Концентрация носителей тока и их подвижность
При Т=0 о К в полупроводнике нет свободных носителей заряда, все энергетические уровни валентной зоны заняты электронами, а энергетические уровни в зоне проводимости свободны.
Будем рассматривать процессы, в которых электроны располагаются на нижних уровнях зоны проводимости, на верхних уровнях валентной зоны и на локальных уровнях примеси в запрещенной зоне кристалла.
Вероятность заполнения электроном энергетического уровня определяется функцией Ферми
Вероятность того, что энергетический уровень занят дыркой
Концентрация свободных электронов в зоне проводимости
Концентрация дырок в валентной зоне
Здесь — плотность разрешенных состояний в зоне;
— число состояний в интервале энергии от до .
Начало отсчета — потолок валентной зоны.
Поскольку вероятности заполнения уровней зоны проводимости и заполнения валентных уровней
Эти выражения представляют собой функцию распределения Больцмана и выражают распределение частиц по энергиям.
При небольших концентрациях свободных электронов и дырок, с которыми мы имеем дело, в полупроводнике эти частицы образуют невырожденный электронный и дырочный газ.
При повышении температуры концентрация примесных носителей тока быстро достигает насыщения. Это означает, что практически освобождаются все донорные или заполняются электронами все акцепторные уровни. С ростом температуры сказывается собственная проводимость полупроводника, обусловленная переходом электронов из валентной зоны в зону проводимости. Таким образом, при высоких температурах проводимость полупроводника будет складываться из примесной и собственной проводимостей.
При низких температурах преобладает примесная, а при высоких – собственная проводимость.
Эффект Холла
Изучение свойств полупроводников заключается в определении знака и концентрации носителей заряда. Наиболее распространенным методом измерения концентрации и знака носителей заряда в проводнике является метод измерения напряжения Холла.
В 1880г. американский физик Э.Холл обнаружил следующее явление: если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между параллельными току и полю гранями возникнет разность потенциалов.
Величина ее определяется выражением:
где i – сила тока;
R – постоянная Холла (величина ее для различных металлов разная).
Эффект Холла можно объяснить следующим образом:
Ток в пластине обусловлен упорядоченным движением электрических зарядов е. обозначив через — число зарядов в единице объема, а через — среднюю скорость их упорядоченного движения, силу тока можно выразить как
где — площадь поперечного сечения пластины.
Если заряды е положительны, то направления и совпадают. Если – отрицательны, то — не совпадают.
На заряд, движущийся в магнитном поле с индукцией В действует сила Лоренца, в нашем случае равная . Так как перпендикулярна и , то заряды будут описывать криволинейные траектории (см. рис.) и создавать на одной пластине избыток, а на другой – недостаток зарядов. На сторонах пластины возникает разность потенциалов. В результате этого возникнет поперечное электрическое поле, направленное сверху вниз, если заряды положительны и снизу вверх – если они отрицательны.
Так как, в случае изображенном на рисунке, заряд е отрицателен, то, сила, действующая на заряд со стороны электрического поля еЕ будет направлена противоположно Е, то есть в нашем случае вниз.
В случае положительного заряда эта сила так же направлена противоположно силе Лоренца.
В установившемся состоянии должно соблюдаться равенство или . Откуда
Подставив вместо ее значение из формулы (2), получим
Если пластина достаточно длинная и широкая, то электрическое поле в ней можно считать однородным. Тогда
Сравнивая эту формулу с формулой (1). Получим
Как видно из этой формулы, знак константы Холла совпадает со знаком носителей тока е. поэтому на основании измерения константы Холла для полупроводников можно судить о характере проводимости (при электронной проводимости R0).
По измерению постоянной Холла можно найти концентрацию носителей тока (их число в единице объема).
Определив из опытных данных константу Холла, можно вычислить концентрацию носителей заряда в проводнике. Если для образца известно значение R и удельной электропроводности , то для носителей одного знака их подвижность равна .
Эффект Холла широко используется в измерительной технике. Миниатюрные датчики Холла, сделанные из небольшой полупроводниковой пластинки с двумя электродами для подводки тока и с двумя другими- для измерения поперечной разности потенциалов, применяются для измерения таких величин, как сила тока через датчик, индукция и напряженность внешнего магнитного поля, ориентировка датчика относительно этого поля и т.д.
