Что такое импульсная характеристика цепи

3. Переходная и импульсная характеристики электрической цепи.

Переходная характеристика используется при расчете реакции линейной электрической цепи, когда на ее вход подается импульспроизвольной формы. При этом входной импульсаппроксимируют множеством ступенек и определяют реакцию цепи на каждую ступеньку, а затем находят интегральную цепи, как сумму реакций на каждую составляющую входного импульса.

Переходная характеристика или переходная функция цепи –это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равной реакции цепи на единичный скачок напряжения или тока на ее входе, при нулевых начальных условиях (рис. 13.11);

другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на функцию на входе.

Выражение переходной характеристики зависит только от внутренней структуры и значения параметров элементов цепи.

Из определения переходной характеристики цепи следует, что при входном воздействии реакция цепи(рис. 13.11).

Пример. Пусть цепь подключается к источнику постоянного напряжения . Тогда входное воздействие будет иметь вид, реакция цепи – , а переходная характеристика цепи по напряжению – . При.

Умножение реакции цепи на функциюилиозначает, что переходная функция при ипри, что отражаетпринцип причинности в линейных электрических цепях, т.е. отклик (на выходе цепи) не может появиться раньше момента приложения сигнала к входу цепи.

Виды переходной характеристик.

Различают следующие виды переходной характеристики:

(13.5)

– переходная характеристика цепи по напряжению;

– переходная характеристика цепи по току;

– переходное сопротивление цепи, Ом;

– переходная проводимость цепи, См,

где – уровни входного ступенчатого сигнала.

Переходную функцию для любого пассивного двухполюсника можно найти классическим или операторным методом.

Расчет переходной характеристики классическим методом. Пример.

Пример. Рассчитаем переходную характеристику по напряжению для цепи (рис. 13.12, а) с параметрами .

Решение

Воспользуемся результатом, полученном в п.11.4. Согласно выражению (11.20) напряжение на индуктивности

где .

Проведем масштабирование согласно выражению (13.5) и построение функции (рис. 13.12,б):

.

Расчет переходной характеристики операторным методом

Комплексная схема замещения исходной цепи примет вид на рис. 13.13.

Передаточная функция этой цепи по напряжению:

где .

При , т.е. при , изображение , а изображение напряжения на катушке .

В этом случае оригинал изображения есть переходная функция цепи по напряжению, т.е.

или в общем виде:

, (13.6)

т.е. переходная функция цепи равна обратному преобразованию Лапласа ее передаточной функции , умноженной на изображение единичного скачка .

В рассматриваемом примере (см. рис. 13.12) передаточная функция по напряжению:

,

где , а функция имеет вид .

Примечание. Если на вход цепи подано напряжение , то в формуле переходной функции время необходимо заменить на выражение . В рассмотренном примере запаздывающая передаточная функция по напряжению имеет вид:

. (13.7)

Выводы

Переходная характеристика введена, в основном, по двум причинам.

1. Единичное ступенчатое воздействие – скачкообразное, и потому довольно тяжелое для любой системы или цепи внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи именно при таком воздействии, т.е. переходную характеристику .

2. При известной переходной характеристике с помощью интеграла Дюамеля (см. далее пп.13.4, 13.5) можно определить реакцию системы или цепи при любой форме внешних воздействий.

3.2. Импульсная характеристика цепи

Импульсная (весовая) характеристика или импульсная функция цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равная реакции цепи на единичное импульсное воздействие на ее входе при нулевых начальных условиях (рис. 13.14); другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на дельта-функцию Дирана на ее входе.

Функцию можно определить, рассчитав переходную или передаточную функцию цепи.

Расчет функции с использованием переходной функции цепи. Пусть при входном воздействии реакцией линейной электрической цепи является . Тогда в силу линейности цепи при входном воздействии, равном производной , реакция цепи будет равна производной .

Как отмечалось, при , реакция цепи , а если , то реакция цепи будет , т.е. импульсная функция

.

Согласно свойству выборки произведение . Таким образом, импульсная функция цепи

. (13.8)

Если , то импульсная функция имеет вид

. (13.9)

Следовательно, размерность импульсной характеристики равна размерности переходной характеристики, поделенной на время.

