об этом [1]). В определенном смысле итоговой работой для нас представляется экспериментальная работа [2]. Основу нашего теоретического рассмотрения составляют работы [3, 4], в которых предложена модель теории ионно-звуковой турбулентности (ИЗТ) с ионами, отношение заряда которых к их массе различно. Соответствующая теория ИЗТ, с одной стороны, исходила из изотропного максвелловского распределения по скоростям ионов, а с другой стороны, предсказывала сильноанизотропное би-максвелловское ионное распределение по скоростям. Это затрудняло применение такой теории к пониманию явления турбулентного аномально сильного нагрева ионов, что замедлило развитие теории. Такая трудность была снята в огрубленной модели ИЗТ плазмы [5], в которой продольная ионная температура Ту вдоль направления греющего плазму постоянного
1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119991 Россия, Москва, Ленинские горы, 1; e-mail: masterlu@mail.ru.
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации (Финуниверситет).
2 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: silin@sci.lebedev.ru.
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 115409 Россия, Москва, Каширское шоссе, д. 31.
электрического поля Е считается пренебрежимо малой по сравнению с поперечной Т±. Именно огрубленная модель [5] позволила описывать сильный турбулентный нагрев ионов. При этом оказалось возможным обнаружить конкуренцию нагрева электронов и ионов. В частности, были установлены условия, в которых ионы нагреваются быстрее электронов [5-7]. Последнее позволило поставить вопрос о времени жизни ИЗТ как состояния плазмы с температурой электронов, много большей температуры ионов. Результаты теории такой модели мы используем ниже. При этом следует подчеркнуть то, что в работе [3] первоначально была высказана претензия на теорию ионно-звуковой турбулентности «плазмы с горячими электронами и холодными ионами двух сортов». Однако в действительности теория работы [3] содержала в себе возможность описания «плазмы с горячими электронами и горячими ионами одного сорта, когда ионы второго сорта являются холодными». О таком объекте теории, возникающем в результате простого решения уравнения, связывающего температуры двух сортов ионов, было указано в работах [6, 7]. В самое последнее время в нашей работе [12] нами начато количественное обсуждение турбулентного нагрева плазмы в режиме нагрева плазмы с горячими и холодными ионами на примере водородно-дейтериевой плазмы. Настоящее сообщение нацелено на обсуждение возможностей такого режима нагрева частиц плазмы применительно к плазме, могущей представлять практический интерес. Наконец, имея в виду, что наша теория ИЗТ является квазистационарной, а основное в такой теории уравнение представляет собой равенство нулю инкремента (декремента) ионно-звуковых волн, пульсации которых в турбулентном состоянии аномально велики, мы используем для описания спектра таких волн представление работы [8] о стационарных модах Власова [9-11].
Этот арсенал теории ИЗТ мы используем для рассмотрения сильного турбулентного нагрева плазмы с горячими и холодными ионами на примере представляющей практический интерес дейтерий-тритиевой плазмы. Стимулом для подробного текста является то, что в нашей работе [12] на учебном примере водород-дейтериевой (ИВ) полностью ионизованной плазмы с равной концентрацией горячих водородных и холодных дейтериевых ионов обнаружено, что время турбулентного сильного нагрева и эффективность нагрева горячих водородных ионов весьма превышают подобные характеристики нагрева ИВ плазмы в изучавшемся до сих пор турбулентном режиме нагрева плазмы с равными температурами ионов, полученные, например, в [8].