Кроме этого, эффект Холла используется во многих электро- и радиотехнических установках для модуляции электрических колебаний, преобразования токов, записи звуков, усиления постоянного и переменного токов и т.д.
Как вычисляется концентрация носителей тока
Лабораторная работа № 405.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА В ПОЛУПРОВОДНИКЕ С ПОМОЩЬЮ ЭФФЕКТА ХОЛЛА
Цель работы : 1) определение постоянной Холла;
2) определение концентрации носителей заряда.
Приборы и принадлежности: установка для изучения эффекта Холла, образец (датчик Холла), источник питания образца, цифровые вольтметры.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Более века тому назад (1879г.) американский физик Холл, поместив тонкую золотую пластинку в магнитное поле, обнаружил, что при протекании по ней электрического тока в направлении, поперечном вектору магнитной индукции и вектору плотности тока, появляется электрическое поле. Этот эффект впоследствии был назван эффектом Холла, а поперечное электрическое поле – полем Холла.
Эффект Холла непосредственно связан с подвижностью и концентрацией носителей заряда, а знак ЭДС Холла зависит от знака заряда. Поэтому эффект Холла широко применяется при исследовании электрических свойств различных материалов и для контроля качества полупроводниковых материалов, идущих на изготовление приборов.
Изучение температурной зависимости эффекта Холла дает важную информацию о механизмах рассеяния [1] носителей заряда, о ширине запрещенной зоны материала и энергии ионизации различных примесей.
Весьма широкое применение эффект Холла находит в современной технике, являясь основой для создания приборов различного назначения: магнитометров, преобразователей постоянного тока в переменный и переменного в постоянный, усилителей постоянного и переменного тока, микрофонов, приборов автоматики и контроля, элементов вычислительной техники и многого другого.
Эффект Холла является прямой демонстрацией действия силы Лоренца на движущиеся электрические заряды.
Рассмотрим проводник (или полупроводник) в виде параллелепипеда шириной а и толщиной d , через который протекает электрический ток плотностью , как показано на рис.1. Предположим также, что в проводнике имеются носители заряда одного знака: либо электроны, либо дырки. Проведем рассмотрение электронного проводника. Выберем на гранях, параллельных току, точки А и D , лежащие на одной эквипотенциальной поверхности [2] . Напряжение между этими точками Ux = 0.
Поместим проводник в магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен направлению тока и боковым граням. Под действием силы Лоренца
электроны отклоняются к передней (по рисунку) грани образца, заряжая ее отрицательно. На противоположной грани образца накапливаются нескомпенсированные положительные заряды. Это приводит к появлению электрического поля
Смещение и разделение зарядов будет продолжаться до тех пор, пока сила Лоренца не уравновесится силой действующей на электроны со стороны поля Холла
Сила, действующая на электрон в условиях динамического равновесия, равна
Отсюда поле Холла
Результирующее электрическое поле
повернется при этом на угол Холла a , определяемый выражением
относительно вектора Соответственно эквипотенциальные поверхности и тоже изменят свое положение, и точки А и D в результате окажутся на разных эквипотенциальных поверхностях и между ними появится напряжение (ЭДС Холла):
то можно записать, что
Величина называется постоянной Холла. Знак постоянной Холла зависит от знака заряда и определяет направление поля Холла (рис.2). У электронных полупроводников (полупроводников n —типа) R имеет отрицательный знак, у дырочных (полупроводников р-типа) – положительный.
Таким образом, определяя постоянную Холла и ее знак, можно определить концентрацию и знак носителей тока в полупроводнике.
Рассмотренная модель эффекта Холла применима для проводников (металлов) и вырожденных полупроводников [3] , т.е. к проводникам, в которых имеются носители одного знака, обладающие одинаковой скоростью В невырожденных полупроводниках скорость носителей подчиняется распределению Максвелла. Учет этого обстоятельства приводит к формуле
где А – постоянная, зависящая от механизма рассеяния носителей.
