Закон Ома для участка цепи
З а к о н О м а — э т о ф у н д а м е н т а л ь н ы й з а к о н э л е к т р о т е х н и к и , п оз в ол я ю щ и й п о н и м а т ь и п р о с ч и т ы в а т ь з а в и с и м о с т ь т ок а , н а п р я ж е н и я и с оп р о т и в л е н и я в э л е к т р и ч е с к и х ц е п я х .
З а к о н О м а м ож н о и с п ол ь з ов а т ь д л я в ы ч и с л е н и я л ю б ой и з и с к ом ы х в е л и ч и н , е с л и у ч е с т ь д в а о с т а в ш и х с я . Д л я э т ог о м ож н о и с п ол ь з ов а т ь т р е у г ол ь н и к О м а , г д е з а к р ы т а я в е л и ч и н а о п р е д е л я е т с я д в у м я д р у г и м и .
З а к о н О м а — о с н ов н о й закон в м и р е э л е к т р о т е х н и к и и е г о н е об х од и м о з н а т ь и у м е л о п р и м е н я т ь д л я р е ш е н и я п р а к т и ч е с к и х з а д а ч .
В этой статье мы рассмотрим закон Ома для участка цепи и расскажем, как использовать его для расчета параметров цепи.
Основным законом электротехники, при помощи которого можно изучать и рассчитывать электрические цепи, является закон Ома, устанавливающий соотношение между током, напряжением и сопротивлением. Необходимо отчетливо понимать его сущность и уметь правильно пользоваться им при решении практических задач. Часто в электротехнике допускаются ошибки из-за неумения правильно применить закон Ома.
Закон Ома для участка цепи гласит: ток прямо пропорционален напряжению и обратно пропорционален сопротивлению.
Если увеличить в несколько раз напряжение, действующее в электрической цепи, то ток в этой цепи увеличится во столько же раз. А если увеличить в несколько раз сопротивление цепи, то ток во столько же раз уменьшится. Подобно этому водяной поток в трубе тем больше, чем сильнее давление и чем меньше сопротивление, которое оказывает труба движению воды.
В популярной форме этот закон можно сформулировать следующим образом: чем выше напряжение при одном и том же сопротивлении, тем выше сила тока и в то же время чем выше сопротивление при одном и том же напряжении, тем ниже сила тока.
Чтобы выразить закон Ома математически наиболее просто, считают, что сопротивление проводника, в котором при напряжении 1 В проходит ток 1 А, равно 1 Ом.
Ток в амперах можно всегда определить, если разделить напряжение в вольтах на сопротивление в омах. Поэтому закон Ома для участка цепи записывается следующей формулой:
Магический треугольник
Любой участок или элемент электрической цепи можно охарактеризовать при помощи трёх характеристик: тока, напряжения и сопротивления.
Как использовать треугольник Ома: закрываем искомую величину — два других символа дадут формулу для её вычисления. Кстати, законом Ома называется только одна формула из треугольника – та, которая отражает зависимость тока от напряжения и сопротивления. Две другие формулы, хотя и являются её следствием, физического смысла не имеют.
Расчеты, выполняемые с помощью закона Ома для участка цепи, будут правильны в том случае, когда напряжение выражено в вольтах, сопротивление в омах и ток в амперах. Если используются кратные единицы измерений этих величин (например, миллиампер, милливольт, мегаом и т. д.), то их следует перевести соответственно в амперы, вольты и омы. Чтобы подчеркнуть это, иногда формулу закона Ома для участка цепи пишут так:
Можно также рассчитывать ток в миллиамперах и микроамперах, при этом напряжение должно быть выражено в вольтах, а сопротивление — в килоомах и мегаомах соответственно.
Открытие закона Ома
Георг Симон Ом был немецким физиком, жившим с 1789 по 1854 год. После школы он начал преподавать математику и физику, но все больше интересовался исследованиями в области электричества. В 1827 году он выступил с очень смелым заявлением о том, что ток, проходящий через электрическую цепь, прямо пропорционален напряжению.
