Что называется устойчивостью системы автоматического регулирования сар
Главная Автоматическое регулирование двигателей Устойчивость систем автоматического регулирования Устойчивость систем автоматического регулирования
Устойчивостью систем автоматического регулирования называют их способность поддерживать заданный регулируемый режим работы системы с определенной точностью и восстанавливать его в случае нарушения. Таким образом, об устойчивости системы регулирования можно судить по характеру свободного переходного процесса.
Система двигатель—регулятор является устойчивой, если появившееся при переходном процессе в результате случайного возмущающего воздействия отклонение ? регулируемого параметра от положения равновесия (? = 0) с течением времени стремится к значению, меньшему любого заданного. Из сказанного следует, что в устойчивой системе должны быть только сходящиеся переходные. процессы, и наоборот, неустойчивая система характеризуется наличием расходящегося (или несходящегося) переходного процесса в тех же условиях.
Следовательно, двигатель, оборудованный автоматическим регулятором, будет работать устойчиво только в том случае, если все корни характеристического уравнения (722) или (724) являются отрицательными действительными или комплексными сопряженными с отрицательной действительной частью. Наличие хотя бы одного положительного корня или положительной действительной части одной из пар комплексных сопряженных корней делает исследуемую систему регулирования двигателя неустойчивой.
Рассматривая действительные корни характеристического уравнения (724) в качестве частного случая комплексных сопряженных корней, все корни уравнения можно расположить на комплексной плоскости (рис. 250) с мнимой осью ординат и действительной осью абсцисс. В этом случае каждому корню на выбранной координатной плоскости соответствует вполне определенная точка, а сам корень изображается в виде вектора, длина которого является модулем комплексного числа, а угол наклона, отсчитанный от положительного направления действительной оси, — аргументом (или фазой).
Система автоматического регулирования устойчива только в том случае, если все точки, соответствующие корням характеристического уравнения, находятся в левой полуплоскости расположения корней (заштриховано).
К эксплуатации могут быть пригодны только те двигатели, системы автоматического регулирования которых являются устойчивыми на всех рабочих режимах, поэтому оценка системы на устойчивость является одной из первостепенных задач.
Устойчивость системы автоматического регулирования, оцененная с помощью линейных дифференциальных уравнений, называется устойчивостью в малом. При этом не рассматриваются границы отклонения параметров, и в частности регулируемого параметра ? от положения равновесия, а ставятся лишь условия достаточной малости этих отклонений.
Отказ от линеаризации характеристик приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям.
Устойчивость системы регулирования без ограничения отклонений параметров получают, как правило, в результате исследования нелинейных дифференциальных уравнений. Такая устойчивость называется устойчивостью в большом.
Специальными исследованиями установлено, что по полностью линеаризованным уравнениям двигателя и регулятора можно не только правильно оценить устойчивость системы регулирования, но и в определенном (довольно большом) диапазоне отклонений параметров построить переходные процессы, хорошо согласующиеся с переходными процессами, полученными экспериментальным путем. Это свидетельствует о достаточной достоверности результатов анализа в малом и о практической их ценности. Однако необходимо отметить, что возможны случаи, когда система автоматического регулирования, устойчивая в малом, будет неустойчивой в большом.
- Условие сходимости переходных процессов
- Критерии устойчивости Рауза — Гурвица
- Анализ сходимости переходных процессов
- Диаграмма профессора И.А. Вышнеградского
- Критерий устойчивости А. В. Михайлова
Устойчивость систем управления
Важным показателем САР является устойчивость. Основное назначение САР заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием внешнего возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение.
Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой. Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой. Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:
- корневой критерий устойчивости,
- критерий устойчивости Стодола,
- критерий устойчивости Гурвица,
- критерий устойчивости Найквиста,
- критерий устойчивости Михайлова и др.
Популярное
- Проектирование АСУТП. Книга 2. Методическое пособие
- П-, ПИ-, ПД-, ПИД — регуляторы
- В мире АСУТП
- Показатели качества процесса управления
- Типовые звенья систем регулирования
- Законы регулирования: П, ПИ, ПИД
- Первичные преобразователи. Датчики
- Определение параметров переходных характеристик
- Передаточная функция
- Сигналы и стандарты
- Классификация систем автоматического регулирования
- Стадии и этапы создания АСУТП
Устойчивость сар
Для того чтобы замкнутая САР была работоспособной, она должна быть устойчивой.
