Как связаны радиус кривизны и фокусное расстояние

1.3. Определение радиуса кривизны и показателя преломления линзы

Изучение геометрических характеристик линзы и ознакомление с одним из методов определения радиуса кривизны и показателя преломления линзы.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Линзой называется прозрачное тело, ограниченное сферическими поверхностями (одна из поверхностей может быть плоской).

Линзы бывают двояковыпуклые, двояковогнутые, плоско-выпуклые, плоско-вогнутые, выпукло-вогнутые, вогнуто-выпуклые.

Выпукло-вогнутые и вогнуто-выпуклые линзы называют менисковыми. Их используют, в частности, в очках.

Линзы изготавливают из различных материалов  стекла и пластика для видимого излучения, кварца  для ультрафиолетового, каменной соли (или сильвинии)  для инфракрасного.

Формула линзы связывает фокусное расстояние F с расстоянием от оптического центра линзы до предмета d и до изображения f:

Фокусное расстояние F подставляется в эту формулу со знаком «+», если линза собирающая, и со знаком «», если линза рассеивающая.

Расстояние до изображения f подставляется со знаком «+», если изображение действительное, и со знаком «», если оно мнимое.

Величина называется оптической силой и измеряется в диоптриях (дптр).

Оптическая сила линзы связана с ее геометрическими характеристиками формулой:

где n_л и n_о  показатели преломления линзы и окружающей среды; R₁ и R₂  радиусы кривизны поверхностей линзы, которые подставляются со знаком «+» в случае выпуклой поверхности и со знаком «» в случае вогнутой поверхности.

Если в формуле (2) получается Ф  0, то линза собирающая, Ф  0  рассеивающая. Это связано со знаками обеих скобок в правой части. Например, при R₁  0, R₂  0 (двояковыпуклая линза) получим собирающую линзу, если n_л  n_о (например, стеклянная линза в воздухе) и рассеивающую, если n_л  n_о (например, воздушная линза в стекле). В другом случае может быть n_л  n_о (воздушная линза в стекле), но R₁  0, R₂  0, то есть поверхности линзы вогнутые. Тогда каждая скобка будет иметь знак «» , а их произведение даст «+», и линза будет собирающей.

Поперечное увеличение линзы , (3)

где y₁ и y₂  расстояния соответственно светящейся точки и ее изображения до главной оптической оси линзы.

Собирающая линза может использоваться в качестве лупы. В этом случае ее увеличение равно ,

где D  это расстояние наилучшего зрения; для нормального глаза D = 25 см  один из стандартов для создания оптических приборов, вооружающих глаз; F  фокусное расстояние лупы.

К важнейшим оптическим приборам, изготовленным из линз, относятся микроскоп и телескоп.

где   расстояние между фокусами объектива и окуляра, называемое длиной тубуса микроскопа; D  расстояние наилучшего зрения; F_об и F_ок  фокусные расстояния объектива и окуляра, причем в микроскопе F_об F_ок.

Увеличение телескопа , (5)

где F_об и F_ок — фокусные расстояния объектива и окуляра, причем в телескопе F_об F_ок.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

В данной работе на установке с линзой 3 (рис. 1) определяют расстояние f от линзы до действительного изображения нити лампочки и по формуле (1) определяют фокусное расстояние плоско-выпуклой линзы.

г де d = 691 мм для данной установки. Расстояние f измеряют по шкале 6, передвигая экран 7 и добиваясь на нем резкого изображения нити лампочки 1.

Из формулы (2) получаем для плоско-выпуклой линзы

где n = n_л — показатель преломления линзы;

n_о = n_возд  1 — показатель преломления воздуха;

R₁= R — радиус выпуклой поверхности линзы;

R₂ =  — радиус плоской поверхности линзы.

Из формулы (7) получаем показатель преломления:

Радиус кривизны R линзы можно измерить с помощью индикатора 2 (рис.1). Если представить сечение линзы в виде сегмента круга (рис.2), то по теореме Пифагора получим:

где а  хорда, h  стрела сегмента.

После преобразований получаем значение радиуса:

П ередвигая индикатор в горизонтальном направлении, измеряют по шкале 4 длину хорды а, записывая соответствующую стрелу сегмента h по показаниям индикатора. Вычислив по формуле (9) радиус кривизны R, а по формуле (6) фокусное расстояние линзы, можно определить показатель преломления линзы по формуле (8).

Схема установки приведена на рис.1. Передвигая руками стойку с индикатором 2, можно записать показания по шкале 4 (половина хорды а/2) и соответствующие показания индикатора — стрелу сегмента h. Целое число миллиметров на индикаторе показывает маленькая стрелка, а десятые и сотые доли — большая.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. Следите за тем, чтобы оптические поверхности линзы оставались чистыми — нельзя касаться их пальцами или предметами. Индикатор — точный прибор и все манипуляции с ним необходимо выполнять плавно, без рывков. Наконечник сделан из фторопласта для уменьшения трения. При всех передвижениях руками стойки с индикатором нужно учесть, что стойка должна быть всегда прижата к основанию. В противном случае показания индикатора будут неточными.