Как связаны электрический ток, сопротивление и напряжение? Соотношения между этими величинами сегодня кажутся самоочевидными, но во времена их первооткрывателя Георга Ома доказать их было совсем не просто.
Коллеги-ученые с самого начала смеялись над этим просто сформулированным законом. Даже премия полученная Омом от Королевского общества в Лондоне в 1841 году не развеяла сомнений, хотя и принесла ее обладателю большую известность.
Георг Симон Ом (1789 — 1854)
Споры о справедливости закона Ома продолжались десятилетия после его смерти. Лишь через пятьдесят лет после публикации открытия закон Ома был окончательно подтвержден научной комиссией.
В 1881 году Международный физический конгресс в Париже решил, что единица электрического сопротивления будет называться омом.
Другие статьи про электричество в простом и доступном изложении:
Примеры применения закона Ома
Закон Ома справедлив для любого участка цепи. Если требуется определить ток в данном участке цепи, то необходимо напряжение, действующее на этом участке (рис. 1), разделить на сопротивление именно этого участка.
Рис 1. Применение закона Ома для участка цепи
Приведем пример расчета тока по закону Ома . Пусть требуется определить ток в лампе, имеющей сопротивление 2,5 Ом, если напряжение, приложенное к лампе, составляет 5 В. Разделив 5 В на 2,5 Ом, получим значение тока, равное 2 А. Во втором примере определим ток, который будет протекать под действием напряжения 500 В в цепи, сопротивление которой равно 0,5 МОм. Для этого выразим сопротивление в омах. Разделив 500 В на 500 000 Ом, найдем значение тока в цепи, которое равно 0,001 А или 1 мА.
Часто, зная ток и сопротивление, определяют с помощью закона Ома напряжение. Запишем формулу для определения напряжения
Из этой формулы видно, что напряжение на концах данного участка цепи прямо пропорционально току и сопротивлению . Смысл этой зависимости понять нетрудно. Если не изменять сопротивление участка цепи, то увеличить ток можно только путем увеличения напряжения. Значит при постоянном сопротивлении большему току соответствует большее напряжение. Если же надо получить один и тот же ток при различных сопротивлениях, то при большем сопротивлении должно быть соответственно большее напряжение.
Напряжение на участке цепи часто называют падением напряжения . Это нередко приводит к недоразумению. Многие думают, что падение напряжения есть какое-то потерянное ненужное напряжение. В действительности же понятия напряжение и падение напряжения равнозначны. Потери и падение напряжения — в чем различие?
Падение напряжения — постепенное падение потенциала вдоль цепи, по которой течет ток, обусловленное тем, что цепь обладает активным сопротивлением. По закону Ома падение напряжения в каком-либо участке цепи U равно произведению сопротивления этого участка цепи R на силу тока в нем I , т. е. U — RI. Таким образом, чем больше сопротивление участка цепи, тем больше падение напряжения в этом участке цепи при данной силе тока.
Расчет напряжения с помощью закона Ома можно показать на следующем примере. Пусть через участок цепи с сопротивлением 10 кОм проходит ток 5 мА и требуется определить напряжение на этом участке.
Умножив I = 0,005 А на R — 10 000 Ом, получим напряжение,равное 5 0 В. Можно было бы получить тот же результат, умножив 5 мА на 10 кОм: U = 50 В
В электронных устройствах ток обычно выражается в миллиамперах, а сопротивление — в килоомах. Поэтому удобно в расчетах по закону Ома применять именно эти единицы измерений.
По закону Ома рассчитывается также сопротивление, если известно напряжение и ток. Формула для этого случая пишется следующим образом: R = U/I.
Сопротивление всегда представляет собой отношение напряжения к току. Если напряжение увеличить или уменьшить в несколько раз, то ток увеличится или уменьшится в такое же число раз. Отношение напряжения к току, равное сопротивлению, остается неизменным.