Расчет функции с использованием передаточной функции цепи. Согласно выражению (13.6), при воздействии на вход функции , откликом функции будет переходная функция вида:

.

С другой стороны, известно, что изображение производной функции по времени , при , равно произведению .

Откуда ,

или , (13.10)

т.е. импульсная характеристика цепи равна обратному преобразованию Лапласа ее передаточной функции.

Пример. Найдем импульсную функцию цепи, схемы замещения которой представлены на рис. 13.12, а; 13.13.

Решение

Переходная и передаточная функции этой цепи били получены ранее:

Тогда, согласно выражению (13.8)

,

где .

График импульсной характеристики цепи представлен на рис. 13.15.

Выводы

Импульсная характеристика введена по тем же двум причинам, что и переходная характеристика .

1. Единичное импульсное воздействие – скачкообразное и потому довольно тяжелое для любой системы или цепи внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи именно при таком воздействии, т.е. импульсную характеристику .

2. При помощи некоторого видоизменения интеграла Дюамеля можно, зная вычислить реакцию системы или цепи на любое внешнее возмущение (см. далее пп. 13.4, 13.5).

4. Интеграл наложения (дюамеля).

Пусть произвольный пассивный двухполюсник (рис. 13.16, а) подключается к источнику непрерывно изменяющегося с момента напряжения(рис. 13.16,б).

Требуется найти ток (или напряжение) в любой ветви двухполюсника после замыкания ключа.

Задачу решим в два этапа. Сначала искомую величину найдем при включении двухполюсника на единичный скачок напряжения, который задается единичной ступенчатой функцией .

Известно, что реакцией цепи на единичный скачок является переходная характеристика (функция) .

Например, для – цепи переходная функция по току(см. п.2.1), для– цепи переходная функция по напряжению.

На втором этапе непрерывно изменяющееся напряжение заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками(см. рис. 13.16б). Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при постоянного напряжения, а затем как включение элементарных постоянных напряжений, смещенных относительно друг друга на интервалы времении имеющих знак плюс для возрастающей и минус для падающей ветви заданной кривой напряжения.

Составляющая искомого тока в момент от постоянного напряженияравна:

.

Составляющая искомого тока от элементарного скачка напряжения , включаемого в момент времениравна:

.

Здесь аргументом переходной функции является время , поскольку элементарный скачок напряженияначинает действовать на времяпозднее замыкания ключа или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментомначала действия этого скачка и моментом времениравен.

Элементарный скачок напряжения

,

где – масштабный коэффициент.

Поэтому искомая составляющая тока

.

Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от до момента, для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при, и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения, получаем:

.

Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения

(13.11)

называется интегралом наложения (суперпозиции) или интегралом Дюамеля (первой формой записи этого интеграла).

Аналогично решается задача при подключении цепи и источнику тока. Согласно этому интегралу реакция цепи, в общем виде, в некоторый моментпосле начала воздействияопределяется всей той частью воздействия, которая имела место до момента времени.

Заменой переменных и интегрированием по частям можно получить другие формы записи интеграла Дюамеля, эквивалентные выражению (13.11):

Выбор формы записи интеграла Дюамеля определяется удобством расчета. Например, в случае, если выражается экспоненциальной функцией, удобной оказывается формула (13.13) или (13.14), что обуславливается простотой дифференцирования экспоненциальной функции.

При илиудобно применять форму записи, в которой слагаемое перед интегралом обращается в нуль.

Произвольное воздействие может быть представлено также в виде суммы последовательно включаемых импульсов, как это изображено на рис. 13.17.

При бесконечно малой длительности импульсов получим формулы интеграла Дюамеля, аналогичные (13.13) и (13.14).

Эти же формулы можно получить из соотношений (13.13) и (13.14), заменив а них производную функцию импульсной функцией.

Вывод.

Таким образом, на основе формул интеграла Дюамеля (13.11) – (13.16) и временных характеристик цепи имогут быть определены временные функции откликов цепина произвольные воздействия.

3.1.5 Связь между передаточными характеристиками цепи

Итак, линейная цепь характеризуется такими передаточными характеристиками, как импульсная h(t) (реакция на d -импульс), частотная (реакция на e j w t ) и операторная (реакция на e pt ) H(p) функциями. Определим связь между ними.