2. Уравнения турбулентного нагрева частиц дейтерий-тритиевой плазмы. Этот раздел мы посвятим уравнениям турбулентного нагрева частиц конкретного приме-
ра полностью ионизованной дейтерий-тритиевой (ВТ) плазмы с равной концентрацией разных ионов. При этом речь пойдет о нагреве в сильном поле. Согласно работе [5] для характеристики условий турбулентного нагрева будем использовать турбулентное число Кнудсена
к 2\е\ЕНеи1е + ш|2г12) ( в! е2\2 _ Е
КМ2 = бтг — х — 2 + г2 )2— т — тг) = (1)
шь Тве (Т±1 + г±2) \Ш1 Ш2/ ЕмЪ
позволяющее ниже определять условия интересующего нас в этом сообщении режима сильного греющего плазму электрического поля. Обозначение (1) отвечает рассматриваемому здесь случаю плазм с двумя сортами ионов, отношения заряда к массе которых не равны
В формуле (1) в — заряд и те — масса электрона, тВе = л/Ое/4’кв2Ме — электронный радиус дебаевского экранирования, N — плотность числа электронов, ве = к в Те, где кв — постоянная Больцмана, Те — электронная температура, ш^е = л/4пв2Ме/те — электронная ленгмюровская частота. Для ионов в формуле (1) используются обозначения: ва и та — заряд и масса ионов сорта а =1, 2, шЪа = — ленгмюровская ча-
стота ионов сорта а, N — плотность числа ионов, т±а = \/ва/4пв’аМа, где ва = квТ±а и Т±а — поперечная температура ионов сорта а, наконец = ш^ + ш^2. Итак, ниже интересующий нас нагрев частиц плазмы в режиме сильного поля Е >> Емь имеет место при
В этом случае электроны нагреваются благодаря турбулентному джоулеву нагреву, когда для турбулентного закона Ома имеем следующее соотношение [4, 5]:
где Vs = ш^Т’ве — скорость длинноволнового ионного звука. Соответственно изменение во времени электронной температуры пространственно-однородной плазмы описывается уравнением
3 N -в = 3Е = \в\ЕМеУя 1.7^КмГ. (5)
Для временной эволюции поперечной температуры ионов в условиях (3) согласно [5] имеем уравнения (а = 1, 2)
-в = 12\в\ЕМеУя х ш\аТ4
1.2 ЛГ Х . .2 ^ , , ,2 „4 . (6)
Уравнений (5) и (6) достаточно для определения временной зависимости температур частиц плазмы. Используем их для случая полностью ионизованной плазмы с равной концентрацией дейтериевых и тритиевых ионов N0 = Nт = (1/2)Д= и, когда, например, ~ 1.5 • 10-2шЬе. Для такого случая из уравнений (6), в частности, следует
При начальном условии ©т(¿о) = ©о (¿о) = ©о отсюда, в частности, имеем
Соотношение (7) показывает, что в случае сильного нагрева ионов дейтерия, когда ©о(¿) >> ©о, температура ионов трития увеличивается лишь в три раза. Именно это позволяет надеяться на реализацию режима нагрева горячих и холодных ионов. Для случая рассматриваемой дейтерий-тритиевой плазмы турбулентное число Кнудсе-на имеет вид
К т = 562 4 / Е2 ©0(¿) + (2/з)©т(¿) (8)
Согласно (8), в начале турбулентного нагрева, когда температуры ионов принимаются равными, имеем KN2(£о) = (234.25)у/Е2/(Жве~(£о)У. При сильном нагреве ионов дейтерия, когда ©0 (¿) >> ©т (¿), имеем
С ростом температуры электронов и ионов выражение (8) становится убывающим. Соответственно этому ко времени tf окончания сильного нагрева в режиме сильного поля можем записать соотношение ©e(tf)/©е^о) = (144/25)(КМ2(^)/КМ2(^)).
