Как перевести число в шестнадцатеричную систему счисления

Урок 32. Перевод чисел между системами счисления

При программировании мы часто сталкиваемся с необходимостью перевода чисел между системами счисления, по основанию: 2, 4, 8, 16 и 10.

Основание системы счисления указывает какое количество цифр используется в этой системе для написания чисел:

Привычная нам система счисления по основанию 10 (десятичная система счисления) использует 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. После 9 идёт не цифра, а число 10, состоящее из двух цифр: 1 и 0. Таким образом, мы записываем любые числа, используя указанные цифры в определённой последовательности.
Система счисления по основанию 2 (двоичная система счисления) использует 2 цифры: 0, 1.
Система счисления по основанию 4 (четверичная система счисления) использует 4 цифры: 0, 1, 2, 3.
Система счисления по основанию 8 (восьмеричная система счисления) использует 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Система счисления по основанию 16 (шестнадцатеричная система счисления) использует 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. В данном случае, буквы ABCDEF являются цифрами. Цифра A шестнадцатеричной системы, равна числу 10 десятичной системы, цифра B равна числу 11 десятичной системы, . , цифра F равна числу 15 десятичной системы.

Можно использовать любую систему счисления, например по основанию 12 (счет дюжинами), но наиболее популярными при программировании, являются: десятичная, шестнадцатеричная и двоичная, системы счисления.

Все выше перечисленные системы счисления относятся к позиционным системам. Значение числа зависит не только от того из каких цифр оно состоит, но и в какой последовательности они записаны. Например число 1234 не равно числу 4321.

Методы представления чисел в разных системах счисления:

двоичная система счисления:

(10101)₂ — математическое представление (число)_{основание системы}
0b10101 — представление в скетчах Arduino IDE (число записывается с ведущими символами «0b»).
B10101 — представление в скетчах Arduino IDE (число до 256 записывается с ведущим символом «B»).

(10101)₈ — математическое представление (число)_{основание системы}
010101 — представление в скетчах Arduino IDE (число записывается с ведущим символом «0» ноль).

(10101)₁₀ — математическое представление (число)_{основание системы}
10101 — представление в скетчах Arduino IDE (число записывается как есть без ведущих символов)

(10101)₁₆ — математическое представление (число)_{основание системы}
0x10101 — представление в скетчах Arduino IDE (число записывается с ведущими символами «0x»).

Перевод чисел в десятичную систему счисления:

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную нужно сложить все цифры этого числа, предварительно умножив каждое из них на основание системы счисления, из которой производится перевод, возведя её в степень соответствующую позиции цифры в числе:

Σ(цифра_числа * основание_системы позиция_цифры )

Примеры перевода чисел в десятичную систему счисления:

Перевод чисел из десятичной системы счисления:

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую, необходимо целочисленно делить переводимое число на основание той системы, в которую мы хотим его перевести, до тех пор пока результат целочисленного деления не станет равен 0. Результатом перевода будут цифры остатка от каждого деления, в обратном порядке.

Примеры перевода чисел из десятичной системы счисления:

(43)₁₀ перевести в двоичную систему счисления:

43/2 = 21 и 1 в остатке
21/2 = 10 и 1 в остатке
10/2 = 5 и 0 в остатке
5/2 = 2 и 1 в остатке
2/2 = 1 и 0 в остатке
1/2 = 0 и 1 в остатке
результат — цифры остатков в обратном порядке = (101011)₂

751/8 = 93 и 7 в остатке
93/8 = 11 и 5 в остатке
11/8 = 1 и 3 в остатке
1/8 = 0 и 1 в остатке
результат — цифры остатков в обратном порядке = (1357)₈

15305/16 = 956 и 9 в остатке
956/16 = 59 и 12 в остатке — соответствует цифре (C)₁₆
59/16 = 3 и 11 в остатке — соответствует цифре (B)₁₆
3/16 = 0 и 3 в остатке
результат — цифры остатков в обратном порядке = (3BC9)₁₆

Простой метод перевода:

Легче всего переводить числа через двоичную систему счисления. О том как это сделать рассказано в нашем видеоуроке.

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную используют тот же «алгоритм замещения», что и при переводе из десятичной системы счисления в двоичную и восьмеричную, только в качестве делителя используют 16, основание шестнадцатеричной системы счисления:

Делим десятичное число А на 16. Частное Q запоминаем для следующего шага, а остаток a записываем как младший бит шестнадцатеричного числа.
Если частное q не равно 0, принимаем его за новое делимое и повторяем процедуру, описанную в шаге 1. Каждый новый остаток записывается в разряды шестнадцатеричного числа в направлении от младшего бита к старшему.
Алгоритм продолжается до тех пор, пока в результате выполнения шагов 1 и 2 не получится частное Q = 0 и остаток a меньше 16.

Например, требуется перевести десятичное число 32767 в шестнадцатеричное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим:

32767₁₀ : 16 = 2047₁₀

32767₁₀ — 32752₁₀ = 15, остаток 15 в виде F записываем в МБ шестнадцатеричного числа.

2047₁₀ : 16 = 127₁₀

2047₁₀ — 2032₁₀ = 15, остаток 15 в виде F записываем в следующий после МБ разряд шестнадцатеричного числа.

127₁₀ : 16 = 7₁₀

127₁₀ — 112₁₀ = 15, остаток 15 в виде F записываем в старший разряд шестнадцатеричного числа.

7₁₀ : 16 = 0₁₀, остаток 7 записываем в старший разряд шестнадцатеричного числа.