Пусть на вход линейной цепи подается d -функция. Ее спектральная плотность на всей частотной оси равна

Следовательно, все составляющие спектра входного d -импульса, проходя через цепь, передаются с коэффициентом, равным частотной передаточной характеристике для каждой частоты . Таким образом, можно констатировать, что импульсная характеристика h(t) является обратным преобразованием Фурье от частотной передаточной характеристики , а является прямым преобразованием Фурье от h(t), т.е.

Сравнивая выражения 2 и 2′ (разделы 3.1.2 и 3.1.4) видим, что частотная передаточная характеристика образуется из операторной характеристики цепи заменой комплексной частоты p= s +j w на частоту j w , где w — действительная частота. Отсюда следует, что h(t) и H(p) связаны парой преобразований Лапласа, т.е. .

Поскольку свойства операторной функции и ее оригинала (импульсной характеристики) зависят от положения нулей и полюсов H(p), то часто строят так называемую карту нулей и полюсов операторной характеристики. Нулям соответствуют минимумы частотной характеристики, полюсам — максимумы. Полюса на действительной оси p_k= a _k характеризуют экспоненты в импульсной характеристике вида е — a _k t , а комплексные полюса p_k= a _k+j w _k характеризуют затухающий колебательный процесс вида е — a _k t cos w _kt (рис. 3).

Таким образом, все передаточные характеристики цепи связаны друг с другом, поэтому их часто называют системными передаточными характеристиками.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004

Что такое импульсная характеристика цепи

Тема 8. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

8.1. Переходные и импульсные характеристики
электрических цепей

В основе временного метода лежит понятие переходной и им­пульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции (7.19). Обозначается переходная характеристика цепи g ( t ). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воз­действие единичной импульсной функции ( d -функции) (7.21). Обо­значается импульсная характеристика h ( t ). Причем, g ( t ) и h ( t ) определяются при нулевых начальных условиях в цепи * . В зави­симости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмер­ными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Использование понятий переходной и импульсной характери­стик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непе­риодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1( t ) или импульс­ной функции d ( t ), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи нахо­дится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1( t ) или d ( t ).

Между переходной g ( t ) и импульсной h ( t ) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций вели­чины 1/ t , сдвинутых друг относительно друга на время t (см. рис. 7.4):

т. е. единичная импульсная функция рав­на производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение (8.1) сохраня­ется и для импульсных и переходных реак­ций цепи

т. е. импульсная характеристика является производной от переход­ной характеристики цепи.

Уравнение (8.2) справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нуле­вые начальны е условия для цепи). Если же g (0) ¹ 0, то предста­вив g ( t ) в виде g ( t ) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:

Для нахождения переходных и им­пуль­сных характеристик цепи можно использо­вать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода сос­то­ит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1( t ) или импульсной d ( t ) функ­ции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g ( t ), а импульсную характеристику h ( t ) находить с помощью уравнений связи (8.2), (8.3) или операторным мето­дом.

Пример. Найдем классическим методом переходную характеристику по напряжению для цепи, изображенной на рис. 8.1. Численно g _u ( t ) для данной цепи совпадает с напряжением на емкости при подключении ее в момент t = 0 к источ­нику напряжения U ₁ = l В:

Закон изменения напряжения u _C ( t ) определяется уравнением (6.27), где не­обходимо положить U = l В:

При нахождении характеристик g ( t ) и h ( t ) операторным мето­дом пользуются изображениями функций 1( t ), d ( t ) и методикой расчета переходных процессов, изложенных в гл. 7.

Пример. Определим операторным методом переходную характеристику g _u ( t ) R С-цепи (см. рис. 8.1). Для данной цепи в соответствии с законом Ома в опера­торной форме (7.35) можем записать:

Отсюда по теореме разложения (7.31) находим

т. е. то же значение, что и полученное классическим методом.