Обсудим как при сильном нагреве изменяется турбулентное число Кнудсена. Если предположить, что сильный нагрев осуществляется в условиях (3), то время окончания применимости излагаемого описания такого нагрева можно с запасом связать с условием К^2(^) = 10, а для предельных высказываний с условием К^2(^) = 5. Тогда для температуры электронов во время окончания нагрева с запасом можно записать следующее оценочное соотношение
©е (¿/) = 3160(Е2/^) = 0.0576(к^о ))2©е (¿о). (9)
Приняв в начале турбулентного нагрева в сильном поле К^2(0) = 120, видим из соотношения (9) возможность роста температуры электронов примерно в 830 раз. Теперь пора
перейти к уравнениям временной эволюции температур частиц ВТ плазмы для того, чтобы понять какой рост температуры частиц они могут обеспечить. После подстановки (8) в уравнение (5) получаем первое из необходимых нам уравнений
¿©е3/4 _ 6 7 /Е2) 3/4 У©Р + (2/3)©Т (10)
d©3/47dr = 6.7(Е2/Ne)3/4 при ©о >> ©т. (10а)
Здесь и ниже т = ш^. Второе уравнение запишем для сильно греющихся ионов дейтерия ВТ-плазмы, когда согласно (6) имеем
dт 0 . 681 + (2/3)(©т/©0) (11)
©е(т) = ©е (0) + 12.6(Е2/^ )Т4/3, (12)
©о (т) = ©о (0) + 1.45(Е27^)т5/3. (13)
Прежде чем переходить к обсуждению полученных формул, имея в виду опыт работы [8], для определения связи начальных температур частиц и для того, чтобы убедиться в существовании ионно-звуковых волн к окончанию рассматриваемого нами нагрева, обратимся к дисперсионному уравнению ионно-звуковых волн.
3. Ионно-звуковые волны как моды Власова и начальные условия нагрева. Вслед за нашей работой [8] спектральные свойства используемых нами в теории ИЗТ стационарных ионно-звуковых (ИЗ) волн будем рассматривать как моды Власова. При этом традиционно используем приближение самосогласованного поля, пренебрегая анизотропией распределения ионов по скоростям. Напомним, что только при рассмотрении нелинейных проявлений механизма Кадомцева-Петвиашвили анизотропия нагрева ионов нами используется как упрощающая огрубленную модель ИЗТ. В соответствии с этим подобно [8] дисперсионное уравнение мод Власова для ионно-звуковых волн для нашего случая ВТ-плазмы с равными концентрациями разных сортов ионов используем в следующем виде
В формуле (16) Р — означает понимание интеграла в смысле главного значения Коши, а сама формула (16), как ив [8], отвечает максвелловскому распределению ионов.
В начальный момент времени, когда температуры ионов разных сортов принимаются равными, это дисперсионное уравнение (14) благодаря вТ(0) = д/3/2вв (0) имеет вид
2 Щвп(0)) -1] +1 [.7(^3/2ви(0)) -1
Решение уравнения (17) представлено кривой рис. 1, которая характеризует зависимость ви (0) от начальной степени неизотермичности А(0) и указывает на две ветви такого решения, согласно рисунку называемые верхняя и нижняя. Это свойство сохраняется и при больших временах. Следуя работе [8], мы ограничиваемся рассмотрением эффектов, связанных с верхней ветвью, которая в определенных условиях близка к ионно-звуковым волнам обычной задачи Коши (задачи о релаксации плазменных волн).
Рис. 1: Зависимость величины безразмерной скорости звука в в (0) от безразмерного отношения начальной температуры электронов к начальной температуре сильно турбулентно нагревающихся ионов дейтерия: А(0) = Ое(0)/©в (0).
Рис. 2: По оси ординат отложено 2 (т), а по оси абсцисс — безразмерное время т.