Таким образом, искомое шестнадцатеричное число равно 7FFF₁₆.

Перевод из десятичной системы в шестнадцатеричную

Перед тем как перейти к алгоритму перевода, вспомним алфавит шестнадцатеричной и десятичной системы счисления:

Для перевода чисел из десятичной системы в шестнадцатеричную, воспользуемся соответствующим алгоритмом. Важно заметить, что алгоритм перевода целых и дробных чисел будет отличаться.

Алгоритм перевода целых десятичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления

Последовательно выполнять деление десятичного числа и получаемых целых частных на 16, до тех пор, пока частное не станет равным 0.
Для получения ответа в шестнадцатеричном коде, необходимо записать, полученные, в результате деления остатки, в обратном порядке.

Пример 1 : перевести десятичное число 12349 в шестнадцатеричную систему счисления

Для наглядности произведем деление «столбиком». Решение будет выглядеть следующим образом:

Исходя из вышеприведенного алгоритма, полученные остатки необходимо записать в обратном порядке.

Алгоритм перевода десятичной дроби в шестнадцатеричную систему

Последовательно выполнять умножение исходной дроби на 16, до тех пор, пока, дробная часть не станет равна 0 или пока не будет достигнута необходимая точность вычисления.
Полученная дробь в шестнадцатеричной системе будет равна прямой последовательности целых частей произведений.

Пример 2: перевести число 0,7715 в шестнадцатеричную систему.

Решение будет выглядеть следующим образом:

0.7715 ∙ 16 = 12.344 (C)
0.344 ∙ 16 = 5.504 (5)
0.504 ∙ 16 = 8.064 (8)
0.064 ∙ 16 = 1.024 (1)
0.024 ∙ 16 = 0.384 (0)
0.384 ∙ 16 = 6.144 (6)
0.144 ∙ 16 = 2.304 (2)
0.304 ∙ 16 = 4.864 (4)
0.864 ∙ 16 = 13.824 (D)
0.824 ∙ 16 = 13.184 (D)
0.184 ∙ 16 = 2.944 (2)

В данном примере можно продолжить вычисления, но зачастую, такой точности будет достаточно.

Перевод дробного десятичного числа в шестнадцатеричную систему

Для того чтобы перевести десятичное число, содержащее дробную часть, необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример 3: перевести число 10415,136 из десятичной системы в шестнадцатеричную

Для решения примера потребуется отдельно перевести 10415 и отдельно 0,136 из десятичной системы в шестнадцатеричную, используя вышеизложенные алгоритмы. Таким образом переведя 10415, получим:

Перевод десятичной дроби 0,136 выглядит так:

0.136 ∙ 16 = 2.176 (2)
0.176 ∙ 16 = 2.816 (2)
0.816 ∙ 16 = 13.056 (D)
0.056 ∙ 16 = 0.896 (0)
0.896 ∙ 16 = 14.336 (E)
0.336 ∙ 16 = 5.376 (5)
0.376 ∙ 16 = 6.016 (6)
0.016 ∙ 16 = 0.256 (0)
0.256 ∙ 16 = 4.096 (4)
0.096 ∙ 16 = 1.536 (1)
0.536 ∙ 16 = 8.576 (8)

Теперь осталось соединить результаты перевода. Таким образом: 10415.136₁₀=28AF.22D0E560418₁₆

Перевод чисел в шестнадцатеричную систему счисления

Решение получаем через калькулятор. Переводим целую часть числа ( 56 ).

Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 16-ой системе счисления: 038
56 = 038₁₆

Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 16. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.567*16 = 9.072 (целая часть 9 )
0.072*16 = 1.152 (целая часть 1 )
0.152*16 = 2.432 (целая часть 2 )
0.432*16 = 6.912 (целая часть 6 )
Получаем число в 16-ой системе счисления: 9126
0.567 = 9126₁₆

Таким образом, число 56,567 в шестнадцатеричной системе счисления записывается как 38,9126.

Пример 2 . Перевести число 0101110,011 в шестнадцатеричное представление.
Переводим целую часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда.
0101110₂ = 0010 1110 ₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.

Двоичная СС	Шестнадцатеричная СС
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Получаем число: 0010 1110 ₂ = 2E₁₆

Переводим дробную часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда.
011₂ = 0110₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.
Получаем число: 0110₂ = 6₁₆

Пример 3 . Перевести число 456,54₈ в шестнадцатеричное представление.
Переводим целую часть числа. Заменяем каждый разряд на код из таблицы.

Двоичная СС	Восьмеричная СС
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Получаем число: 456₈ = 100101110₂

Переводим дробную часть числа.
Получаем число: 54₈ = 101100₂
Переводим целую часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда.
100101110₂ = 0001 0010 1110 ₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.
Получаем число: 0001 0010 1110 ₂ = 12E₁₆

Переводим дробную часть числа. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда.
101100₂ = 1011 0000₂
Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.
Получаем число: 1011 0000₂ = B0₁₆

Профессии будущего

РБК Тренды изучили прогнозы российских и зарубежных футурологов, и составили список самых востребованных профессий в ближайшие 30 лет. Это профессии из 19 отраслей: от медицины и транспорта до культуры и космоса

Налоговый вычет на обучение

√ 120 тыс. руб. — максимальная сумма расходов на обучение
√ вычет от государства
√ вычет от работодателя

Требуются авторы студенческих работ!

регулярный поток заказов;
стабильный доход

Задать вопрос или оставить комментарий
Помощь в решении
Поиск
Поддержать проект