Как посчитать потенциал в точке цепи

Измерение потенциалов точек электрической цепи и построение потенциальной диаграммы

любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме n узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в схеме, то один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с n до n-1.

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, — один из основных расчетных приемов. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономичным, чем метод контурных токов.

Вывод основных расчетных уравнений проведем применительно к схеме рис. 2, в которой три узла. Если узел 3 мысленно заземлить, т. е. принять =0, то необходимо определить потенциалы только двух узлов.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов, причем токи, направленные к узлу берем со знаком минус, а от узла – со знаком плюс.

Для первого узла ,

Для второго узла .

Рис. 2. Схема для расчета по методу узловых потенциалов

Запишем токи по закону Ома:

Подставим токи в уравнения по первому закону Кирхгофа:

G₁₁— сумма проводимостей ветвей, сходящихся в первом узле,

G₁₂— сумма проводимостей ветвей, соединяющих первый и второй узлы, взятая со знаком минус,

G₂₁— сумма проводимостей ветвей, соединяющих первый и второй узлы, взятая со знаком минус,

G₁₁— сумма проводимостей ветвей, сходящихся во втором узле,

I₁₁— узловой ток первого узла,

I₂₂ — узловой ток второго узла.

Запишем уравнения в матричной форме:

Решим эти уравнения относительно искомых потенциалов и выразим токи ветвей, используя закон Ома.

После нахождения токов ветвей любым методом всегда делается проверка по первому закону Кирхгофа.

Под потенциальной диаграммой понимают график распределения потенциала вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки, по оси ординат – потенциалы. Каждой точке участка цепи или замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме. Построим потенциальную диаграмму для контура на рис.3. Пусть R1=10 Ом, R2=5 Ом, R3=15 Ом, E1=20 В, E2=10 В, I=1A.

Рис.3. Контур для построения потенциальной диаграммы

Рис. 4. Потенциальная диаграмма для контура на рис.3.

Таблица 1. Исходные данные

Расчет потенциалов точек электрической цепи и построение ее потенциальной диаграммы

Задание: определить силу тока и рассчитать потенциалы всех указанных точек неразветвленной электрической цепи относительно точки . Потенциал точки принять равным нулю. На основании полученных результатов построить потенциальную диаграмму цепи.

Данные для расчета указаны в таблице № 1.

Таблица № 1 – Исходные данные для расчета задачи

Определяем силу тока в цепи:

Рассчитываем потенциалы отдельных точек цепи, приняв потенциал точки .

Что-то не так с работой?

Сводка по ответу

Загружено студентом
Проверено экспертом
Использовано для обучения ИИ
Доступно по подписке Кампус+

Купи подписку Кампус+ и изучай ответы

Миллион решенных задач от 299 руб

Купить подписку

Кампус Библиотека

Материалы со всех ВУЗов страны
1 000 000+ полезных материалов
Это примеры на которых можно разобраться
Учись на отлично с библиотекой

Экосистема Кампус

Набор самых полезных инструментов, работающих на искусственном интеллекте для студентов всего мира.

Экосистема сервисов для учебы в удовольствие

Твой второй пилот в учебе, быстрые ответы на основе ИИ-шки

ТОП-эксперты помогут решить и объяснят тебе любой вопрос по учебе онлайн

Сообщество, где ты найдешь знакомства и получишь помощь

Мультифункциональный умный бот, который всегда под рукой

База знаний из 1 000 000+ материалов для учебы

1 Рис. 2 .2 Потенциальная диаграмма

И зменение потенциалов в электрической цепи можно наглядно изобразить в виде потенциальной диаграммы.

отенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциала при обходе цепи, построенный в прямоугольной системе координат, в которой по оси абсцисс откладывают в определенном масштабе сопротивления участков цепи, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек.

Принимаем потенциал точки 1 равным нулю V₁=0. Потенциалы точек цепи находим согласно равенствам.

Если направление ЭДС совпадает с направлением обхода, то при расчёте потенциалов точек записывается со знаком «+», как Е₁ и Е₃; если не совпадает – «–», как Е₂.