Рисунок 1 требует от нас уточнить в изложении нашей статьи понятие начала турбулентного нагрева плазмы. До рис. 1 с таким понятием мы связывали только равенство температур двух сортов плазмы, что связывалось лишь с упрощением нашего рассмотрения. Кривая рис. 1 заставляет нас напомнить о том, что до возникновения ИЗТ в плазме нагрев частиц токовой плазмы предполагается обусловленным кулонов-скими столкновениями, когда электроны нагреваются быстрее ионов. Соответственно этому в ламинарной плазме благодаря столкновениям растет степень неизотермично-сти плазмы А(т). Согласно рис. 1 наименьшее значение степени неизотермичности, при котором в нашем случае возможно существование стационарных ИЗ волн, равно Ао = minА(0) = 3.6788, когда ßD(0) = 1.936. От времени т = 0 столкновительно-го достижения степени неизотермичности плазмы, допускающей в ней стационарные ионно-звуковые моды Власова, мы далее будем отсчитывать турбулентный нагрев частиц в ней. Это означает то, что в нашей теории мы пока не затрагиваем начальный этап установления режима сильного поля ИЗТ.
Для дальнейшего описания результатов решения задачи турбулентного нагрева ионов трития и дейтерия, а также электронов D-T плазмы, как задачи Коши нелинейной системы уравнений (7), (11) и (10), согласно изложенному будем использовать следующее начальное условие: 0T(0) = 0D(0) = 6о(0) = (6e(0)/3.6788). Для всех трех сортов частиц начальные условия характеризуются одним начальным параметром. В качестве такового ниже мы используем ве(0) — начальную температуру электронов.
Заметим здесь, что в асимптотическом пределе сильного нагрева, когда 0д(т) >> вD(0) = в0(0) = (ве(0)/3.6788), уравнения нагрева частиц согласно (10а) и (11а) сильно упрощаются, а их решения для электронов имеют вид (12). Для ионов трития имеем 0Tas = 3(0e(0)/3.6788), то есть она близка к начальной температуре электронов, а для температуры ионов дейтерия имеем
Формулы (12) и (18) благодаря их простоте полезны. Наконец, не следует забывать об интегральном уравнении (14), поскольку только в условиях существования его решений можно говорить о существовании стационарных ионно-звуковых волн как мод Власова.
4. Картина турбулентного нагрева частиц плазмы. В этом разделе мы сосредоточим внимание на таком прикладном свойстве теории ИЗТ, каким является описание аномального турбулентного нагрева электронов и ионов полностью ионизованной плазмы. Однако прежде чем переходить к существу результатов такого описания следует подчеркнуть, что, во-первых, речь идет о повышении температуры сильно нагреваемых
0D (т) = (0e(0)/3.6788) + 1.45(E2/Ne)T5/3.
частиц не на один порядок величины, а во-вторых, теория не всегда может претендовать на численное значение предсказываемых величин после первой значащей цифры. Именно такова цена того, что в нашем подходе мы используем результаты первоначальных работ [3-7], например, для количественной характеристики спектра ионно-звуковых волн, а не численные следствия подхода мод Власова. Напротив, в таких качественных вопросах как существование мод Власова, как это уже было показано выше в разделе 3 при обсуждении начальных условий, так и далее в этом разделе мы базируемся на подходе работы [8]. Имея в виду роль турбулентного числа Кнудсена (1), запишем здесь соотношение между температурой электронов и таким числом в начале турбулентного нагрева
В частности, для использовавшегося во втором разделе значения Км2(0) = 120, из (19) имеем ©е(0) = 3.8(Е2/Де). Это выражение в качестве начального значения используется при получении представленного ниже материала.
Мы претендуем на описание сильного нагрева частиц плазмы, когда согласно (8а) Км2 (^ с ростом температуры электронов убывает. Однако наше рассмотрение мы относим к случаю сильного поля, что требует выполнения неравенства (3). Примем поэтому для безразмерного времени ограничения сильного нагрева два оценочных условия
Поэтому теперь приведем результаты рассмотрения нагрева частиц, отвечающего нашим решениям уравнений (7), (10) и (11), называемых ниже уравнениями нагрева частиц плазмы, с принятыми начальными условиями и интервалами времени нагрева. Они приведены на рис. 3-5. При этом все температуры даны в единицах Е2/Ме.
Обсуждение результатов, представленных рис. 3-5, начнем с результатов краткого нагрева на интервале 0 < т < 75. Численное решение системы дифференциальных
Км2(т/) = 10 и КИ2(тf) = 5.