В полупроводниках со смешанной проводимостью перенос тока осуществляется одновременно электронами и дырками. Так как они обладают противоположными по знаку зарядами и под действием внешнего поля перемещаются в противоположные стороны, то сила Лоренца отклоняет их в одну и ту же сторону. Поэтому при прочих равных условиях ЭДС Холла и постоянная Холла у таких проводников меньше, чем у проводников с одним типом носителей. Расчет показывает, что для таких проводников
где n и р – концентрации электронов и дырок, m n и m р – их подвижности.
В зависимости от того, какое из слагаемых числителя больше, знак Холла может быть положительным или отрицательным. Для собственных полупроводников, у которых концентрации электронов и дырок одинаковы, знак постоянной Холла определяется знаком носителей, имеющих более высокую подвижность. Обычно такими носителями являются электроны. Поэтому в примесном дырочном полупроводнике (полупроводнике р-типа) при повышении температуры и переходе к собственной проводимости постоянная Холла проходит через нуль и меняет знак.
При измерении постоянной Холла и напряжения Холла следует иметь ввиду, что между холловскими электродами А и D имеется некоторая разность потенциалов U о и в отсутствии магнитного поля Эта разность потенциалов обусловлена асимметрией контактов (на практике очень трудно расположить их на одной эквипотенциальной поверхности, см. рис.3), и термоэдс, связанной с неизотермичностью образца. Для исключения влияния начальной разности потенциалов U о на результаты измерения можно воспользоваться следующим методическим приемом.
При изменении направления магнитного поля на обратное знак ЭДС Холла U х изменится, в то время как знак U о остается прежним. При этом в зависимости от соотношения величин U х и U о возможны два подхода к определению U х . Чаще встречается случай, когда Тогда для различных направлений (условно обозначенных ниже знаками + и — ) измеряемое напряжение U меняет свой знак, и можно записать:
Вычитая из первого уравнения второе, получим
Если U х < U о , тогда при различных направлениях знак измеряемого напряжения не изменяется и можно записать
Вычитая из первого уравнения второе, получим
2. ОПИСАНИЕ РАБОЧЕЙ УСТАНОВКИ
Установка состоит из трех основных частей: 1) – электромагнит со схемой питания; 2) – схема питания датчика Холла; 3) – измерительная часть для определения знака и величины ЭДС Холла.
3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА
1. Включить источник питания электромагнита 4.
2. Включить источник тока 3 через образец. Ток, протекающий через образец I = 35 мА.
3. Провести измерения холловской разности потенциалов, меняя величину тока I э, текущего через электромагнит с шагом примерно 0,02 А в интервале от 0,02 до 0,12 А. Величина тока электромагнита регулируется лабораторным автотрансформатором, включенным в цепь питания электромагнита и измеряется цифровым вольтметром РА1, работающим в режиме измерения силы тока.
Измерения холловской разности потенциалов при каждом установленном значении тока I , выполнять при двух направлениях тока (одному направлению соответствует значение напряжения , другому — ). Направление тока изменяется переключателем S 1, установленным на лицевой панели прибора. Результаты измерений и занести в таблицу.
Как вычисляется концентрация носителей тока
Расчет концентрации электронов и положения уровня Ферми в электронном полупроводнике
Для упрощения дальнейшего изложения воспользуемся приближенными методами анализа статистики электронов в полупроводнике. Предположим, что при комнатной температуре проводимость электронного полупроводника определяется, главным образом, электронами, образовавшимися при ионизации донорной примеси. Электроны в полупроводниках n — типа проводимости называют основными носителями заряда, а дырки — неосновными носителями заряда.
Каждый ионизированный атом донорной примеси (донор) можно рассматривать как примесный центр, захвативший дырку. Поэтому первое уравнение электронейтральности (2.3) для электронного полупроводника приобретает следующий вид:
где nn — концентрация свободных электронов в зоне проводимости полупроводника, м -3 ; — концентрац ия ио низированных доноров на примесных уровнях, м -3 .
