Сколько будет а умножить на а?
Сколько будет а умножить на а в квадрате?
Сколько будет а в квадрате плюс а в квадрате?
комментировать
в избранное
10 ответов:
Ксарф акс [156K]
6 лет назад
Сначала нужно вспомнить определение квадрата числа.
Если число умножаем само на себя, то получаем заданное число в квадрате.
Поэтому а * а = а². Например, 4 * 4 = 4² = 16.
Далее вспоминаем определение куба числа.
Это произведение трёх множителей, каждый из которых равен одному и тому же числу.
Значит, a * а² = а³. Например, 4 * 4² = 4³ = 64.
Наконец, вспоминаем правила приведения подобных слагаемых.
Это слагаемые, различающиеся коэффициентами, но имеющие одинаковую буквенную часть.
Для приведения подобных слагаемых необходимо коэффициенты сложить, а переменные оставить прежними.
В нашем случае коэффициенты у каждого слагаемого равны 1.
Поэтому а² + а² = (1+1)а² = 2а².
Правила умножения числа на ноль
Всем нам в школе учителя прочно вбили в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!». И все мы хорошо его запомнили и применяем в жизни, не задаваясь вопросом: «Почему?». Но вот мы выросли, у нас появились дети, и пришло время объяснять им те самые простейшие правила так, чтобы было понятно и запомнилось навсегда. Как это сделать? Какие слова подобрать? Будем разбираться.
Всем нам в школе учителя прочно вбили в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!». И все мы хорошо его запомнили и применяем в жизни, не задаваясь вопросом: «Почему?». Но вот мы выросли, у нас появились дети, и пришло время объяснять им те самые простейшие правила так, чтобы было понятно и запомнилось навсегда. Как это сделать? Какие слова подобрать? Будем разбираться.
Что такое ноль
Вокруг этой цифры всегда велось много споров. Число 0 занимает особое место в математике, даже несмотря на то, что оно буквально означает «ничто», «пустота». Ноль — это целое число, одна из цифр в десятичной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех цифр, стоящих левее, на разряд — десяток, сотню и так далее. Например, если рядом с 5 ставим 0, получаем 50, если рядом с 50 ставим 0, получаем 500. А ещё ноль — это число, отделяющее положительные цифры от отрицательных на числовой прямой. Сам ноль при этом знака + / — не имеет.
Какие действия в математике можно выполнять с нулём
С нулём выполняются все арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. При выполнении сложения и вычитания с нулём обычно проблем и сложностей не возникает. Здесь всё просто.
Если к любому числу добавить 0, это означает, что к нему не прибавилось ничего. Слагаемое каким было, таким и осталось, сколько раз ноль ни прибавляй.
То же самое будет, если отнять ноль.
Если ноль разделить на любое ненулевое число, то в результате тоже получится ноль.
А вот операция умножения гораздо менее очевидна. Не все понимают, почему при умножении на 0 получается 0. Именно умножение на ноль мы сейчас рассмотрим подробнее, так как в нём содержатся некоторые нюансы. А заодно поговорим немного и о делении на ноль.
Умножение на ноль, правило математики
Чтобы разобраться, чем отличается умножение числа на ноль от умножения других чисел друг на друга, нужно для начала понять определение умножения в целом. Умножение — одно из основных действий в математике. Умножение — это арифметическое действие, когда сложение одинаковых чисел происходит искомое количество раз. В этом действии участвуют два составляющих компонента — множимое и множитель. Результат их умножения называют произведением. То есть для натуральных чисел умножением, по сути, является многократное сложение. Таким образом, чтобы умножить число a на число b, необходимо b раз сложить a.
a ⋅ b = a + a + … + a> b
Так, пример 4 х 3 = 12 можно заменить следующим выражением: 4 + 4 + 4 = 12. То есть число 4 было взято 3 раза.
А можно ли умножать на ноль? Можно, только это бессмысленно и бесполезно. Ведь ноль — это ничто, пустота. А какой смысл умножать на пустоту? Тут, как ни крути, всё равно будет получаться ноль.
Как на примере объяснить это правило детям? Попробуем вот так:
- если съесть пять раз по два яблока, получится 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, то есть в итоге будет съедено 10 яблок;
- если съесть по два яблока трижды, получится 2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6, в итоге будет съедено 6 яблок;
- если съесть по два яблока ноль раз, то 2 * 0 = 0 * 2 = 0 + 0 = 0, в итоге не съедено ни одного яблока.