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Рис. 3: По оси абсцисс отложено безразмерное время т, а по оси ординат ©е(т) -температура электронов в единицах Е2/Ые.
Рис. 4: По оси абсцисс отложено безразмерное время т, а по оси ординат ©в (т) -температура ионов дейтерия в единицах Е2/Ые.
Рис. 5: По оси абсцисс отложено безразмерное время т, а по оси ординат ©т(т) -температура ионов трития в единицах Е2/Ые.
Рис. 6: По оси абсцисс отложено безразмерное время т, а по оси ординат отложено значение решения дисперсионного уравнения вв (т).
уравнений позволило, в частности, установить, что в конце нагрева на этом интервале температура электронов составляет ©е (75) = 3140(Е2/Ие), то есть будучи в начале нагрева равной ©е(0) = 3.813Е2/Ие возрастает примерно в 823.5 раза; температура ионов дейтерия соответственно составляет ©в (75) = 1693(Е2 /Ие), то есть возрастает примерно в 1633 раза, наконец, температура ионов трития возрастает примерно в 3 раза.
пературы сильно греющихся частиц плазмы. Количественное представление о таком увеличении дают приведенные выше рис. 3-5, полученные с помощью численного решения системы дифференциальных уравнений нагрева частиц. Рис. 3 и 4 отвечают в конце нагрева, то есть при Tf = 211, следующие значения температур сильно нагревающихся электронов и ионов дейтерия 6е(211) = 12640Е2/Же и вд(211) = 9597Е2/Ме соответственно. Это, в частности, означает, что температура электронов, будучи в начале равной ве(0) = 3.813Е2/Ме, в конце нагрева возрастает примерно 3315 раз, а температура ионов дейтерия, будучи в начале нагрева равной вд(0) = 1.037Е2/Лге, в конце нагрева возрастает примерно в 9255 раз. Вот в каком смысле турбулентный нагрев ионов дейтерия оказывается более эффективным, чем нагрев электронов. Что же касается нагрева ионов трития, то согласно рис. 5 он и на долгом интервале нагрева оказывается, естественно, около трех раз.
Теперь настало время удостовериться в том, что на всем рассматриваемом нами интервале времени сильного турбулентного нагрева интегральное дисперсионное уравнение Власова (14) обладает решениями. Это позволяют увидеть рис. 6 и 7, на которых приведены так называемые верхние кривые, которые в определенных условиях оказываются похожими на получаемые при решении релаксационной начальной задачи.
Рис. 7: По оси абсцисс отложено безразмерное время т, а по оси ординат отложено значение решения дисперсионного уравнения вт(т).
Рис. 8: По оси абсцисс отложено ве — температура электронов в единицах Е2/Ые, а по оси ординат отложено значение решения дисперсионного уравнения вТ(т). Пунктирная кривая соответствует аппромаксионной теоретической зависимости 0.35^/ве.
Непрерывные (без каких-либо разрывов) кривые рис. 6 и 7 свидетельствуют о том, что на всем рассматриваемом нами интервале времени нагрева 0 < т < 211 решения
дифференциальных уравнений турбулентного нагрева совместимы с дисперсионным уравнением (14) Власова. Иными словами дисперсионное уравнение (14) запретов на описание дифференциальными уравнениями турбулентного нагрева частиц плазмы в теории ИЗТ не порождает.
Относительно рис. 6 помимо того, что сказано о связанном с демонстрацией существования решения дисперсионного уравнения Власова, следует заметить, что вне области малых времен дисперсионная кривая этого рисунка схожа с дисперсионной кривой ионно-звуковых волн задачи Коши плазмы с постоянной температурой ионов и растущей со временем температурой горячих электронов. Это связано с практически не меняющейся в области больших времен температурой ионов трития.