Умножая левую и правую части уравнения (2.17) на значение nn и решая полученное уравнение относительно nn , получим выражение для закона действующих масс в электронном полупроводнике в виде , откуда следует, что концентрация электронов в полупроводнике n-типа проводимости определяется уравнением вида
Для определения концентрации электронов nn и концентрации положительных ионов в электронном полупроводнике применяется тот же метод, что и для расчета концентраций электронов и дырок в собственном полупроводнике, рассмотренный выше в разделе 2.2. В результате получим, что концентрация электронов в электронном полупроводнике рассчитывается по формуле, аналогичной (2.11):
Концентрация положительных ионов на примесных уровнях в электронном полупроводнике определяется по формуле, аналогичной (2.12):
где Nd — эффективная плотность состояний дырок на уровнях Wd донорной примеси, фактически представляющая концентрацию атомов донорной примеси, м -3 .
Подставив значения nn и из выражений (2.19) и ( 2.20) в уравнение (2.18) получим , что концентрация электронов в электронном полупроводнике рассчитывается по формуле
где D Wd= Wc-Wd — энерг ия ио низации донорного уровня.
Формула (2.21) справедлива при расчетах концентрации основных носителей заряда в электронных полупроводниках для ограниченного диапазона температур от 0 до 30. 70 К.
Это связано с тем, что при некоторой температуре Т s , называемой температурой истощения, все атомы донорной примеси ионизируются, и дальнейшее увеличение температуры не приводит к возрастанию концентрации основных носителей заряда (электронов). Однако при значительном нагреве электронного полупроводника до температуры Т i , называемой температурой появления собственной проводимости, концентрация электронов в зоне проводимости опять начинает расти, на этот раз вследствие тепловой генерации электронов из валентной зоны в зону проводимости.
Значение температуры истощения Т=Т s можно рассчитать из формулы (2.21) полагая, что nn=Nd . В результате логарифмирования и проведения соответствующих преобразований получим, что
Аналогичным образом можно оценить и температуру появления собственной проводимости Т=Т i , подставив в левую часть формулы (2.19) значение ni=Nd . Выполнив соответствующие преобразования, получим формулу для расчета значения Т i в виде
Полагая, что для кремния значения величин под знаком натурального логарифма в формуле (2.22) находятся в пределах 10 3 . 10 4 , в формуле (2.23) — в диапазоне 10 6 . 10 8 , получим для величины Тs значение около 50. 70 К , а для Тi — 700. 900 К, что примерно соответствует экспериментальным данным.
Температурная зависимость концентрации носителей заряда n , в полупроводнике n-типа, построенная в координатах ln n = f (1/T), представлена на рис. 2.3. Из рис . 2.3 видно, что при повышении температуры полупроводника до температуры истощения Тs электроны с примесных уровней переходят в зону проводимости. Область температур T Ts носит название области слабой ионизации.
При дальнейшем повышении температуры, вплоть до температуры появления собственной проводимости Т i , концентрация собственных носителей заряда будет оставаться постоянной до тех пор, пока не станет заметным возбуждение и переход электронов из валентной зоны в зону проводимости. Область температур Ts T Ti называется областью истощения (областью сильной ионизации), для которой характерна полн ая ио низация всех атомов, заселяющих донорные уровни в полупроводнике. Наконец, область температур T Ti характеризует область перехода к собственной проводимости.
Из рис . 2.3 следует также, что чем больше концентрация донорной примеси Nd , тем выше температуры Тi и Тs , при которых концентрации собственных носителей заряда n становятся сравнимыми с концентрацией электронов, появившихся в зоне проводимости за счет полной ионизации атомов донорной примеси, то есть выполнения условия n=Nd .
Для определения положения уровня Ферми в электронном полупроводнике воспользуемся очевидным равенством nn= , справедливым в диапазоне комнатных температур Т=300 К. Подставляя в это равенство значения nn и из выражений (2.19) и (2.20) и беря натуральные логарифмы от левой и правой частей, получим следующее выражение
Из этого выражения получаем, что значение энергии, соответствующей положению уровня Ферми WF в электронном полупроводнике, рассчитывается по формуле
График функции WF=f (T) представлен на рис. 2.4, из которого можно сделать следующие выводы.
При Т=0 уровень Ферми в электронном полупроводнике располагается посередине между дном зоны проводимости и уровнем донорной примеси, то есть WF=Wd+Wc )/2.