Не следует понимать формулу для определения сопротивления в том смысле, что сопротивление данного проводника зависит оттока и напряжения. Известно, что оно зависит от длины, площади сечения и материала проводника. По внешнему виду формула для определения сопротивления напоминает формулу для расчета тока, но между ними имеется принципиальная разница.
Ток в данном участке цепи действительно зависит от напряжения и сопротивления и изменяется при их изменении. А сопротивление данного участка цепи является величиной постоянной, не зависящей от изменения напряжения и тока, но равной отношению этих величин.
Когда один и тот же ток проходит в двух участках цепи, а напряжения, приложенные к ним, различны, то ясно, что участок, к которому приложено большее напряжение, имеет соответственно большее сопротивление.
А если под действием одного и того же напряжения в двух разных участках цепи проходит различный ток, то меньший ток всегда будет на том участке, который имеет большее сопротивление. Все это вытекает из основной формулировки закона Ома для участка цепи, т. е. из того, что ток тем больше, чем больше напряжение и чем меньше сопротивление.
Расчет сопротивления с помощью закона Ома для участка цепи покажем на следующем примере. Пусть требуется найти сопротивление участка, через который при напряжении 40 В проходит ток 50 мА. Выразив ток в амперах, получим I = 0,05 А. Разделим 40 на 0,05 и найдем, что сопротивление составляет 800 Ом.
Закон Ома можно наглядно представить в виде так называемой вольт-амперной характеристики . Как известно, прямая пропорциональная зависимость между двумя величинами представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Такую зависимость принято называть линейной .
На рис. 2 показан в качестве примера график закона Ома для участка цепи с сопротивлением 100 Ом. По горизонтальной оси отложено напряжение в вольтах, а по вертикальной оси — ток в амперах. Масштаб тока и напряжения может быть выбран каким угодно. Прямая линия проведена так, что для любой ее точки отношение напряжения к току равно 100 Ом. Например, если U = 50 В, то I = 0,5 А и R = 50 : 0,5 = 100 Ом.
Рис. 2 . Закон Ома (вольт-амперная характеристика)
График закона Ома для отрицательных значений тока и напряжения имеет такой же вид. Это говорит о том, что ток в цепи проходит одинаково в обоих направлениях. Чем больше сопротивление, тем меньше получается ток при данном напряжении и тем более полого идет прямая.
Приборы, у которых вольт-амперная характеристика является прямой линией, проходящей через начало координат, т. е. сопротивление остается постоянным при изменении напряжения или тока, называются линейными приборами . Применяют также термины линейные цепи, линейные сопротивления.
Существуют также приборы, у которых сопротивление изменяется при изменении напряжения или тока. Тогда зависимость между током и напряжением выражается не по закону Ома, а более сложно. Для таких приборов вольт-амперная характеристика не будет прямой линией, проходящей через начало координат, а является либо кривой, либо ломаной линией. Эти приборы называются нелинейными .
Кроме закона Ома для участка цепи также существует обобщенный закон Ома (закон для полной цепи) определяет связь между основными электрическими величинами на участке цепи постоянного тока, содержащего резистор и идеальный источник ЭДС: Закон Ома для полной цепи
Мнемоническая диаграмма для закона Ома
Что нужно знать о законе Ома для контрольной или экзамена?
Все проводники оказывают некоторое сопротивление прохождению электрического тока. Тогда конкретное сопротивление зависит от нескольких факторов. Решающее значение имеет материал, из которого изготовлен проводник, а также его длина и толщина (соответственно величина площади перпендикулярного сечения).
Важно знать, что электрический ток, напряжение и сопротивление являются тесно связанными величинами. Закон Ома гласит, что электрический ток (I) прямо пропорционален напряжению (U) в электрической цепи с постоянным сопротивлением (R). Следовательно, электрическое сопротивление можно понимать как константу пропорциональности между током и напряжением.
- Связь между электрическим током, напряжением и сопротивлением в простой электрической цепи была открыта немецким физиком Георгом Симоном Омом в 1826 году.
