От чего зависит амплитуда собственных незатухающих колебаний

Физика. Помогите, пожалуйста!

1) Физический маятник представляет собой однородный стержень массой m.
Ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через конец стержня. К середине стержня прикрепляют маленький груз массой m. Как при этом изменится период колебаний маятника?
Выберите один ответ:
a.) может увеличиться или уменьшится в зависимости от длины стержня
b.) уменьшится
c.) останется неизменным
d.) увеличится

2) От чего зависит амплитуда собственных незатухающих колебаний?
Выберите один ответ:
a.) от смещения и скорости в начальный момент времени
b.) от частоты собственных колебаний
c.) только от смещения в начальный момент времени

3) Период колебаний пружинного маятника на Земле равен T0. Что произойдет,
если маятник поместить на космический корабль, движущийся по орбите
вокруг Земли?
Выберите один ответ:
a.) период колебаний не изменится
b.) период колебаний увеличится
c.) период колебаний увеличится или изменится в зависимости от соотношения радиуса орбиты корабля и радиуса Земли.
d.) период колебаний уменьшится

4) Три материальные точки совершают колебания вдоль оси x согласно уравнениям (на фото). Какие колебания являются гармоническими?
Выберите один ответ:
a.) только первой точки
b.) только второй точки
c.) первой и второй точек
d.) всех трех точек

Лучший ответ

2) a.) от смещения и скорости в начальный момент времени
3) b.) период колебаний увеличится
4) d.) всех трех точек

Физика. 11 класс

Колебания груза, подвешенного на нити, с течением времени затухают, поскольку в системе действуют силы трения и сопротивления воздуха. При каких условиях механические колебания не затухают? Можно ли добиться увеличения амплитуды колебаний, используя внешнее воздействие?

Силы взаимодействия тел системы называют внутренними. Тела, не входящие в систему, называются внешними телами. Силы, которые действуют на тела системы со стороны внешних тел, называют внешними силами.

Колебания, происходящие с постоянной во времени амплитудой, называются незатухающими колебаниями (рис. 23, а). Незатухающие колебания, которые совершает система около положения устойчивого равновесия под действием внутренних сил после того, как она была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе, называются свободными (собственными) колебаниями.

Свободные колебания (в отсутствие трения) происходят со строго определенной частотой , называемой частотой свободных (собственных) колебаний системы. Эта частота зависит только от параметров системы

Примерами таких колебаний могут служить колебания математического и пружинного маятников, происходящие в отсутствие сил трения.

Амплитуда свободных колебаний определяется начальными условиями, т. е. тем начальным отклонением или толчком, который приведет в движение маятник или груз на пружине. Свободные колебания являются самым простым видом колебаний.

В любой реальной колебательной системе всегда присутствуют силы трения (сопротивления), поэтому механическая энергия системы с течением времени уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Убыль механической энергии приводит к уменьшению амплитуды колебаний.

Колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потери энергии колебательной системой, называются затухающими колебаниями (рис. 23, б).

При малых потерях энергии колебания можно считать периодическими и пользоваться такими понятиями, как период и частота колебаний, считая периодом промежуток времени между двумя последовательными максимумами смещения х(t) (рис. 24, а).

Колебания в любой реальной системе рано или поздно затухают. Чтобы колебания не затухали, необходимо воздействие внешней силы. Однако не всякая внешняя сила заставляет систему двигаться периодически. Например, невозможно раскачать качели, если действовать на них постоянной силой.

Проведем следующий эксперимент. Соединим математический маятник с метрономом тонким легким стержнем (рис. 25, а). Изменяя частоту колебаний метронома (рис. 25, б), добиваемся увеличения амплитуды колебаний математического маятника. Оказывается, что его амплитуда будет максимальной при совпадении собственной частоты колебаний маятника и метронома.

Колебания тел под действием внешней периодической силы называются вынужденными, а сила — вынуждающей. В случае действия гармонической вынуждающей силы, например или , вначале наблюдается достаточно сложное движение тела. Спустя некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания при наличии трения приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Частота установившихся вынужденных колебаний всегда равна частоте вынуждающей силы.

Амплитуда и энергия вынужденных колебаний зависят от того, насколько различаются частота вынуждающей силы и частота собственных колебаний , а также от величины трения (сопротивления) в системе.
При вынужденных колебаниях возможно явление, называемое резонансом (от лат. слова resono — откликаться).

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешней силы, действующей на колебательную систему, к частоте собственных колебаний системы (рис. 26).
Подвесим на упругой нити (АВ) четыре математических маятника с одинаковыми грузами, три из которых имеют различную длину, а длина четвертого равна длине второго (рис. 27). Сначала посмотрим, что будет с маятниками, если раскачать первый или третий маятник.