Для падений напряжений другое правило: если ток в пассивном элементе направлении встречно обходу контура, то падение напряжения записывается со знаком «+», если совпадает по направлению, то знак «–».

В еличина тока проводимости определяется алгебраической суммой ЭДС всех источников, делённой на полное сопротивление цепи:

Если при расчёте результат получился положительным, то ток совпадает с произвольно выбранным направлением обхода. Если же результат получился отрицательным, то ток имеет направление противоположное выбранному.

Строим потенциальную диаграмму по точкам.

Так как внутренне сопротивление ЭДС приняты равным нулю, то при переходе через эти элементы потенциалы изменяются скачком.

В электрической цепи (рис. 5) Е₁ = 5 В, Е₂ = 18 В, Е₃ = 8 В, r₁ =500 Ом, r₂ = 250 Ом, r₃ = 700 Ом, r₀₁ = 50 0м. Внутренними сопротивлениями первого и третьего источников пренебрегаем. Вычислить потенциалы всех точек, обозначенных на схеме, напряжение между точками А и Д и построить потенциальную диаграмму.

Р ис. 5.

1. Потенциал точки электрической цепи.

Напряжение между двумя точками электрической цепи определяется как разность потенциалов двух точек. Это же положение используется при определении потенциалов точек электрической цепи. Так, например, между точками А и О (рис. 5), где действует некоторое напряжение U_ао, разность потенциалов (этих точек)

Выбором для одной (любой) точки цепи значения равным нулю, примем для точки О (рис. 5) потенциал . При этом для точки А потенциал

Таким образом, потенциал какой-либо точки (А) цепи равен напряжению (U_А0) между этой точкой (А) и другой (О), для которой потенциал принят равным нулю.

2. План решения задачи.

Чтобы воспользоваться выражениями для разности потенциалов ( ) и для потенциала одной точки ( ), нужно знать ток цепи. С его вычисления и начнем решение задачи.

Кроме того, следует для одной точки цепи принять потенциал, равный нулю. Это уже выполнено: выражение для записано при условии = 0. Точку с нулевым потенциалом (точка О, рис. 5) иногда присоединяют к заземляющему установку проводу или к корпусу прибора и в последнем случае (при присоединении к корпусу) обозначают, как показано на рис. 5.

Имея точку с нулевым потенциалом и напряжения всех участков цепи, определим потенциалы точек цепи.

3. Вычисление тока.

В неразветвленной цепи с несколькими э. д. с., ток равен отношению алгебраической суммы всех э.д.с. к сумме всех сопротивлений, цепи. В рассматриваемой схеме две э. д. с. (Е₁ и Е₂) действуют в одном направлении (по направлению движения часовой стрелки) и их сумма Е’ = Е₁ + Е₂ = 5 + 18 = 23 В. Одна э. д. с. Е₃ = 8 В действует против направления движения часовой стрелки, т. е. навстречу суммарной э.д.с. Е’. Поскольку Е’ > Е₃, то направление тока

совпадает с направлением э. д. с. Е’, т. е. ток направлен по движению часовой стрелки (рис. 5).

4. Вычисление потенциалов точек электрической цепи.

Для точки О (рис. 5) выбран потенциал = 0. При этом условии, как было показано, потенциал точки А

Потенциал точки А оказался положительным и . так как ток в сопротивлении направлен от точки большего потенциала к точке меньшего потенциала (ток I на рис. 5 направлен от А к О). Это правило используется и дальше для участков БВ и ГД, содержащих только сопротивления.