Следует отметить, что величина I (р) в уравнении (8.4) численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изо­бражение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи

Например, для R С-цепи (см. рис. 8.1) имеем:

Применив к Y ( p ) теорему разложения (7.30), получим:

Следует отметить, что формула (8.5) определяет свободную составляющую реакции цепи при единичном импульсном воздей­ствии. В общем случае в реакции цепи, кроме экспоненциальных составляющих свободного режима при t > 0 присутствует импульс­ное слагаемое, отображающее воздействие при t = 0 единичного импульса. Действительно, если учесть, что для R С-контура (см. рис. 8.1) переходная характеристика по току при U = 1( t ) согласно (6.28) будет

то после дифференцирования (8.6) согласно (8.2) получаем импульсную характеристику R С-цепи h _i ( t ) в виде

т. е. реакция h _i ( t ) содержит два слагаемых — импульсное и экспо­ненциальное.

Физический смысл первого слагаемого в (8.7) означает, что при t = 0 в результате воздействия на цепь импульсного напряжения

d ( t ) зарядный ток мгновенно достигает бесконечно боль­шого значения, при этом за время от 0_– до 0 ₊ элементу емкости передается конечный заряд и она скачком заряжается до напря­жения I / RC . Второе слагаемое определяет свободный процесс в цепи при t > 0 и обусловлено разрядом конденсатора через короткозамкнутый вход (так как при t > 0 d ( t ) = 0, что равносильно КЗ входа) с постоянной времени t = RC . Из этого следует, что при d ( t )-импульсном воздействии на R С-цепь нарушается непрерыв­ность заряда на емкости (второй закон коммутации). Аналогично нарушается и условие непрерывности тока в индуктивности (пер­вый закон коммутации), если к цепи, содержащей элемент индук­тивности воздействовать напряжением в виде d ( t ).

В табл. 8.1 сведены значения переходной и импульсных харак­теристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.

8.2. Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимиро­вать приложенное воздействие f ₁ ( t ) с помощью единичных функ­ций, сдвинутых относительно друг друга на время D t (рис. 8.2).

Реакция цепи на каждое ступенчатое воздействие определится как

Результирующая реакция цепи на систему ступенчатых воздей­ствий найдется, исходя из принципа наложения:

где п — число аппроксимирующих участков, на которые разбит ин­тервал 0 . t . Домножив и разделив выражение, стоящее под зна­ком суммы, на Dt и перейдя к пределу с учетом того получим одну из форм интеграла Дюамеля:

Уравнение (8.8) отражает реакцию цепи на заданное воздействие, поскольку аппроксимирующая функция стремится к ис­ходной.

Вторая форма интеграла Дюамеля может быть получена с по­мощью теоремы свертки (см. § 7.1):

Наконец, интегрируя по частям выражения, стоящие в уравне­ниях (8.8) и (8.9), получаем третью и четвертую формы интеграла Дюамеля:

Применение той или иной формы интеграла Дюамеля диктуется удобством и простотой вычисления подынтегральных выражений.

Пример. Запишем реакцию цепи (см. рис. 8.1) на напряжение, изображенное на рис. 8.3 с помощью интеграла Дюамеля (8.8). Переходная характеристика дан­ной цепи имеет вид .

После нахождения переходной функции определяем число участков интегри­рования, где функция непрерывна и дифференцируема. Определяем значение на этих участках. Для рассматриваемого воздействия таких участков будет три: , , . Необходимость включения третьего участка объясняется тем обстоятельством, что несмотря на прекращение входного воз­действия в силу переходных процессов (см. гл. 6) в цепи будет наблюдаться ос­таточная реакция. Для каждого из выделенных участков запишем уравнение (8.8) с учетом реакций предыдущих участков:

В случае, когда воздействие прикладывается к активной цепи (рис. 8.4, а), расчет переходных процессов можно вести методом наложения. При этом вначале расчет ведется с помощью интеграла Дюамеля для пассивной цепи (рис. 8.4, б), затем определяется клас­сическим или операторным методом реакция цепи при включении рассматриваемой ветви к активному двухполюснику (рис. 8.4, в). Результирующая реакция находится как сумма реакций: .