Наблюдения показывают, что через некоторое время начнут качаться и остальные маятники. Но амплитуда их колебаний мала и вскоре колебания затухают. А вот если раскачать второй маятник, то амплитуда колебаний четвертого будет возрастать, пока не достигнет достаточно большого значения.

Это происходит потому, что частота внешней силы, действующей на четвертый маятник, совпадает с частотой его собственных колебаний (т. к. длины вто­рого и четвертого маятников равны). Мы наблюдаем явление резонанса.
Подчеркнем, что при резонан­се создаются оптимальные условия для передачи энергии от внешнего источника к колебатель­ной системе.

Так при возбуждении камертона А (рис. 28) такой же камертон В через некоторое время также начинает активно звучать. При этом исходной внешней силой является удар молотком по первому камертону, а внешней силой, действующей на второй камертон, — сила давления воздуха при колебаниях.

Вспомним также процесс раскачивания на качелях. Если их раскачивать с очень малой или очень большой частотой, то эффект будет крайне мал. Раскачивание будет очень эффективным, если подобрать частоту толчков, равную частоте собственных колебаний качелей.
Большинство сооружений и механизмов способно совершать свободные колебания. При внешних периодических воздействиях с частотой, близкой к резонансной, в них могут возбуждаться колебания большой амплитуды, что может привести к разрушительным последствиям. В связи с этим, например, при прохождении по мостам войсковых частей солдатам дают команду идти вольным шагом (не в ногу). По той же причине поезда движутся по мостам либо очень медленно, либо на максимальной скорости.

В 1850 г. цепной мост через реку Мен вблизи г. Анжер (Франция) разрушился во время прохождения по нему отряда солдат, так как частота их шага совпала с частотой свободных колебаний моста.
7 ноября 1940 г. сильный порывистый ветер вызвал резонансные колебания висячего Такомского моста (США), что привело к его разрушению (рис. 29).
Заметим, что современные висячие мосты — это устойчивые конструкции, которые выдерживают сильные порывистые ветры и прочие нагрузки благодаря новым инженерным решениям.

Затухающие колебания

Механическое движение всегда сопровождается трением. Трение приводит к рассеянию (диссипации) механической энергии. Диссипация энергии имеется в любых не идеализированных колебательных системах, она вызывает затухание собственных колебаний.

Определение

Затухающими колебаниями называют колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается со временем из-за потерь энергии колебательной системой.

Уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием

где $\beta $ — коэффициент сопротивления.

Данную силу учитывают в уравнении второго закона Ньютона при описании движения. Так, уравнение, которое описывает линейные колебания по вертикали (колебания по оси X) пружинного маятника, учитывающее силу трения принимает вид:

где $\dot=v_x.$ Принимая во внимание равенства:

(где $<\omega >_0$- циклическая частота свободных незатухающих колебаний (собственная частота колебаний при $\gamma $=0) той же колебательной системы; $\gamma $ — коэффициент затухания) уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием (2) преобразуем к виду:

Малые собственные колебания, затухающие вследствие сопротивления среды в любой физической системе (математический маятник, физический маятник, электрические колебания . ) описывают при помощи уравнения формы (4).

Уравнение затухающих колебаний имеет точное решение:

где $\omega =\sqrt<<\omega >^2_0-<\gamma >^2>$; $A_0$ — начальная амплитуда колебаний, задаваемая начальными условиями; $\varphi $ — постоянная из начальных условий. При $\gamma \ll <\omega >_0$, $\omega \approx <\omega >_0$, параметр $A_0e^<-\gamma t>$ можно считать медленно изменяющейся во времени амплитудой колебаний.

Затухание колебаний по экспоненте связано с тем, что силу сопротивления мы приняли пропорциональной скорости. Если использовать другую зависимость силы трения от скорости, то закон затухания изменится.

Диссипация энергии при затухающих колебаниях

Пусть затухание мало, при этом потеря энергии колебательной системой за один период много меньше, чем энергия колебаний.

Рассеяние энергии за период колебаний происходит не равномерно, ввиду осцилляции кинетической энергии ($E_k$). Уравнение убывания энергии при затухающих колебаниях будет иметь вид:

\[\frac=-\frac\left\langle E_k\right\rangle \left(6\right),\]

где $\frac$ — скорость изменения энергии колебаний; $\left\langle E_k\right\rangle $ — средняя величина кинетической энергии за период колебаний. Уравнение (6) не применяют для промежутков времени, которые меньше периода колебаний.