Для определения потенциала другой точки цепи, например Б, воспользуемся уже вычисленным потенциалом В и известным напряжением на зажимах участка АБ. Так как источник с э. д. с. Е₁ не имеет внутреннего сопротивления, то потенциал его зажима (точка Б на рис. 5) всегда (при любом токе) меньше потенциала зажима «+» (точки А на рис. 5) на величину э. д. с. или равного ему напряжения U_АБ = 5 В. Поэтому

Зная потенциал = 0, вычислим теперь потенциал следующей точки В. Так как ток в сопротивлении r₂ направлен от точки В к точке Б, то потенциал точки В больше потенциала точки Б на величину падения напряжения в сопротивлении r₂:

На участке ВГ изменение потенциала обусловлено двумя причинами: действием э. д. с. Е₂ и падением напряжения на сопротивлении r₀₂. Электродвижущая сила Е₂ вызывает уменьшение потенциала точки Г (точка Г является зажимом «–» источника, а точка Д – зажимом «+»). Падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника (r₀₂I) вызывает увеличение потенциала точки Г, так как ток направлен от точки Г к точке В. Поэтому

Для участка ГД

В целях проверки расчетов найдем потенциал точки О, используя известный потенциал = 8 В и учитывая, что (см. направление стрелки э. д. с. Е₃ на рис. 5):

Если бы мы обходили цепь в обратном направлении, т. е. двигались по направлению тока в цепи, то на всех внешних и внутренних сопротивлениях потенциалы увеличивались бы на величину падения напряжения.

5. Построение потенциальной диаграммы.

По полученным значениям потенциалов различных точек цепи построим потенциальную диаграмму (рис.6).

По оси х или r откладываются величины сопротивлений

всех участков (r₁ r₂, r₀₂, r₃). Они расположены одно за другим в той же последовательности, как и в рассмотренной цепи (рис. 6). Участок цепи АБ (рис. 6), сопротивление которого равно нулю, изображается на оси r (рис.6) точкой.

Так как ось r представляет собой как бы линейную развертку сопротивлений замкнутого контура, то в начале и в конце на оси r оказывается одна и та же точка О.

Рис. 6.

По оси у или отложены величины потенциалов точек с учетом их знака: положительные потенциалы вверх, а отрицательные вниз от оси г.

Рис. 6 . Потенциальная диаграмма цепи по рис..5 .

Рассмотрим построение диаграммы для нескольких участков цепи. Так, например, для участка ОА были получены потенциалы крайних точек = 0 и = 5 В.

Это означает, что на участке ОА (рис. 5) потенциал возрастает от 0 до 5В, это изображено линией ОА на рис. 5.

На участке АБ, где сопротивление равно нулю, линия потенциала (рис.5) параллельна оси φ. Участок БВ цепи аналогичен участку ОА, так как и тот и другой содержат только сопротивления. Если учитывать, что по их сопротивлениям (r₁ и r₂) проходит один и тот же ток I, то линии ОА и БВ (рис. 5) параллельны.

Так же построены другие отрезки потенциальной диаграммы.

6. Вычисление напряжения U_ад.

При помощи потенциальной диаграммы или величин потенциалов точек цепи легко определить напряжение между заданными точками. Так, например,

Это же напряжение можно определить графически, как показано на диаграмме (рис. 6, отрезок АД).

Дополнительные вопросы к задаче

Как повлияет на вид потенциальной диаграммы выбор другой точки с нулевым потенциалом?

Разности потенциалов (напряжения) на участках цепи не изменятся, так как определяются только величинами э. д. с., сопротивлений и тока (не зависят от выбора точки нулевого потенциала).

Действительно, если принять = 0 (рис. 7), что равносильно перемещению оси г в точку А (рис. 7, пунктирная прямая АА’), то потенциалы всех точек уменьшатся на = 5 В, а разности потенциалов останутся прежними. Итак, выбор другой точки нулевого потенциала проводник перемещению оси r.

Можно ли выбрать потенциал, равный нулю (заземлить), одновременно у нескольких точек цепи?

В общем случае потенциал только одной точки можно выбрать любым, в частности равным нулю (заземлить).

В нашем случае можно, кроме точки О, также заземлить точку Б, не нарушив режим цепи, так как потенциал = 0. При равных потенциалах точек Б и О между ними отсутствует напряжение, а следовательно, не будет тока в корпусе прибора или в земле.

3. Изменится ли режим цепи, если замкнуть проводником точки О и Б (рис.5 )?