При возрастании температуры положение уровня Ферми WF постепенно начинает снижаться и при температуре истощения Т=Т s пересекает уровень донорной примеси Wd . Поскольку WF= Wd , то равенство (2.24) можно записать в виде lnNd=lnNc -( Wc— WF )/ kT , откуда следует, что
Подставляя в выражение (2.26) значение T=Т s из формулы (2.22) и учитывая, что D Wd=Wc-Wd , действительно получаем, что WF=Wd .
При температурах, больших температуры истощения Тs , положение уровня Ферми смещается вниз к середине запрещенной зоны, что свидетельствует о постепенном переходе от электронной к собственной проводимости полупроводника.
Для полупроводников n -типа в диапазоне температур области истощения Ts T Ti концентрация основных носителей (электронов), nn = Nd , а дырок ( неосновных носителей) согласно закону равновесия масс
Увеличение концентрации доноров, Nd , приводит не только к увеличению концентрации электронов, но и к снижению концентрации дырок, pn , из-за увеличения вероятности рекомбинации, скорость которой согласно (2.1) пропорциональна произведению концентраций электронов и дырок. Концентрация неосновных носителей обычно очень мала, но резко растет с температурой. Например, в кремнии при Т=300 К и Nd =10 22 м -3 значение pn =2·10 10 м -3 , а при увеличении Т на 100 К pn вырастает на 6 порядков и составит 2·10 16 м -3 . Несмотря на малые значения концентраций, неосновные носители влияют на важные параметры многих приборов (например, обратные токи в диодах).
Вычисление концентрации свободных носителей заряда (СНЗ) и определение положения уровня Ферми в собственных и примесных полупроводниках.
Фундаментальное значение для теории полупроводниковых приборов имеет аналитическая зависимость концентрации электронов и дырок в чистом полупроводниковом кристалле от температуры. В чистом полупроводнике концентрация электронов равна концентрации дырок, n i = p i . Квадрат концентрации пар определяется соотношением:
где, A — константа, не зависящая от температуры, T -температура образца, ε g — ширина запрещенной зоны,
K — постоянная Больцмана.
Число электронов проводимости, обладающих энергией в интервале ( ε , ε + d ε ) определяется формулой:
d n = N ( ε ) F ( ε ) d ε
N ( ε ) — плотность разрешенных состояний, F ( ε ) — вероятность того, что разрешенные уровень ε окажется занятым электроном проводимости.
1.У края энергетической зоны справедлива аппроксимация
2.Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией ε , определяется распределением Ферми-Дирака
3.Концентрация электронов в зоне проводимости равна
n = ∫ ε P ∞ γ ( ε − ε n ) 1 2 F ( ε ) ^<\infty>\gamma(\varepsilon-\varepsilon_n)^>F(\varepsilon)>
Вычисления можно упростить, если принять
a)Уровень Ферми лежит ниже дна зоны проводимости: ε F
b) ε P − ε F ≫ K T
В этом случае статистика Ферми-Дирака аппроксимируется статистикой Больцмана.
при такой аппроксимации
где N n = 2 ( 2 π m n ∗ K T h 2 C ) 3 2 C\right)^>> — эффективная плотность состояний в зоне проводимости.
аналогично для дырок
где N p = 2 ( 2 π m p ∗ K T h 2 C ) 3 2 C\right)^>> — эффективная плотность состояний в валентной зоне.
Найдем истинное положение уровня Ферми для чистого полупроводника из условия равенства концентраций электронов и дырок, приравнивая выражения (1) и (2) получаем.
Отличие эффективных масс носителей невелико m n ∗ ≈ m p ∗ , поэтому
Подставляя в (1),(2) формулу для уровня Ферми(3), перемножая концентрации , получаем
Получим выражения для концентраций в случае примесных полупроводников
I)с донорными примесями
Если N D ≫ n , n ≫ p
n n 0 ≈ N D , p n 0 ≈ n i 2 N D \approx N_D,~p_\approx \frac>
II)с акцепторными примесями
Если N A ≫ p , p ≫ n
p p 0 ≈ N A , n p 0 ≈ n i 2 N A \approx N_A,~n_\approx \frac>