8.3. Интеграл наложения

При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложе­ния используется импульсная характеристика цепи h ( t ). Для по­лучения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f ₁( t ) с помощью системы единичных импульсов длительности d t , амплитуды f ₁ ( t ) и площади f ₁ ( t ) d t (рис. 8.5). Выходная реакция цепи на каждый из единичных импульсов

Используя принцип наложения, нетрудно по лучить суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов:

Интеграл (8.12) носит название интеграла наложения * . Между интегралами наложения и Дюамеля существует простая связь, определяемая связью (8.3) между импульсной h ( t ) и переход­ной g ( t ) характеристиками цепи. Подставив, например, значе­ние h ( t ) из (8.3) в формулу (8.12) с учетом фильтрующего свой­ства d -функции (7.23), получим интеграл Дюамеля в форме (8.11).

Пример. На вход R С-цепи (см. рис. 8.1) подается скачок напряжения U ₁. Оп­ределить реакцию цепи на выходе с использованием интегралов наложения (8.12) и Дюамеля (8.11).

Импульсная характеристика данной цепи равна (см. табл. 8.1): h _u (t) = = (1 / R C) e – t / RC . Тогда, подставляя h _u ( t – t ) = (1 / R C ) e –( t – t ) / RC в формулу (8.12), по­лучаем:

Аналогично результат получаем при использовании переходной функции данной цепи и интеграла Дюамеля (8.11):

Если начало воздействия не совпадает с началом отсчета вре­мени, то интеграл (8.12) принимает вид

Интегралы наложения (8.12) и (8.13) представляют собой свертку входного сигнала с импульсной характеристикой цепи и широко применяются в теории электрических цепей и теории пере­дачи сигналов. Ее физический смысл заключается в том, что вход ной сигнал f ₁ ( t ) как бы взвешивается с помощью функции h ( t — t ): чем медленнее убывает со временем h ( t ), тем большее влияние на выходной сигнал оказывает более удаленные от момента наблю­дения значение входного воздействия.

На рис. 8.6, а показан сигнал f ₁ ( t ) и импульсная характери­стика h ( t — t ), являющаяся зеркальным отображением h ( t ), а на рис. 8.6, б приведена свертка сигнала f ₁ ( t ) с функцией h ( t — t ) (за­штрихованная часть), численно равная реакции цепи в момент t.

Из рис. 8.6 видно, что отклик на выходе цепи не может быть короче суммарной длительности сигнала t ₁ и импульсной харак­теристики t_h . Таким образом, для того чтобы выходной сигнал не искажался импульсная характеристика цепи должна стремиться к d -функции.

Очевидно также, что в физически реализуемой цепи реакция не может возникнуть раньше воздействия. А это означает, что им­пульсная характеристика физически реализуемой цепи должна удовлетворять условию

Для физически реализуемой устойчивой цепи кроме того должно выполняться условие абсолютной интегрируемости импульсной характеристики:

Если входное воздействие имеет сложную форму или задается графически, то для вычисления реакции цепи вместо интеграла свертки (8.12) применяют графоаналитические способы.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дать определения переходной и импульсной характеристик цепи.

2. Указать связь между импульсной и переходной характеристиками.

3. Как определить переходную и импульсную характеристику цепи?

4. В чем отличие переходных характеристик , объяснить их физический смысл.

5. Как определить, какую из четырех разновидностей переходных или импульсных характеристик необходимо применить в каждом конкретном случае при расчете реакции цепи?

6. В чем заключается сущность расчета переходных процессов с использованием g ( t ) и h ( t )?

7. Как определить реакцию цепи, если воздействие имеет сложную форму?

8. Каким условиям должна удовлетворять цепь при использовании интеграла Дюамеля?

9. Приведите другую форму интеграла наложения, отличную от (8.12).

10. Расчет реакции цепи с использованием интегралов Дюамеля и наложения приводит к одинаковым результатам или разным?

11. Определить переходную проводимость цепи, образованной сопротивлением и индуктивностью, включенными последовательно.

12. Определить цепи, образованной сопротивлением и емкостью, включенными последовательно.

13. Получить третью форму интеграла Дюамеля (8.10) из уравнения свертки (8.10).

* Импульсные и переходные характеристики цепей относятся к так называе­мым нормированным временным характеристикам, поскольку они рассматри­ваются по отношению к единичной площади импульсного воздействия или еди­ничного скачка.

* Уравнения (8.12) могут быть получены и непосредственно путем примене­ния теоремы свертки (см. § 7.1) к изображению f ₁( t ) и h ( t ).