Ведь съесть ноль раз — это означает не съесть ни одного. Ноль — это ничего, а когда у вас нет ничего, то на сколько его ни умножай, всё равно будет ноль.
Правда, иногда выдвигаются следующие возражения: предположим, у человека в руке 2 яблока. Если он не съел их, то яблоки не пропадут, они так и останутся у него в руке. Почему же тогда результат равен нулю? Да, яблоки действительно из руки никуда не денутся. Но ведь в примере мы считаем именно съеденные яблоки, то есть те из них, которые были съедены, проще говоря, оказались в желудке человека. А в последнем случае они туда не попали. Поэтому человек съел ноль яблок.
Итак, основное правило гласит: при умножении числа на ноль и при умножении нуля на число в ответе всегда будет получаться ноль.
a ⋅ 0 = 0
0 ⋅ a = 0
Это правило умножения на ноль в математике действительно для любых чисел: положительных, отрицательных, целых, дробей, разрядных, рациональных, иррациональных. В любом случае произведение будет нулевым.
Для лучшего запоминания правила приведём примеры умножения на ноль:
0 ⋅ 3 = 0 + 0 + 0 = 0
0 ⋅ 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Деление на ноль, правило математики
А что же с делением на 0? Мы со школы помним правило: на ноль делить нельзя. Все это заучивают, не требуя лишних доказательств. Нельзя так нельзя. Большинство людей действительно не делит на ноль только исходя из этого правила, не пытаясь найти ответ, по которому станет понятен этот запрет. А почему, собственно, нельзя?
Деление в математике — действие, обратное умножению, также состоящее из двух компонентов — делимого и делителя. Результат деления называют частным. Также иногда результат деления называют отношением. Если умножение для натуральных чисел заменяет многократное сложение, то, соответственно, деление будет заменять многократное вычитание.
Чтобы было понятнее, рассмотрим на примерах.
- Разделим число 8 на число 2 (8 : 2). Из действия вычитания мы находим, что число 2 содержится в 8 четыре раза. В данном случае 8 — делимое, 2 — делитель, 4 — частное.
- Теперь разделим 0 на 2 (0 : 2). Чтобы 0 разделить на 2, надо найти число, при умножении которого на 2 получится 0. Это ноль, так как 0 ⋅ 2 = 0. Значит, 0 ⋅ 2 = 0. При делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю.
- А теперь попробуем разделить 4 на 0 (4 : 0). Данное выражение можно представить и в виде уравнения: 0 ⋅ x = 4. Следовательно, чтобы разделить 4 на ноль, необходимо найти такое число, при умножении на которое получится 4, а это невозможно исходя из того, что мы выяснили ранее.
Следовательно, делить на 0 нельзя, так как такого числа, при умножении которого на ноль получится 4, не существует. И всё-таки лучше всего это правило просто запомнить и никогда не нарушать. Для лучшего запоминания предложите своему ребёнку выучить небольшое стихотворение:
Расскажу тебе, позволь,
Чтобы не делил на 0!
Режь 1, как хочешь, вдоль,
Только не дели на 0!
Таким образом, с нулём возможно совершать любые арифметические действия: прибавлять и вычитать любые числа, умножать на значения, не равные нулю, возводить в степень, не равную нулю. Единственное ограничение — ноль не может быть делителем для любого действительного числа. В арифметике подобные действия считаются невозможными и бессмысленными.
Подведём итоги
Итак, сегодня мы выяснили, что за цифра такая — ноль. Мы узнали историю её возникновения. А также разобрались, чем отличается умножение числа на 0 от умножения других чисел друг на друга, а также почему на ноль нельзя делить. Чтобы закрепить полученные новые знания, важно отработать их на практике. Поэтому для закрепления и лучшего запоминания предложите своему ребёнку решить примеры:
Конечно же, во всех этих примерах ответ будет 0:
Закрепляем тему «Умножение на ноль»
Закрепить эту и многие другие изученные темы по математике можно на образовательной платформе iSmart. С помощью онлайн-тренажёров дети в увлекательной форме наработают вычислительную беглость в решении примеров с умножением на ноль.