- Закон Ома гласит, что электрический ток в цепи прямо пропорционален электрическому напряжению.
- Единицей электрического тока является Ампер [А].
- Электрический ток – это упорядоченное движение электрически заряженных частиц. Его можно измерить амперметром.
- Единицей электрического сопротивления является Ом [Ом].
- Электрическое сопротивление — это величина, выражающая способность проводника проводить электрический ток.
- 1 Ом — это значение электрического сопротивления, при котором создается падение 1 В при токе 1 А.
- Единицей электрического напряжения в системе СИ является 1 вольт [В].
- В разветвленной электрической цепи резисторы соединены рядом друг с другом. Когда электрический ток, протекающий через резистор, увеличивается вдвое, его электрическое сопротивление не изменяется.
Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
Неоднородный участок цепи: объяснение и примеры
Когда речь идет о электрической цепи, может возникнуть ситуация, когда на участке цепи имеются различные элементы, отличающиеся по своим характеристикам. Такой участок называется неоднородным участком цепи. Причины, по которым в цепи могут присутствовать неоднородные участки, могут быть разными, например, это может быть необходимость в адаптации сигнала, защите от перегрузок или компенсации потерь. Примерами неоднородных участков цепи могут быть: резисторы с различными сопротивлениями, конденсаторы с различными емкостями или индуктивности с разной силой.
Что такое неоднородный участок цепи?
Добро пожаловать! Сегодня мы поговорим о неоднородных участках цепи. Звучит интересно, не так ли? А что это вообще такое?
Так вот, неоднородный участок цепи — это какой-то участок электрической цепи, который отличается от остальных по своим характеристикам. Может быть, он имеет другое сопротивление, емкость или индуктивность, или у него есть особенные элементы, такие как диоды или конденсаторы. В общем, он выделяется из общей массы и представляет собой отдельную сущность внутри цепи.
Причины появления неоднородных участков могут быть разными. Например, могут использоваться разные материалы или элементы на разных участках цепи, чтобы достичь определенных эффектов или функциональности. Такие неоднородности могут использоваться в разнообразных электронных устройствах, начиная от простых светодиодных фонарей и заканчивая сложными компьютерными системами.
Давайте разберемся с этим на практическом примере. Представьте, у вас есть цепь, состоящая из нескольких светодиодов и резисторов. Один из светодиодов имеет другое сопротивление, чем остальные. Это создает неоднородный участок цепи. При подаче напряжения на эту цепь, светодиоды с разным сопротивлением будут светиться по-разному — один будет ярче, другой слабее. И это может использоваться, например, для создания светодиодного индикатора, где каждый светодиод отвечает за определенное состояние или информацию.
Итак, неоднородные участки цепи могут иметь различные характеристики и выполнять разные функции в электрических цепях. Их наличие позволяет создавать разнообразные электронные устройства с уникальными возможностями. Теперь, когда мы знаем, что такое неоднородный участок цепи, давайте продолжим изучение этой увлекательной темы и посмотрим, как мы можем использовать ее на практике!
Почему возникают неоднородные участки цепи?
Возможно, ты когда-нибудь задумывался, почему в некоторых электрических цепях есть неоднородные участки? Ведь вроде бы должно быть все однородно и ровненько, как в книжках по физике. Давай разберемся, почему так происходит.
Неоднородные участки цепи возникают из-за наличия элементов с разными свойствами или сопротивлением на каком-то участке цепи. Это может быть вызвано разным материалом проводника, различным сечением провода или наличием других элементов, влияющих на электрическое сопротивление.
Приведу тебе пример. Представь, что у нас есть электрическая цепь, в которой есть провода разного сечения — узкого и широкого. Так вот, на участке с узким проводом сопротивление будет выше, чем на участке с широким проводом. Это означает, что ток будет проходить через узкий провод с большим сопротивлением медленнее, чем через широкий провод с меньшим сопротивлением. Поэтому на участке с узким проводом может возникать нагрев, так как большее сопротивление вызывает большую энергию, которая превращается в тепло. А это, в свою очередь, может вызвать различные проблемы, такие как перегрев провода и возможность возникновения короткого замыкания.