1. Установка нуля. Получите индикатор и установите его на место. Для этого необходимо передвинуть руками стойку индикатора и установить указатель шкалы 4 на ноль при вертикальном положении ножки. Вставьте ножку индикатора в паз, слегка прижмите ее стопорным винтом и передвижением вверх и вниз самого индикатора добейтесь нулевого показания малой и большой стрелок. При этом большая стрелка должна быть близка к вертикальному положению. Закрепив индикатор в таком положении, необходимо найти наивысшую точку линзы. Для этого передвигайте стойку на 1 — 2 см влево и вправо и по стрелке индикатора найдите вершину сферической поверхности линзы. При этом нужно учесть, что вблизи вершины есть мертвая зона протяженностью около 2-х мм, в пределах которой стрелка неподвижна — стойку нужно установить посередине этой зоны. Установив стойку, подведите шкалу 4 кремальерой 5 точно на ноль и в дальнейшем кремальеру 5 не трогайте. Если при этом большая стрелка индикатора отклонилась от вертикали, вновь установите индикатор должным образом и закрепите его. Далее вращением внешнего кольца индикатора совместите ноль круговой шкалы с положением большой стрелки. Учитывая то, что точность установки нуля определяет точность дальнейших измерений, еще раз или два повторите манипуляции пункта 1 с тем, чтобы ноль шкалы 4 совпадал с нулем индикатора и это соответствовало вершине сферической поверхности линзы.

Показания шкалы 4 (мм) (половина хорды)

Хорда а (мм)

Стрела сегмента (мм)

Радиус кривизны линзы R (мм)

Определить фокусное расстояние выпуклого сферического зеркала (4 марта 2012 года)

Определить фокусное расстояние выпуклого сферического зеркала, которое представляет собой тонкую симметричную двояковыпуклую линзу с посеребренной вогнутой поверхностью. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы равен R₁ = 50 см.

Задачу дала учительница МОУ СОШ № 58 г. Ярославль. Как сказала, для расширения кругозора. Учусь в 11 классе, базовом.

версия для печати
Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

Если предположить такую сложную конструкцию, как зеркало, а на нем еще и линза, то оптическая сила системы будет равна сумме оптических сил зеркала и линзы. За счет посеребренной стороны свет отразится и дважды пройдет линзу, что изменит ее оптическую силу в два раза.

Если рассматривать только линзу с посеребренной поверхностью, что предполагается в условии задачи, то свет пройдет два раза линзу и оптическая сила линзы увеличится в 2 раза:

D = 1 / F = 2 • 2(n − 1) / R₁,

Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии

подскажите пожайлуста формулу, которая связывает радиус кривизны линзы и фокусное расстояние. P.S. линза-плосковыпуклая

1/F =(n-1)*(1/R1 +1/R2)
рАДИУСЫ подставлять с учётом направления:
— для двояковыпуклой линзы оба радиуса с плюсом,
-для двояковогнутой — оба радиуса с минусом.
— если с одной стороны линза плоская — подставляем для этой стороны R=бесконечность (а дробь=0). Второй радиус берём с плюсом (ВАШ СЛУЧАЙ) .
——————
Чем меньше радиусы кривизны И БОЛЬШЕ ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СТЕКЛА (относительно воздуха) — тем сильне линза (меньше её F)
============
кОЛЛЕГА УКАЗАЛ r/2 — это для вогнутого зеркала (лучи отражаются и фокусируются).

Остальные ответы

Кажется, F=R/2

Для тонкой линзы F=R*(n/(2(n-1))

3. Связь фокусного расстояния с показателем преломления стекла и радиусами кривизны линзы. Оптическая сила линзы.

где N = n/n₁— показатель преломления материала линзы относительно окружающей среды (относительный показатель преломления). Формула (2.14) является формулой тонкой линзы и верна как для выпуклых, так и для вогнутых линз при произвольном расположении точки М. При a₁ = — ∞ получим

Как видно, fi = —f ₂, т.е. фокусные расстояния линзы, окруженной с обеих сторон одинаковой средой, равны. Знак минус показывает, что фокусы расположены по разные стороны от линзы.

Исходя из выражений (2.14) и (2.16), формулу линзы можно -написать в более простом виде:

Применяя эту формулу для разных случаев, можно получить из нее конкретные результаты. При работе с формулами (2.14) и (2.17) не следует забывать, что величины справа от линзы положительные, слева — отрицательные.

Величина, обратная главному фокусному расстоянию f‘ пространства изображений, взятая с противоположным знаком, т. е. -1/f‘, называется оптической силой системы. Оптическая сила измеряется диоптриями. Диоптрия есть оптическая сила такой системы, фокусное расстояние |f’| которой равно одному метру. Для собирательных тонких линз оптическая сила положительна, для рассеивающих отрицательна.

4. Поперечное увеличение линзы

Отношение у’/у называется поперечным увеличением, или просто увеличением системы.. Согласно формулам или, оно не зависит от у и z. Отсюда следует, что изображение плоского предмета, перпендикулярного к главной оптической оси, подобно самому предмету. Если увеличение положительное, то изображение прямое. В противоположном случае изображение обратное.

5. Фокусное расстояние центрированной системы двух тонких сферических линз.

Определим оптическую силу сложной системы, зная оптические силы составляющих систем и их взаимное расположение. Будем предполагать, что показатели преломления всех пространств предметов и изображений одинаковы. Обозначим через l₁₂ расстояние H’₁H₂ передней главной плоскости H₂ второй системы от задней главной плоскости Н’₁ первой системы. Оптический интервал между рассматриваемыми системами будет

Δ = F’₁F₂ = F’₁H’₁+ H’₁Н₂ + H₂F₂ = f’₁ +l₁₂ – f₂ = f’₁ +l₁₂ – f’₂.

Подставляя это значение в формулу (12.3), получим

В частности, когда задняя главная плоскость первой системы совпадает с передней главной плоскостью второй системы,

т. е. оптическая сила сложной системы равна сумме оптических сил составляющих систем. Это имеет место, например, для двух тонких линз, прижатых вплотную одна к другой.

6. Аберрации линз.

П ри построении изображения малого предмета в тонкой линзе мы пользовались параксиальным пучком света. Кроме того, лучи параксиального пучка составляли небольшие углы с главной оптической осью. Далее, падающий свет считали монохроматическим, а показатель преломления материала линзы — не зависящим от длины волны падающего света. На практике все эти условия не соблюдаются и возникают соответствующие недостатки оптических систем. Коротко остановимся на некоторых из них.

С ферическая аберрация. В случае тонкой линзы параксиальный пучок, исходящий из точки S, после преломления в линзе пересекает оптическую ось в одной точке. Если же пучок света, исходящий из источника S, составляет большой угол с главной оптической осью, то лучи, составляющие разные углы, пересекают оптическую ось не в одной точке, а в разных точках, например точки s₁, s₂, s₃ на рис. 2.8. Лучи, более удаленные от центра линзы, сильнее преломляются и пересекают главную оптическую ось на сравнительно близких расстояниях от центра линзы. Если экран Э, расположенный перпендикулярно главной оптической оси, передвигать влево от s₁ к s₂, то вместо стигматического точечного изображения получается расплывчатое пятно. Такая погрешность, связанная со сферичностью преломляющих поверхностей, называется сферической аберрацией. Для количественной характеристики сферической аберрации вводится понятие продольной аберрации, равной линейному расстоянию точки пересечения крайних (лучи 3 на рис. 2. 8) и центральных (лучи 1) лучей пучка с главной оптической осью (S₃S₁). Линейная аберрация зависит от материала линзы, от кривизны поверхностей. Продольные аберрации собирательной и рассеивающей линз противоположны по знаку. Это позволяет, комбинируя такие линзы, уменьшить сферическую аберрацию.

Хроматическая аберрация. Из-за явления дисперсии (зависимость показателя преломления от длины волны) для данной линзы фокусы для разных цветов будут смещены друг относительно друга (на рис. 2.9 показаны фокус F_ф для фиолетовых и фокус F_к_p для красных лучей). В результате этого изображение белого пятна получается цветным. Чередование цветов зависит от положения экрана наблюдения, а соответствующее искажение носит название хроматической аберрации. Хроматическая аберрация, подобно сферической, количественно характеризуется продольной хроматической аберрацией (F_фF_кр). Для сведения по возможности к минимуму хроматической аберрации пользуются комбинацией линз, изготовленных из специально подобранных материалов. Такая система называется — ахроматической. Ахроматические системы, безусловно, не могут полностью устранить хроматическую аберрацию. Самая простая ахроматическая система состоит из выпуклой линзы, изготовленной из кронгласа (легкого сорта стекла) и приклеенной к двояковыпуклой линзе из флинтгласа (тяжелого сорта стекла). Прибавление рассеивающей линзы к системе приводит к увеличению ее фокусного расстояния. Однако такое увеличение фокусного расстояния зависит от длины волны, причем фокусное расстояние для фиолетового света увеличивается больше, чем фокусное расстояние для красного света. Обычно при изготовлении ахроматической системы расчет производится так, чтобы фокусы для двух и более длин волн совпали. В случае визуального наблюдения добиваются совпадения фокусов для длин волн λ = 6563 А (красный) и λ = 4861 А (голубой). При фотографировании ахроматическая система подбирается так, чтобы совпали фокусы для длин волн λ = 4341 А и λ = 5893 А. Такой выбор длин волн обусловлен тем, что самое сильное воздействие на фотопластинки оказывают именно эти цвета.