Вот так, например, выглядят задания для второго класса:
А так выглядит сам каталог заданий по математике образовательной платформы iSmart:
Образовательная платформа iSmart разработана учителями и специалистами в области детской психологии в соответствии с требованиями ФГОС. Она предлагает программы подготовки по всем изучаемым в школе предметам, пакеты заданий для подготовки к контрольным работам, тестам, ВПР, олимпиадам, а также изучение дополнительных предметов, не вошедших в школьную программу.
Регистрируйте своего ребёнка на платформе iSmart и начинайте заниматься прямо сейчас!
Умножение и деление чисел в Excel
Умножение и деление в Excel не представляют никаких сложностей: достаточно создать простую формулу. Не забывайте, что все формулы в Excel начинаются со знака равенства (=), а для их создания можно использовать строку формул.
Умножение чисел
Предположим, требуется определить количество бутылок воды, необходимое для конференции заказчиков (общее число участников × 4 дня × 3 бутылки в день) или сумму возмещения транспортных расходов по командировке (общее расстояние × 0,46). Существует несколько способов умножения чисел.
Умножение чисел в ячейке
Для выполнения этой задачи используйте арифметический оператор * (звездочка).
Например, при вводе в ячейку формулы =5*10 в ячейке будет отображен результат 50.
Умножение столбца чисел на константу
Предположим, необходимо умножить число в каждой из семи ячеек в столбце на число, которое содержится в другой ячейке. В данном примере множитель — число 3, расположенное в ячейке C2.
-
Введите =A2*$B$2 в новом столбце электронной таблицы (в приведенном выше примере используется столбец D). Обязательно включите символ $перед B и перед 2 в формулу и нажмите клавишу ВВОД.
Примечание: Использование символов $ указывает Excel, что ссылка на B2 является «абсолютной», что означает, что при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку B2. Если вы не использовали символы $ в формуле и перетащите формулу вниз в ячейку B3, Excel изменит формулу на =A3*C3, что не будет работать, так как в B3 нет значения.
Примечание: В Excel 2016 для Windows ячейки заполняются автоматически.
Перемножение чисел в разных ячейках с использованием формулы
Функцию PRODUCT можно использовать для умножения чисел, ячеек и диапазонов.
Функция ПРОИЗВЕД может содержать до 255 чисел или ссылок на ячейки в любых сочетаниях. Например, формула =PRODUCT(A2;A4:A15;12;E3:E5;150;G4;H4:J6) умножает две отдельные ячейки (A2 и G4), два числа (12 и 150) и три диапазона (A4:A15, E3:E5 и H4:J6).
Деление чисел
Предположим, вы хотите узнать, сколько человеко-часов потребовалось для завершения проекта (общее количество часов проекта ÷ общее число людей в проекте) или фактическое количество миль на галлон для вашей недавней поездки по пересеченной местности (общее количество миль ÷ общее количество галлонов). Существует несколько способов деления чисел.
Деление чисел в ячейке
Для выполнения этой задачи используйте арифметический оператор / (косая черта).
Например, если ввести =10/5 в ячейке, в ячейке отобразится значение 2.
Важно: Обязательно введите знак равенства (=) в ячейке, прежде чем вводить числа и оператор / ; В противном случае Excel интерпретирует введенные данные как дату. Например, если ввести 7/30, в ячейке Excel может отображаться значение 30 июля. Или, если ввести 36.12.12, Excel сначала преобразует это значение в 12.01.1936 и отобразит в ячейке 1-Дек.
Примечание: В Excel нет функции DIVIDE .
Деление чисел с помощью ссылок на ячейки
Вместо ввода чисел непосредственно в формуле можно использовать ссылки на ячейки, такие как A2 и A3, для ссылки на числа, на которые нужно разделить и разделить.
Чтобы этот пример проще было понять, скопируйте его на пустой лист.
Копирование примера
- Создайте пустую книгу или лист.
- Выделите пример в разделе справки.
Сколько будет а умножить на а
На данном уроке вы научитесь умножать натуральные числа, познакомитесь со свойствами умножения, а также научитесь применять полученные знания на практике.
Определение умножения
Пример 1. Есть 4 класса, и в каждом классе 30 учеников. Все классы написали контрольную работу. Сколько работ необходимо проверить? Так как в каждом классе по 30 человек, то работ будет: Эту же запись мы можем записать немного короче: Умножить число a на число b – значит вычислить сумму, в которой число a повторено b раз. a и b называются сомножителями, а то, что получится, называется произведением. В нашем примере 30 и 4 – сомножители, а произведение равно 120.