Так как потенциалы точек О и Б равны, то между этими точками напряжение U_ОБ = 0 и в проводнике ОБ тока не будет. Следовательно, проводник ОБ не внесет никаких изменений в режим работы цепи.

Полученный результат можно объяснить иначе. После включения проводника ОБ цепь (рис.5) становится двухконтурной. Токи внешних ветвей правого и левого контура равны (в этом читатель может легко убедиться самостоятельно) и одинаково направлены относительно узловых точек О и Б. При этом ток в ветви ОБ (рис.5) равен нулю (1-й закон Кирхгофа).

4. Как вычислить потенциалы при разомкнутом ключе?

При разомкнутом ключе К, (рис.5) ток I = 0. При этом имеем два незамкнутых участка цепи: ОАБВГ и ОДГ’. Принимая , получаем для первого участка:

Вычислим потенциалы участка ОДГ (рис. 5):

Рис. 7.

По полученным данным на рис. 7 построена потенциальная диаграмма участка ОАБВГ. Аналогично можно построить потенциальную диаграмму другой ветви (ОДГ). Диаграммы этих участков независимы друг от друга.

Результаты вычислений показывают, что изменение потенциалов разомкнутой цепи происходит только в местах где включены источники.

Рис. 8.

5. Как повлияет диаграмма разомкнутой цепи.

На потенциалы цепи (рис. 8) включение между точкой О и корпусом участка ОМ?

Учитывая, что в незамкнутом участке цепи ОМ (рис. 8) тока нет и принимая э. д. с. Е = 10 В, а потенциал φ_М = 0, получаем:

При расчете потенциалов замкнутого контура ОАБДО (рис. 8) следует считать = 10 В вместо нуля. В остальном порядок расчета ничем не отличается от рассмотренного в задаче. Потенциалы всех точек увеличатся на 10 В.

6. Как используются на практике потенциальные диаграммы?

Ко многим электронным приборам, используемым в радиотехнике, автоматике, технике связи, придаются таблицы потенциалов, которые облегчают их ремонт и наладку. Такими таблицами, в частности, снабжается большинство электронных устройств, используемых в быту.

Электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электрическое напряжение, электродвижущая сила

Электрическое напряжение между двумя точками электрической цепи или электрического поля, равно работе электрического поля по перемещению единичного положительного заряда из одной точки в другую. В потенциальном электрическом поле эта работа не зависит от пути, по которому перемещается заряд; в этом случае Э. н. между двумя точками совпадает с разностью потенциалов между ними.

Если поле непотенциально, то напряжение зависит от того пути, по которому перемещается заряд между точками. Непотенциальные силы, называются сторонними, действуют внутри любого источника постоянного тока (генератора, аккумулятора, гальванического элемента и др.). Под напряжением на зажимах источника тока всегда понимают работу электрического поля по перемещению единичного положительного заряда вдоль пути, лежащего вне источника; в этом случае Э. н. равно разности потенциалов на зажимах источника и определяется законом Ома: U = IR—E, где I — сила тока, R — внутреннее сопротивление источника, а E — его электродвижущая сила (эдс). При разомкнутой цепи (I = 0) напряжение по модулю равно эдс источника. Поэтому эдс источника часто определяют как Э. н. на его зажимах при разомкнутой цепи.

В случае переменного тока Э. н. обычно характеризуется действующим (эффективным) значением, которое представляет собой среднеквадратичное за период значение напряжения. Напряжение на зажимах источника переменного тока или катушки индуктивности измеряется работой электрического поля по перемещению единичного положительного заряда вдоль пути, лежащего вне источника или катушки. Вихревое (непотенциальное) электрическое поле на этом пути практически отсутствует, и напряжение равно разности потенциалов.

Электродвижущая сила (ЭДС) — физическая величина, характеризующая работу сторонних (непотенциальных) сил в источниках постоянного или переменного тока. В замкнутом проводящем контуре ЭДС равна работе этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль контура.

Наименование и обозначение производной единицы СИ:

международное – volt, V

русское – вольт, В

Выражение через основные и производные единицы СИ:

по материалам Российской Метрологической Энциклопедии