Т а б л и ц а 1
Приближенные значения используемых в статье параметров (ср. [17])
Типы плазмы Ме, м-3 — 1 ШЬв, С 1 1 шь, С 1 75/шь, с 211/шь, с
Разреженная горячая плазма 1018 6 ■ 1010 9 ■ 108 8.3 ■ 10-8 2.34 ■ 10-7
Газовый разряд и горячая плазма 1020 6 ■ 1011 9 ■ 109 8.3 ■ 10-9 2.34 ■ 10-8
Плотная горячая и термоядерная плазма 1022 6 ■ 1012 9 ■ 1010 8.3 ■ 10-10 2.34 ■ 10-9
Сравним примеры краткого и долгого нагревов плазмы. Итак, наше рассмотрение позволило увидеть возможность того, что за время краткого нагрева шьtf = Tf = 75 температура электронов рассматриваемой ВТ-плазмы возрастает примерно в 823 раза, а температура сильно греющихся ионов дейтерия увеличивается примерно в 1633 раза. Соответственно за время долгого нагрева шьtf = Tf = 211 температура электронов возрастает примерно в 3313 раз, а температура ионов дейтерия возрастает в 9528 раз. Сравнивая свойства двух различных по длительности режимов турбулентного нагрева, можно видеть у них общее в том, что средняя скорость роста относительной, то есть отнесенной к начальному значению температуры ионов дейтерия, в обоих случаях оказывается большей средней скорости роста температуры электронов, отнесенной к ее начальному значению. Однако, если в случае более короткого режима нагрева (тf = 75) средняя скорость во времени нагрева ионов дейтерия больше средней скорости нагрева электронов примерно в два раза, то для режима более долгого нагрева ^ = 211) превышение скорости нагрева ионов дейтерия по сравнению со скоростью нагрева электронов
достигает примерно трех раз. Это означает, что с ростом времени «обгон нагрева электронов нагревом ионов» растет, а наше рассмотрение отвечает, как это было сказано во Введении статьи условиям, когда ионы нагреваются быстрее электронов.
Заключение. Еще Е. К. Завойский размышлял о турбулентном нагреве дейтерий-тритиевой плазмы. Если говорить о теории ИЗТ того времени, то ясно, что тогда не существовало адекватной физической модели для понимания такого нагрева, поскольку модель Кадомцева-Петвиашвили ИЗТ возможно годилась для понимания нагрева дейтериевой плазмы, или более обще, для плазм с ионами, имеющими одинаковое отношение заряда к массе. К пониманию этого пришли в 1992 году [3]. Помимо этого во Введении перечислены другие усовершенствования модели работы [3], среди которых использование в нашей работе в теории ИЗТ режима турбулентного нагрева плазмы с горячими электронами и горячими ионами одного сорта, и с холодными ионами другого сорта [6, 7]. Такой режим до сих пор экспериментально не изучался. Кроме этого в нашей работе намечен путь использования введенных в теорию ИЗТ в нашей недавней работе [8] стационарных мод Власова [9, 10]. Заметим, что подобные волны еще в 1957 году были поддержаны Ван Кампеном в работе [13], привлекшей к себе внимание за рубежом. В нашей стране все еще бытует миф о стационарных модах Власова как об ошибке [11]. Наконец, остановимся на прокламируемом в нашей работе турбулентном нагреве ионов дейтерия в сотни и даже тысячи раз, который является сильным и быстрым (ср. табл. 1). Сравнение с [2] позволяет полагать этот результат экспериментально реализуемым. Подчеркнем, что такой нагрев получен в огрубленной теории ИЗТ [5]. Поэтому изложенное здесь может быть предметом экспериментального количественного исследования, как на пути практического использования свойств турбулентной плазмы, пути Е. К. Завойского, так и на пути утверждения фундаментальных