А теперь давай представим еще один пример. На участке цепи у нас есть резистор и конденсатор, которые по своим свойствам отличаются друг от друга. Резистор, как ты знаешь, препятствует прохождению тока, а конденсатор, наоборот, накапливает электрический заряд. Так вот, если поставить резистор и конденсатор подряд на один участок цепи, то произойдет неоднородность электрического потока — часть тока пройдет через резистор, а часть будет заряжать конденсатор. Это приведет к изменению зависимости электрических параметров цепи, таких как напряжение или ток, от времени.
Видишь, неоднородные участки цепи могут возникать по разным причинам — разные свойства элементов, разное сопротивление или наличие других компонентов в цепи. И это совсем не плохо, а наоборот, может быть полезно. Ведь благодаря неоднородности участков цепи, мы можем создавать различные устройства, такие как фильтры, трансформаторы и другие электрические схемы, которые позволяют нам управлять и работать с электрическими сигналами.
Как возникает неоднородный участок цепи?
Вы наверняка знаете, что электрическая цепь может быть представлена в виде последовательного соединения различных элементов, таких как провода, резисторы, конденсаторы и транзисторы. Однако, иногда в цепи могут встречаться неоднородные участки, которые имеют различные свойства и параметры.
Неоднородный участок цепи возникает, когда внутри цепи есть элементы с различными физическими свойствами, такими как сопротивление, емкость или индуктивность. Идеальная электрическая цепь, представленная только одной и той же характеристикой, является редкостью. В реальности, в цепи могут быть участки с различными характеристиками, что делает их неоднородными.
Неоднородные участки могут возникать по разным причинам. Одной из причин может быть деление цепи на различные отрезки, где каждый отрезок имеет свои характеристики. Например, в электрической схеме может присутствовать участок сопротивления, за которым следует участок с емкостью. Это делает данную часть цепи неоднородной.
Неоднородные участки цепи также могут возникать вследствие включения различных элементов с разными характеристиками. Например, в цепи может быть резистор с одним значением сопротивления и конденсатор с другим значением емкости. Такое сочетание элементов делает участок цепи неоднородным.
Нет ничего плохого в наличии неоднородного участка цепи, поскольку это обычная практика при проектировании электрических схем. Различные элементы и их сочетания в цепи позволяют достичь определенной функциональности и контролируемого поведения цепи.
Теперь вы понимаете, что неоднородный участок цепи возникает из-за присутствия в цепи элементов с различными характеристиками. И это нормально! Каждый элемент выполняет свою функцию и вместе они позволяют достичь желаемого результата в работе цепи. Надеюсь, эта информация была полезной и интересной для вас!
Пример 1: неоднородный участок цепи в электрической цепи
Теперь давай поговорим о светофорах на электрической цепи. Когда мы говорим о неоднородном участке цепи, мы имеем в виду ситуацию, когда на этом участке цепи происходят изменения в ее физических или химических свойствах. Это может быть изменение в сопротивлении, емкости или индуктивности цепи.
Давай рассмотрим пример с неоднородным участком цепи. Допустим, у нас есть простая электрическая цепь, состоящая из источника тока, проводников и лампы. Но на одном из участков между источником тока и лампой у нас есть неоднородность. Это может быть, например, провод с разными типами металла или проводник с переменным сечением.
Что произойдет с электрическим током в таком случае? На неоднородном участке цепи сопротивление будет меняться, что приведет к изменению силы тока. В результате, напряжение на лампе также будет меняться. Это может привести к изменениям в яркости света, который излучается лампой.
Такая ситуация может возникать, например, при использовании разных материалов в проводнике или при использовании проводника разного сечения. В таких случаях необходимо иметь в виду, что на неоднородном участке цепи будут происходить изменения в электрических параметрах и, соответственно, величина и направление тока будут меняться.