Свойства умножения
1. Переместительное свойство умножения Пример 2. Предположим, у Маши есть по одной страничке в четырех социальных сетях. На каждой страничке у нее выложены 3 фотографии: первая – фото, где Маша, вторая – фото, где Маша с мамой, третья – фото, где Маша с папой. Сколько всего фото у Маши на страничках? Мы можем сказать, что на каждой страничке 3 фотографии, а всего страничек 4, значит, всего фото: Или: С другой стороны, мы можем посчитать количество фотографий по-другому. Сколько всего фото, где Маша одна? Их 4 – в каждой социальной сети по одной. Сколько фотографий выложено у Маши с мамой? Тоже 4. С папой? Тоже 4. Итого: Но общее количество фотографий одинаково. Оно не зависит от того, как мы его считали: по социальным сетям или по типу фото. Поэтому мы получаем, что 3 умножить на 4 – это то же самое, что 4 умножить на 3. То есть, Данное свойство называется переместительным свойством умножения: можно менять местами сомножители, и от этого произведение не изменится. Это свойство иногда называют переместительным законом. 2. Сочетательное свойство умножения Пример 3. Предположим, у Сергея есть 3 флешки, на каждой флешке по 4 папки, а в каждой папке 2 файла. Сколько всего файлов у Сергея? Сколько файлов будет внутри одной флешки? Всего флешек 3, а значит, всего файлов: С другой стороны, у нас есть 3 флешки. На каждой флешке 4 папки: А в каждой папке 2 файла: Но мы могли посчитать количество файлов на одной флешке – 8, а потом умножить полученное на 3: То есть мы выяснили, что переставлять сомножители можно не только тогда, когда их два, но и когда их 3, как в нашем примере, или больше. То есть, Такое свойство умножения называется сочетательным. Иногда его называют свойством раскрытия скобок. То есть порядок, в котором мы будем умножать, неважен.
Научные названия свойств
Переместительное свойство иначе называется коммутативным (commutativus – меняющийся (лат.)). Мы меняем порядок сомножителей, а произведение от этого не меняется. Есть коммутативность умножения (при перестановке сомножителей произведение не меняется). Также есть коммутативность сложения (от перестановки слагаемых сумма не меняется). Сочетательный закон иначе называется ассоциативным (association – соединение (лат.)). Существует ассоциативность умножения и сложения.
Частные случаи умножения
Частные случаи 1. Что будет, если умножить некоторое число n на 1? Необходимо сложить данное число один раз. То есть мы берем n один раз, а не складываем его с собой. Иначе мы используем n два раза. Аналогично: 2. Если мы умножаем 0 на что-то, то получаем 0. Ведь сколько бы раз мы ни складывали 0 с собой, мы все равно получим 0. Аналогично: Как читается произведение двух сомножителей Данная запись читается так: «Произведение ста семидесяти пяти и трехсот двенадцати».
Пример использования свойств
Пример 4. Мы можем умножить числа так, как они записаны. А можем немного изменить запись и упростить вычисления. Мы использовали сочетательное свойство умножения (поменяли порядок сомножителей). Пример 5. Произвести такие вычисления достаточно трудно. Давайте заметим, что 5 «хорошо» умножается на 2. Поэтому, если бы у нас был сомножитель, равный двум, наши вычисления стали бы проще. Давайте разложим число 684 на произведение двойки и чего-то еще. Вернемся к нашему выражению: Заключение Мы познакомились с таким действием, как умножение натуральных чисел; выяснили, какими свойствами обладает это действие; и рассмотрели несколько частных случаев. Список рекомендованной литературы
- Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика, 5 класс (в 2 частях). ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА».
- Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика. 5 класс – М.: Вентана-Граф.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Презентация (Источник)
- Учебник Н. Я. Виленкина. Математика 5 класс (Источник)
- Презентация (Источник)
Домашнее задание
1. Запишите в виде суммы и произведения:
а) Число а сложили с собой 12 раз;
б) Число 5 сложили с собой k раз.
2. Запишите сумму в виде произведения и найдите значение выражения:
а)
б)
в)
г) .
3. У Жени есть 6 коробок с игрушками. В каждой коробке по 3 машины. Сколько всего машинок в коробках?
4. Найдите значение выражения наиболее удобным способом:
а)
б)
в)
г)