представлений о плазме Власова без столкновений. В более узком плане эксперимент нужен для теории ионно-звуковой турбулентности плазм с ионами, удовлетворяющими условию (2), как продвинутой до уровня, могущего обслуживать эксперимент. Научный успех в этом случае сможет вдохновить на преодоление тех трудностей, которые имеются на пути разработки теории модели турбулентности Кадомцева-Петвиашвили. В отсутствие современного эксперимента нас вдохновляют сегодня, по крайней мере, два обстоятельства. Во-первых, совпадение нашей теоретической зависимости ~ Е2 температуры сильно турбулентно нагреваемых частиц плазмы от напряженности греющего плазму электрического поля (см., напр., (12) и (18)) с давно такой экспериментально установленной закономерностью в работе [2]. Во-вторых, «эффект плато», названный
в работе [14] эффектом Демидова-Елагина-Фанченко (ДЕФ), эффект независимости турбулентной проводимости плазмы от напряженности греющего плазму электрического поля. Этот эффект экспериментально был обнаружен в случае сравнительно слабого греющего поля в работе [15], а для сравнительно сильного поля в [2], где также подтвержден результат [15]. В нашем понимании теория ИЗТ для слабого поля впервые в рамках развиваемой в [16] нестационарной турбулентной кинетики дала интерпретацию эффекта «плато ДЕФ» в работе [14], а для рассматриваемого в настоящей работе режима сильного поля этому эффекту дано теоретическое описание в работах [6, 7]. Это вселяет надежду на то, что экспериментальные усилия по изучению ионно-звуковой турбулентности вполне смогут и далее обогатить науку.
Работа поддержана грантом РНФ № 14-12-00824.
Это математическое приложение связано с рис. 8, на котором представлено в виде сплошной кривой численное решение дисперсионного уравнения Власова (14) вт(т) в широком интервале изменения температуры электронов ве(т) и в виде пунктирной кривой приведена аппроксимирующая решение уравнения аналитическая зависимость 0.35^/ве(т). Здесь, как и в основном тексте статьи, температура электронов в единицах Е 2/Не.
[1] В. А. Супруненко, Сб. воспоминаний об акад. Е.К. Завойском (М., Наука, 1993), с. 103.
[2] Б. А. Демидов, Е. К. Завойский, Ю. Г. Калинин и др., Прогресс в исследовании турбулентного нагрева плазмы, в книге Е.К. Завойский, Избранные труды. Электронный парамагнитный резонанс и физика плазмы (М., Наука, 1990), с. 298-314.
[3] В. П. Силин, С. А. Урюпин, ЖЭТФ 102, Вып. 1(7), 78 (1992).
[4] В. П. Силин, С. А. Урюпин, Физика плазмы 19(7), 894 (1993).
[5] В. П. Силин, Физика плазмы 37(5), 461 (2011).
[6] V. P. Silin, Ukr. Journ. Phys. 57(3), 322 (2012).
[7] В. П. Силин, Физика плазмы 38(9), 826 (2012).
[8] В. Ю. Попов, В. П. Силин, Физика плазмы 40(4), 368 (2014).
[9] А. А. Власов, Теория вибрационных свойств электронного газа и её приложения, Ученые записки МГУ. Физика, Книга вторая, часть 1, выпуск 75 (М., МГУ, 1945), с. 3.
[10] А. А. Власов, Теория многих частиц (М., ГИТТЛ, 1950).
[11] В. П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН 41(4), 25 (2014).
[12] В. Ю. Попов, В. П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН 41(3), 28 (2014).
[13] N. G. Van Kampen, Physica 21, 949 (1955).
[14] В. П. Силин, Физика плазмы 37(3), 300 (2011).
[15] Б. А. Демидов, Н. И. Елагин, С. Д. Фанченко, ДАН СССР 174(2), 327 (1967).
[16] В. П. Силин, Физика плазмы 37(8), 739 (2011).
[17] Ж. А. Биттенкорт, Основы физики плазмы (М., Физматлит, 2009).
Поступила в редакцию 6 апреля 2015 г.