В литературных источниках [5, 8, 11] указано, что устойчивой является САР, реакция которой на ограниченное воздействие является также ограниченной величиной. Математически это означает, что реакция САР (см. рисунок 1) на воздействие (придля всех, гдеM – конечное число) описывается выражением
,
где – конечное число.
Рисунок 1 – Реакция САР на воздействие
Если учитывать связь весовой и передаточных функций, то можно заключить, что для того, чтобы САР была устойчивой, импульсная переходная характеристика должна быть абсолютно интегрируемой. Это означает, что если абсолютная площадь, ограниченная импульсной характеристикой w(t), является ограниченной величиной, то система автоматического регулирования будет устойчивой.
Устойчивость САР означает способность системы возвращаться в состояние равновесия после того, как внешние силы, которые вывели ее из этого состояния, перестают действовать. Из этого следует, что только устойчивая система является работоспособной.
Понятие «устойчивость» наглядно продемонстрировано на рисунке 1, на котором представлена физическая система шар – опорная поверхность.
На рисунках 1, а и б шар находится в положении равновесия. В случае отклонения от такого положения в любую сторону в одном случае (рисунок 1,а) шар не может вернуться в исходное положение (такое равновесие называется неустойчивым), а в другом случае (рисунок 1,б) – возвращается (устойчивое равновесие). Если опорная поверхность является горизонтальной плоскостью, то шар движется по этой плоскости до тех пор, пока на него действует движущая сила Fд и после прекращения воздействия этой силы шар останавливается в какой-либо точке на плоскости (такое равновесие называется безразличным). В этом случае систему иногда называют нейтральной (рисунок 1,в).
Рисунок 2 — Физическая система шар – опорная поверхность
Система устойчива в малом в случае, если можно обнаружить лишь наличие области устойчивости, а определить каким-либо ее границы не удается.
В случае, если могут быть определены также и границы устойчивости, т.е. границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в состояние равновесия, (рисунок 1, г), и известно, что действительные начальные отклонения принадлежат этой области, то система устойчива в большом.
В случае если система возвращается в состояние равновесия при любых начальных отклонениях, ее называют устойчивой в целом, т. е. в малом и большом.
Устойчивые и неустойчивые сар
Все состояния линейной САР либо устойчивы, либо неустойчивы, поэтому можно говорить об устойчивости системы в целом.
Линейная система называется устойчивой, если при выведении ее внешними воздействиями из состояния равновесия (покоя) она возвращается в него после прекращения внешних воздействий. Если после прекращения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она являетсянеустойчивой. Для нормального функционирования системы управления необходимо, чтобы она была устойчивой, так как в противном случае в ней возникают большие ошибки.
Исследование устойчивости необходимо проводить на начальном этапе создания системы управления. Это объясняется следующими причинами. Во-первых, анализ устойчивости не требует больших затрат времени. Во-вторых, неустойчивые системы могут быть скорректированы, т.е. преобразованы в устойчивые с помощью добавления специальных корректирующих звеньев.
6 Устойчивость систем автоматического регулирования. Теоремы Ляпунова. Критерий устойчивости Гурвица
Предыдущие лекции по теории автоматического управления можно посмотреть здесь:
6.1. Понятие об устойчивости САР. Теоремы Ляпунова.
В теории «Управления техническими системами» общепринято понятие качество управления, состоящее из трех основных составляющих:
Необходимо заметить, что если не обеспечена устойчивость замкнутой САР, то говорить о точности и, тем более, о качестве переходного процесса — бессмысленно.
Поэтому понятие «устойчивость» — важнейшее понятие для САР.
Приведем «механическую» аналогию понятия «устойчивость»
В положении а) при отклонении шарика от нижнего положения он обязательно вернется в свое устойчивое положение (низ «воронки»).
В положении б) малейшее отклонение шара от состояния равновесия приведет к «скатыванию» его вниз; т.е. шар не вернется сам назад на вершине «горки».
В положении в) при воздействии на шар он начнет перемещаться в горизонтальном направлении и, если нет трения, то шар будет двигаться с постоянной скоростью.
Если реальная замкнутая САР имеет свойства, аналогичные а), то она «хорошая», если б) – «совсем плохая». Нужно так проектировать САР, чтобы ее свойства были похожи на а), т.е. если какое-то возмущающее воздействие отклонит систему от равновесия, то система управления обязана вернуть техническую систему в состояние равновесия.