Дисторсия изображения. В случае, когда лучи, участвующие в построении изображения, образуют достаточно большие углы с главной оптической осью, увеличение системы зависит от угла между пучком и главной оптической осью. В этом случае изображение не является подобным предмету. Это обусловлено тем, что отношение тангенсов углов поля зрения и поля изображения не является постоянной величиной для точек по всему полю изображения. Поэтому н апример, предмет в виде правильного квадрата изображается в искаженном виде — в виде подушки, бочки или еще более сложной фигуры. Недостатки такого рода называются дисторсией. Соответствующий подбор составленных ч астей оптической системы позволяет сделать исправление на дисторсию. Оптическая система, свободная от дисторсии, называется ортоскопической.

Кома. Кривизна поверхности оптических систем кроме сферической аберрации вызывает также и другую погрешность — кому (рис. 2.10). Лучи, идущие от точечного объекта, лежащего вне оптической оси системы, образуют в плоскости изображения в двух взаимно перпендикулярных направлениях сложное несимметричное пятно рассеяния, напоминающее по виду комету с хвостом. Поэтому подобная аберрация во внеосевых пучках была названа комой. На рис. 2.10 представлено несимметричное пятно рассеяния в так называемой сагиттальной (перпендикулярной к оптической оси) плоскости. Кома обусловлена, как выше отметили, как сферичностью поверхности, так и удаленностью точки от оси, в результате чего построение изображения производится внеосевыми (наклонными) пучками. Действительно, при той же сферической поверхности в осевом пучке, вверх и вниз от оптической оси, существует полная симметрия в отношении преломления. В случае же наклонного пучка ввиду полного отсутствия подобной симметрии верхние и нижние части преломляются по-разному и в итоге получают различные погрешности.

Кома является одной из наиболее существенных аберраций. Поэтому, подбирая соответствующие совокупности частей оптической системы, нужно свести ее к минимуму. У системы с исправленной сферической аберрацией кома отсутствует, если для нее удовлетворено условие синусов Аббе. Если в оптической системе полностью устранены кома и сферическая аберрация для всего отверстия и всех наклонов лучей, то монохроматический свет в данной системе образует идеальное изображение, лишенное всех недостатков.

Астигматизм наклонных пучков. Астигматизм наклонных пучков (рис. 2.12) заключается в том, что лучи одного и того же пучка, исходящие из точки и идущие в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, после преломления в оптической системе, теряя гомоцентричность, не собираются в одну точку, а образуют две точки схода. Представим себе пучок лучей, исходящий из точки А и падающий на оптическую систему под углом к ее оси. Рассмотрим лучи, как бы выделенные крестообразной узкой диафрагмой, кресты которой направлены по меридиональной и сагиттальной плоскостям. Из такой диафрагмы выйдет плоская ленточка лучей, расположенных (при соответствующей ориентации крестов диафрагмы) в меридиональной и сагиттальной плоскостях. Эти ленточки лучей из-за различия кривизны по двум взаимно перпендикулярным направлениям преломляются по-разному, и в результате изображением точки А являются две линии на двух взаимно перпендикулярных фокальных плоскостях. Линия A_SA_S образуется в результате преломления сагиттальных лучей и ориентирована в меридиональной плоскости, а линия А_тА_т образуется при преломлении меридиональных лучей и ориентирована в перпендикулярной плоскости (рис. 2.12). Эти две фокальные плоскости расположены на разных расстояниях от главной плоскости системы. Если изображением точки А в плоскости / служит линия А_тА_т, а в плоскости /// — линия A_SA_S, перпендикулярная линии А_тА_т, то это изображение при перемещении от плоскости / к плоскости /// превращается в фигуры рассеяния в виде эллипсов различного эксцентриситета. Фигура рассеяния только в одной плоскости, расположенной посередине между плоскостями / и ///, имеет вид круга (//).

Следовательно, и в случае астигматизма наклонных пучков изображение точки имеет вид пятна рассеяния, форма которого, как следует из вышеизложенного, зависит от положения экрана наблюдения.

Астигматизм оптической системы может быть исправлен путем подходящего подбора радиусов кривизны преломляющих поверхностей и их фокусных расстояний. Оптическая система, свободная от астигматизма, называется анастигматом.

Исправление всех недостатков оптической системы одновременно практически невозможно. В каждом конкретном приборе устраняется тот или иной недостаток в зависимости от предназначения данного прибора.