Познавательно, не правда ли? Ты, как светофор на перекрестке, можешь вмешаться и контролировать поток электрического тока, оптимизируя его значение на неоднородном участке для поддержания плавного движения в цепи.
Пример 2: неоднородный участок цепи в механической системе
Представь себе следующую ситуацию: ты решил сделать небольшую качалку для своего двора. Ты берешь кусок толстой веревки и закрепляешь его между двумя деревьями. Теперь ты можешь качаться на этой веревке, радуясь своему делу.
Однако, через некоторое время тебе приходит в голову идея сделать веревку более интересной. Ты решаешь подкрасить ее разными цветами, чтобы делать свою игру еще красочнее. Ты берешь обычную веревку и красишь ее в разные цвета каждые несколько метров: синий, зеленый, красный, желтый и так далее.
Теперь, когда ты качаешься, ты видишь, как мимо проносятся разноцветные полосы веревки. Это делает игру еще более увлекательной. Но что происходит в механическом плане?
Когда ты качаешься на этой неоднородной веревке, каждый раз, когда ты переходишь с одного цвета на другой, ты изменяешь свою скорость и ускорение. Ведь каждая часть веревки имеет свою плотность, свою толщину и свою массу. Это значит, что сила, с которой ты тянешься за веревку, меняется в зависимости от ее свойств в разных местах.
Такие неоднородности в механической системе могут повлиять на ее общую динамику. Например, если одна часть веревки более толстая и тяжелая, чем другая, это может вызывать неравномерность качания. Ты можешь ощущать дополнительное сопротивление со стороны более тяжелой части веревки.
Таким образом, неоднородный участок цепи в механической системе может привести к изменению динамического поведения системы. Этот пример демонстрирует важность учета неоднородностей при анализе и разработке механических систем.
Неоднородный участок цепи: объяснение и примеры
Неоднородный участок цепи представляет собой часть электрической цепи, в которой сопротивление отличается от остальной части цепи. Неоднородность цепи может быть вызвана различием в материале проводника, его длине, площади поперечного сечения или другими факторами.
Чтобы рассчитать параметры неоднородного участка цепи, необходимо учитывать различие в сопротивлении. Сопротивление обозначается символом R и измеряется в омах (Ω). В зависимости от физических характеристик материала проводника и его геометрических размеров, сопротивление может меняться на протяжении участка цепи.
Примером неоднородного участка цепи может служить участок с двумя различными проводниками, имеющими разные значения сопротивления. Для рассчета общего сопротивления этого участка, можно использовать формулу:
где Rобщ — общее сопротивление, R1 и R2 — сопротивления первого и второго проводников соответственно.
Если неоднородный участок цепи содержит большее число проводников с различными значениями сопротивления, общее сопротивление можно рассчитать по аналогичной формуле, прибавляя сопротивления каждого проводника по очереди.
Другим примером неоднородного участка цепи может служить участок с переменным сопротивлением на протяжении его длины. В этом случае, для расчета общего сопротивления необходимо разделить участок на более мелкие сегменты и рассчитать сопротивление каждого сегмента, а затем сложить их значения.
Неоднородные участки цепи широко применяются в реальных электрических системах, например в телекоммуникационных сетях или электроэнергетике. Понимание принципов работы неоднородных участков цепи позволяет более точно рассчитывать и анализировать электрические схемы и обеспечивать их оптимальное функционирование.
Топология электрических цепей.
Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1, 2), введя понятие ветви и узла.
Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.
Узел – место соединения трех и более ветвей.
Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.
Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.
Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи . При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.
Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа . Граничные точки ветви графа называют узлами графа . Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным .
Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.
В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:
1. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3 . Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.
2. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для графа по рис. 3 можно определить контуры, образованные ветвями 2-4-6; 3-5-6; 2-3-5-4 . Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.
3. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.
4. Ветви связи (дополнения дерева) – это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.
Если граф содержит m узлов и n ветвей, то число ветвей любого дерева , а числа ветвей связи графа .
5. Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.
Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. 3 S 1 и S 2 . При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5 .
С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:
- главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи;
- главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева.
Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами . Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.
1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы.
Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу А Н , принимая, что элемент матрицы ( i –номер строки; j –номер столбца) равен 1 , если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1 , если ориентирована к нему, и 0 , если ветвь j не соединена с узлом i . Сориентировав ветви графа на рис. 3, получим
.Данная матрица А Н записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы А Н всегда равна нулю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1 , остальные нули.
Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы А Н путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим
.Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов , т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы А , перейдем к первому закону Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа
Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение
где — вектор плотности тока; — нормаль к участку dS замкнутой поверхности S.
Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S 2 графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать
Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:
т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.
При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.
Введем столбцовую матрицу токов ветвей
Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:
– где O — нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А , а не А Н , т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов.
В качестве примера запишем для схемы на рис. 3
Отсюда для первого узла получаем
что и должно иметь место.
2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы В соответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.
Элемент b ij матрицы В равен 1 , если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1 , если не совпадает с направлением обхода контура, и 0 , если ветвь j не входит в контур i.
Матрицу В , записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров . При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4 , запишем коэффициенты для матрицы В .
Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.
Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.
Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:
Поскольку при обходе контура потенциал каждой i -ой точки встречается два раза, причем один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю.
Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:
— и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.
Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей
Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид
В качестве примера для схемы рис. 5 имеем
откуда, например, для первого контура получаем
что и должно иметь место.
Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов
причем потенциал последнего узла , то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением
где A Т — транспонированная узловая матрица.
Для определения матрицы В по известной матрице А = А Д А С , где А Д – подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева, А С — подматрица, соответствующая ветвям связи, может быть использовано соотношение В = ( -А Т С А -1Т Д 1 ).
3. Матрица сечений – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.
Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений . Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений.
Элемент q ij матрицы Q равен 1 , если ветвьвходит в i -е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1 , если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0 , если ветвь j не входит в i -е сечение.
В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем
В заключение отметим, что для топологических матриц А , В и Q , составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения
которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 – нулевая матрица порядка .
Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.
1. Теоретические основы электротехники. Т.1. Основы теории линейных цепей./Под ред. П.А.Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд.2-е , перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976.-544с.
2. Матханов Х.Н . Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. и радиотехн. спец. 3-е изд. переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.
3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Контрольные вопросы и задачи
- Сформулируйте основные топологические понятия для электрических цепей.
- Что такое узловая матрица?
- Что такое контурная матрица?
- Что такое матрица сечений?
- Токи ветвей некоторой планарной цепи удовлетворяют следующей полной системе независимых уравнений: . Восстановив граф цепи, составить матрицы главных контуров и сечений, приняв, что ветвям дерева присвоены первые номера. Ответ:
Участок электрической цепи
Участок электрической цепи — это часть электрической цепи, содержащая выделенную совокупность ее элементов.
Источник: ГОСТ 19880-74
Оставьте комментарий Отменить ответ
Карта сайта
Все наши публикации вы найдете на карте сайта LinijaOpory.ru
Миссия сайта LinijaOpory.ru
Сайт LinijaOpory.ru уже много лет помогает своим посетителям, предоставляя информацию об опорах воздушных линий электропередачи и сопутствующих материалах.
В настоящее время мы восстанавливаем нашу базу данных, которая раньше содержала несколько сотен типов опор. Мы будем благодарны, если вы поддержите наш сайт и расскажете о нем своим коллегам.
Распространение чертежей
Все публикуемые редактируемые чертежи защищены законом об авторском праве. Все права подтверждены и закреплены законодательно.
Если вы планируете распространять чертежи, скачанные с сайта LinijaOpory.ru, мы будем вынуждены принять меры в рамках действующего законодательства. Мы публикуем только уникальные чертежи и схемы и можем подтвердить это. Просим вас относиться с уважением к нашему труду.