Ранее мы водили передаточную функуию для по возмущающему воздействию для замкнутой САР (см. формулу 5.4 в предыдущей лекции). Уравнения динамики замкнутой САР, описываемую в переменных «вход-выход»:
Решения для такого уравнения будет являтся суммой двух функций:, где — собственное решение, при и вынужденное решение вызванное воздействием.
Решим характеристическое уравнение (подробнее смотри здесь. )
Решая уравнение (6.1.2), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения , тогда собственное решение примет вид:
В зависимости от значения возможно несколько вариантов вида функуции. На рисунке 6.1.2 представлены варинаты поведения функции вида в случае когда является реальными числом или комплексным числом .
Анализ вышеприведенных рисунков показывает, что система может вернуться в исходное состояние, если все составляющие при будут стремиться к нулю. А для этого показатель степени должен быть отрицательным. Поэтому условием устойчивости является отрицательное значение реальной части корней т.е. необходимо чтобы корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости.
Если корни комплексные, то процесс колебательный, если корни реальные, то процес аперодический (затухающий). Причем ось ординат соответствует границам устойчивости (апериодической или колебательной). Таким образом, вопрос об устойчивости или неустойчивости замкнутой (и разомкнутой) САР определяется по расположению корней соответствующего характеристического уравнения.
Для не замкнутой САР вместо устойчивость определяется корнями характеристического уравнения знаменателя передаточной функции в предыдущей лекции мы выводили формулу рассчета передаточной фунции замкунутой САР, по предаточной функции разомкнутоф САР:
Таким образом, вопрос об устойчивости или неустойчивости замкнутой и разомкнутой САР определяется по расположению корней соответствующего характеристического уравнения.
Если все корни характеристического уравнения лежат (расположены) в левой полуплоскости – линейная (или линеаризованная) САР устойчива.
Необходимо заметить, что коэффициенты уравнения совпадают с коэффициентами многочлена (полинома) следовательно полюса замкнутой САР тождественно совпадают с корнями характеристического уравнения , где — корни характеристического уравнения; — полюса перредаточной функции.
Напомним, полюсом передаточной функции называется значение её аргумента, при котором знаменатель функции обращается в ноль.
Используя приблизительно такие же рассуждения сходимости степенных функций Ляпуновым были сформулированы 3 теоремы об устойчивости линейных САР:
- Если все корни характеристического уравнения или полюса передаточной функции САР расположены в левой полуплоскости, то линеаризованная САР обязательно вернется в исходное состояние при снятии внешнего воздействия, выведшего эту САР из состояния равновесия. Следовательно САР – устойчива.
- Если хотя бы один полюс (или корень характеристического уравнения) передаточной функции САР расположен в правой полуплоскости (при всех остальных в левой полуплоскости), линейная (линеаризованная) САР никогда не вернется в исходное (равновесное) состояние при снятии внешнего воздействия, которое вывело данную САР из исходного состояния равновесия. Следовательно САР – неустойчива.
- Если хотя бы один из полюсов передаточной функции САР (корней характеристического уравнения) находится на мнимой оси (при всех остальных в левой полуплоскости) об устойчивости линеаризованной САР ничего сказать нельзя, т.к. учет нелинейных (отброшенных) членов в динамике САР может дать любой результат (устойчива или неустойчива).
Резюмируя вышесказанное, отметим, что:
Наиболее простым способом определения устойчива или неустойчива САР (как замкнутая, так и разомкнутая) является решение уравнения для замкнутой САР (или для разомкнутой САР) или решение характеристического уравнения или– для разомкнутой САР).
Если САР задана в переменных состояния, то вопрос об устойчивости САР определяется матрицей А – собственной матрицей:
Если собственные числа матрицы А лежат в левой полуплоскости – САР устойчива; если хотя бы одно собственное число лежит в правой полуплоскости – линейная САР неустойчива.
Собственные числа (согласно разделу «Линейная алгебра») находятся из уравнения:
где: — матрица размера ; — единичная матрица
Это означает, что уравнение принимает:
Фактически уравнения (6.1.6) и (6.1.7) – характеристические уравнения САР. Поэтому, если САР задана в переменных состояния, то характеристический полином при задании САР в переменных «вход-выход» может быть определен как:
Чисто математически задача определения устойчивости сводится к решению степенного уравнения или к проблеме нахождения собственных чисел матрицы А.