Так как мы считаем затухание малым, то $\left\langle E_k\right\rangle $ можно принять равным (как при свободных колебаниях) половине полной энергии осциллятора:

\[\left\langle E_k\right\rangle =\frac\left(7\right).\]

В таком случае уравнение (6) можно записать в виде:

Выражение (8) отображает «сглаженное» поведение энергии колебаний (в случае, если детали изменения энергии за один период колебаний не интересны). Оно показывает, что скорость изменения энергии пропорциональна самой энергии. Решением уравнения (8) является функция:

где $E_0$ — величина энергии колебательной системы в начальный момент времени.

Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды ($E\sim A^2$), изменение амплитуды колебаний за большие отрезки времени (в сравнении с периодом колебаний) запишем в виде функции:

$A_0$ — начальная амплитуда колебаний.

Время жизни колебаний. Период затухающих колебаний. Декремент затухания

Из формулы (10) видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненте. За время $\tau =\frac<\gamma >$ амплитуда убывает в $e$ раз и это не зависит от $A_0$. Время $\tau $ в этом случае называют временем жизни колебаний (или временем релаксации) (не смотря на то, что в соответствии с выражением (9) колебания должны длиться бесконечно). Тезис о малости затухания означает, что время жизни колебаний не бесконечно, а много больше, чем их период ($\tau \gg T$). За время жизни происходит много колебательных движений.

Строго говоря, затухающие колебания не являются строго периодическими движениями. Периодом в данном случае считают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия.

Период затухающих колебаний считают равным:

Пусть $A\left(t\right)\ и\ A(t+T)$ — амплитуды двух последовательных колебаний, моменты времени которых отличаются на период. Отношение этих амплитуд, следуя (10) равно:

называют декрементом затухания. Натуральный логарифм декремента затухания ($\theta $):

называют логарифмическим декрементом затухания. Для колебательной системы $\theta $ постоянная величина.

Примеры задач с решением

Задание. Каков коэффициент затухания маятника ($\gamma $), если за $\Delta t$ амплитуда его колебаний уменьшилась в $n$ раз?

Решение. За основу решения задачи примем уравнение затухающих колебаний в виде:

По условию задачи имеем:

С другой стороны:

где $t_2-t_1=\Delta t$. Найдем натуральный логарифм от правой и левой части выражения (1.2), получим:

Выразим $\gamma $ из (1.3) учтем, что $\frac=n$:

Ответ. $\gamma =\frac<<\ln n\ >>$

Задание. Что представляет собой фазовая траектория затухающего колебания?

Решение. Фазовой траекторией называют траекторию движения в плоскости $\left(x;;v\right).$ По оси абсцисс откладывается отклонение $x$, по оси ординат откладывают скорость $v$. Каждому движению в момент времени $t$ соответствует изображающая точка, на указанной плоскости координаты ее $\left(x,v\right),$ они однозначно определены мгновенными значениями отклонения и скорости. Точка со временем движется и описывает траекторию (рис.1). В данном случае время выступает как параметр, уравнение фазовой траектории задет функция:

Фазовая траектория затухающего колебания, если

представляет собой незамкнутую спираль, которая закручивается вокруг начала координат (рис.1). Если затухание колебаний малое, то есть за время жизни колебательная система совершает множество колебаний, количество витков спирали в фазовой плоскости будет таким же.

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 471 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

2.3.1 Собственные колебания

Рассмотрим колебательные свойства пружинного маятника, представляющего собой материальную точку массы , соединенную невесомой пружиной жёсткостью с неподвижным подвесом (рис. 1).

Рис. 1. Пружинный маятник.

Пусть – длина пружины в ненагружённом состоянии. Если на пружину подвесить груз массы , то под действием силы тяжести пружина растянется и её длина станет равной . Если груз и пружина находятся в равновесии (как показано на рис. 1. б), то сила тяжести уравновешена силой упругости . Отсчитывая координату материальной точки от положения равновесия , уравнение движения пружины можно записать в виде [1–3]

где – частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота. Собственная частота кантилевера вычислена в пункте 2.1.6.

Решение уравнения (1) при начальных условиях и имеет вид

Амплитуда и начальная фаза свободных колебаний находятся из начальных условий для координаты и скорости, а частота собственных незатухающих колебаний является параметром колебательной системы.

Рассмотренный тип колебаний принято называть собственными свободными колебаниями, поскольку они происходят в колебательной системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной после этого самой себе.

Выводы.

• Малые колебания кантилевера можно описывать по законам колебаний пружинного маятника с заданной жёсткостью и эффективной массой.
• Собственные колебания кантилевера в случае отсутствия внешних сил происходят по гармоническим законам (2).

Литература.

1. С.Э. Хайкин. Механика. – М.: ОГИЗ, 1947. – 574 с.
2. Д. В. Сивухин. Механика. – М.: Наука, 1989. – 576. с.
3. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 496 с.