6.2. Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР.
Наиболее просто необходимое условие устойчивости линейных (линеаризованных) САР формулируется для систем, записанных в переменных «вход-выход», причем оно применяется в одинаковой «редакции» как для замкнутых, так и для разомкнутых САР. Это условие доказывается с использованием характеристического полинома D(s) – для замкнутых САР, или L(s) – для разомкнутых САР. Сделаем вывод на основании D(s)
Разложим многочлен D(s) на элементарные линейные сомножители :
где: — полюса передаточной функции замкнутой САР.
Предположим, что и что все полюса расположены в левой полуплоскости:
где: — действительный полюс; — — комплексно-сопряженные полюса.
Подставим значения в выражение 6.2.1 заметим, что если перемножать любые две скобки в выражении 6.2.1, которые содержат комплексно сопряженные скобки например мы получим выражение типа: .
В первой скобке мы получим выражение: Таким образом мы получаем только полжительные коэффициенты полинома Таким образом можно сформулировать необходимое условие устойчивости линейных САР:
Необходимым условием устойчивости линейных САР является положительность всех коэффициентов в полиноме — для замкнутых САР, или в – для разомкнутых САР.
Для систем 1-го и 2-го порядка необходимое условие является и достаточным.
Но для систем, имеющих порядок , выполнение необходимого условия невсегда является достаточным.
Тем не менее, необходимое условие «очень удобно», т.е. если хотя бы один коэффициент в D(s) отрицателен, то однозначно – САР неустойчива.
Если необходимое условие выполнено , то если порядок матрицы больше 2 необходимо либо вычислить корни характеристического уравнения (полюса передаточной функции), либо используя какой-либо из критериев устойчивости сделать соответствующий вывод об устойчивости САР.
6.3. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.
Как отмечалось выше, устойчивость любой САР можно определить, вычислив значение всех полюсов (или корней соответствующего характеристического уравнения). Однако далеко не все способны без компьютера (калькулятора) решить степенное уравнение выше квадратного (кубическое и т.д.).
Критерий Гурвица, являющийся частным случаем критерия Раусса, позволяет не решая уравнений типа или сделать вывод об устойчивости САР на основании «несложных» вычислений с использованием коэффициентов характеристического полинома.
Представим полином в измененном виде:
Данное выражение полинома позволяет соcтавить матрицу Гурвица, для этого:
- по главной диагонале по главной диагонали слева направо выставляются коэффициенты характеристического уравнения от до ;
- от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
- на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставатся нули:
Составив эту матрицу можно сфомулировать критерий:
Для того, чтобы замкнутая САР (или разомкнутая) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все n главных определителей Гурвицевой матрицы Г.
Если все определители больше нуля, то линейная САР устойчива.
Если все определители больше нуля и то САР находится на апереодической границе устойчивости.
Если все определители, кроме больше нуля, а опеределитель и Р , то САР находится на колебательного границы устойчивости.
Пример 1
Определить, устойчива или нет следующая система САР:
Найдем главную передаточную функцию замкнутой САР:
Все коэффициенты полинома — положительные:
А значит САР может быть устойчива. Составим матрицу Гурвица, и найдем ее определители:
Все определители матрицы Гурвица больше нуля, следовательно САР устойчива.
Пример 2
Используя критерий Гурвица, выполнить анализ устойчивости следующей САР:
Общая передаточная функция разомкнутой системы САР:
Корни знаменателя передаточной функцийй размкнутой САР:
Поскольку разомкнутая САР находится на границе устойчивости.
Передаточная функция замкнутой САР:
Выражения для матрицы Гурвица:
Главные определители матрицы Гурвица:
Очевидно из формулы для определиттеля следует что для устойчивости САР необходимо чтобы
В случае когда постоянные времени положительны условие устойчивости можно вычислить получить из выражения для второго определителя:
Полученный результат свидетельствует, что если , то для того, чтобы САР была устойчивой, необходимо, чтобы выполнит следующие условия:
Усложним задачу: предположим, что в системе САР изображенной на рис. 6.3.2 возможно варьировать (изменять) коэффициент усиления и постоянную времени, например, В этом случае область устойчивости может быть отображена в виде фигуры в координатах
Система неравенств такая же, что и выше, для определителей матрицы Гурвица:
Примеры из видео можно взять здесь..
Продолжение темы устойчивости: